Números Complejos
El Conjunto de los Números Complejos
El conjunto de los números complejos está definido como:
ℂ = {𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖|𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑖 2 = −1}
Escribimos 𝑧 ∈ ℂ
𝑖 Es llamada la unidad imaginaria y es tal que √−1 = 𝑖 o 𝑖 2 = −1
𝑥 Es llamada la parte real del número complejo; escribimos: 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥
𝑦 Es llamada la parte imaginaria del número complejo; escribimos: 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦
Observe que 𝑖, la unidad imaginaria satisface la ecuación de segundo orden:
𝑥2 + 1 = 0
Es decir:
𝑥 2 + 1 = 0 → 𝑥 2 = −1 →
→ 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ ℝ 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Si consideramos a la unidad imaginaria tenemos que:
𝑥 2 + 1 = 0 → 𝑥 2 = −1 → 𝑥 = ±√−1 → 𝑥 = ±𝑖
Es decir 𝑖 y −𝑖 satisfacen la ecuación 𝑥 2 + 1 = 0
Comprobando tenemos que:
a) 𝑥 2 + 1 = 0 → (𝑖 2 ) + 1 = 0 → −1 + 1 = 0 → 0 = 0
b) 𝑥 2 + 1 = 0 → (−𝑖)2 + 1 = 0 → 𝑖 2 + 1 = 0 → −1 + 1 = 0 → 0 = 0
Ejemplos de números complejos son:
𝑧 = −2 + 3𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = −2, 𝐼𝑚(𝑧) = 3
1
Números Complejos
𝑧 = 5 + 7𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = 5, 𝐼𝑚(𝑧) = 7
𝑧 = −4 − 3𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = −4, 𝐼𝑚(𝑧) = −3
𝑧 = 2 − 2𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = 2, 𝐼𝑚(𝑧) = −2
𝑧 = 1 + 𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = 1, 𝐼𝑚(𝑧) = 1
𝑧 = −3𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = 0, 𝐼𝑚(𝑧) = −3
𝑧 = √2 − 3𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = √2, 𝐼𝑚(𝑧) = −3
𝑧 = −√2 − √3𝑖 → 𝑅𝑒(𝑧) = −√2, 𝐼𝑚(𝑧) = −√3
𝑧 = 7 → 𝑅𝑒(𝑧) = 7, 𝐼𝑚(𝑧) = 0
El “cero” de los números complejos será 0 = 0 + 0𝑖
Regularmente escribimos: 𝑧 = 0 y 𝑧 = 0 → 𝑅𝑒(𝑧) = 0, 𝐼𝑚(𝑧) = 0
Nótese que:
El conjunto de los números reales está contenido en el conjunto de los
números complejos. Escribimos: ℝ ⊂ ℂ
Sí 𝑧 = 𝑦𝑖 (su parte real es igual a cero) decimos que se trata de un
número imaginario puro.
Representación gráfica de los números complejos
Los números complejos son representados en un plano cartesiano donde el
eje de las abscisas (eje x) es asociado con la parte real de los números
complejos y el eje de las ordenadas (eje y) es asociado con la parte imaginaria
de los números complejos.
El plano cartesiano donde se representan los números complejos es llamado
diagrama de Argand o plano complejoℤ.
2
Números Complejos
Gráficamente tendremos a los números complejos representados en el plano
complejo de la siguiente forma:
Con la representación gráfica del conjunto de los números complejos tenemos
que un número complejo puede ser representados de dos formas: una
combinación lineal o un par ordenado.
Es decir:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = (𝑥, 𝑦)
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 Será un número complejo representado como una combinación
lineal.
𝑧 = (𝑥, 𝑦) Será un número complejo representado como par ordenado.
Tenemos que usando ambas representaciones:
𝑧 = 2 + 3𝑖 = (2,3)
𝑧 = −2 + 𝑖 = (−2,1)
𝑧 = −4 − 𝑖 = (−4, −1)
𝑧 = 5 − 2𝑖 = (5, −2)
𝑧 = 3𝑖 = (0,3)
𝑧 = −2𝑖 = (0, −2)
3
Números Complejos
𝑧 = 5 = (5,0)
𝑧 = −8 = (−8,0)
𝑧 = 0 = (0,0)
Operaciones con números complejos
Cuando queremos realizar operaciones con números complejos utilizamos
uno, dos o más números complejos representados como:
𝑧0 = 𝑥0 + 𝑦0 𝑖; 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖; 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖; 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖
Igualdad de números complejos
Decimos que dos números complejos son iguales sí y sólo sí:
𝑧1 = 𝑧2 ↔ 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 ↔ 𝑥1 = 𝑥2 "𝑦" 𝑦1 = 𝑦2
En otras palabras, dos números complejos son iguales sí y sólo sí sus partes
reales son iguales y sus partes imaginarias son iguales.
Si utilizamos la representación de par ordenado de un número complejo
escribimos:
𝑧1 = 𝑧2 ↔ (𝑥1 , 𝑦1 ) = (𝑥2 , 𝑦2 ) ↔ 𝑥1 = 𝑥2 "𝑦" 𝑦1 = 𝑦2
Conjugado de un número complejo
Dado un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 definimos su conjugado como:
𝑧̅ = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑥 − 𝑦𝑖
Si utilizamos la representación de par ordenado de un número complejo
escribimos:
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦)
𝑧̅ = ̅̅̅̅̅̅̅
4
Números Complejos
Obtener el conjugado de un número complejo es hacer negativa su parte
imaginaria,
Por ejemplo:
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧 = 2 + 3𝑖 → 𝑧̅ = 2
+ 3𝑖 = 2 − 3𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧 = −2 + 𝑖 → 𝑧̅ = −2
+ 𝑖 = −2 − 𝑖
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧 = −4 − 𝑖 → 𝑧̅ = −4
− 𝑖 = −4 + 𝑖
̅ = −3𝑖
𝑧 = 3𝑖 → 𝑧̅ = 3𝑖
𝑧 = −2𝑖 → 𝑧̅ = ̅̅̅̅̅
−2𝑖 = 2𝑖
𝑧 = 5 → 𝑧̅ = 5̅ = 5
̅̅̅̅ = −3
𝑧 = −3 → 𝑧̅ = −3
𝑧 = 0 → 𝑧̅ = 0̅ = 0
Nótese que el conjugado de un número complejo en su representación gráfica
es la reflexión sobre el eje de abscisas (eje x o eje real) del número complejo
dado.
5
Números Complejos
Las operaciones con números complejos pueden ser definidas y realizadas
considerando a un número complejo un binomio algebraico y a la unidad
imaginaria 𝑖 una literal.
Las reglas algebraicas conocidas para operaciones con binomios son aplicadas
y la unidad imaginaria en las operaciones involucradas tendrá la propiedad de
que 𝑖 2 = −1.
Suma o adición de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 definimos su
adición como:
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑦1 𝑖) + (𝑥2 + 𝑦2 𝑖) = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) + (𝑦1 + 𝑦2 )𝑖
Resta o diferencia de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 definimos su
diferencia como:
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑦1 𝑖) − (𝑥2 + 𝑦2 𝑖) = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑖
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑥1 − 𝑥2 ) + (𝑦1 − 𝑦2 )𝑖
Multiplicación o producto de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 definimos su
producto como:
𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑦1 𝑖)(𝑥2 + 𝑦2 𝑖) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑦1 𝑖𝑥2 + 𝑦1 𝑖𝑦2 𝑖
𝑧1 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦1 𝑖 + 𝑦1 𝑦2 𝑖 2
𝑧1 𝑧2 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦1 𝑖 − 𝑦1 𝑦2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + (𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 )𝑖
6
Números Complejos
División o cociente de números complejos
Dados dos números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 tales que:
𝑧2 ≠ 0, definimos su cociente como:
(𝑥1 + 𝑦1 𝑖)(𝑥2 − 𝑦2 𝑖)
𝑧1 𝑥1 + 𝑦1 𝑖
𝑥1 + 𝑦1 𝑖 𝑥2 − 𝑦2 𝑖
=
=(
)(
)=
(𝑥2 + 𝑦2 𝑖)(𝑥2 − 𝑦2 𝑖)
𝑧2 𝑥2 + 𝑦2 𝑖
𝑥2 + 𝑦2 𝑖 𝑥2 − 𝑦2 𝑖
𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑦1 𝑖𝑥2 − 𝑦1 𝑖𝑦2 𝑖
=
𝑥22 − 𝑥2 𝑦2 𝑖 + 𝑦2 𝑖𝑥2 − 𝑦22 𝑖 2
𝑧1 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦1 𝑖 − 𝑦1 𝑦2 𝑖 2 𝑥1 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦1 𝑖 + 𝑦1 𝑦2
=
=
𝑧2
𝑥22 − 𝑥2 𝑦2 𝑖 + 𝑥2 𝑦2 𝑖 + 𝑦22
𝑥22 + 𝑦22
(𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 ) + (𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2 )𝑖
=
𝑥22 + 𝑦22
𝑧1 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦2
=
+
𝑖
𝑧2
𝑥22 + 𝑦22
𝑥22 + 𝑦22
Obsérvese que en el cociente de números complejos hemos hecho uso del
conjugado de un número complejo.
Hemos definido el cociente como:
𝑧1 𝑧1 𝑧̅2
=
𝑧2 𝑧2 𝑧̅2
Nótese que para todo número complejo se cumple que:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧𝑧̅ = (𝑥 + 𝑦𝑖)(𝑥
+ 𝑦𝑖) = (𝑥 + 𝑦𝑖)(𝑥 − 𝑦𝑖) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦𝑖 + 𝑦𝑖𝑥 − 𝑦 2 𝑖 2
𝑧𝑧̅ = 𝑥 2 + 𝑦 2
Ejemplos de operaciones con números complejos:
Dados los números complejos 𝑧1 = −2 + 3𝑖 y 𝑧2 = 4 − 2𝑖
𝑧1 + 𝑧2 = (−2 + 3𝑖) + (4 − 2𝑖) = −2 + 3𝑖 + 4 − 2𝑖 = 2 + 𝑖
7
Números Complejos
𝑧1 − 𝑧2 = (−2 + 3𝑖) − (4 − 2𝑖) = −2 + 3𝑖 − 4 + 2𝑖 = −6 + 5𝑖
𝑧1 𝑧2 = (−2 + 3𝑖)(4 − 2𝑖) =
= (−2)(4) + (−2)(−2𝑖) + (3𝑖)(4) + (3𝑖)(−2𝑖) =
= −8 + 4𝑖 + 12𝑖 − 6𝑖 2 = −8 + 16𝑖 + 6 = −2 + 16𝑖
𝑧1 −2 + 3𝑖 (−2 + 3𝑖) (4 + 2𝑖) −8 − 4𝑖 + 12𝑖 + 6𝑖 2
=
=
=
=
(4 − 2𝑖) (4 + 2𝑖)
𝑧2
4 − 2𝑖
16 + 8𝑖 − 8𝑖 − 4𝑖 2
−8 + 8𝑖 − 6 −14 + 8𝑖
14 8
7
4
=
=
=− + 𝑖=− + 𝑖
16 + 4
20
20 20
10 10
(4 − 2𝑖) (−2 − 3𝑖) −8 − 12𝑖 + 4𝑖 + 6𝑖 2
𝑧2
4 − 2𝑖
=
=
=
=
𝑧1 −2 + 3𝑖 (−2 + 3𝑖) (−2 − 3𝑖)
4 + 6𝑖 − 6𝑖 − 9𝑖 2
−8 − 8𝑖 − 6 −14 − 8𝑖
14 8
=
=
=− − 𝑖
4+9
13
13 13
Propiedades de las Operaciones con números complejos
Algunas propiedades de las operaciones con números complejos son las que
enumeramos a continuación.
Propiedades del conjugado de números complejos
𝑧̅̅ = 𝑧
𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2
𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1 − 𝑧2 = 𝑧̅1 − 𝑧̅2
𝑧1 𝑧2 = 𝑧̅1 𝑧̅2
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑧1
𝑧̅1
( )=
𝑧2
𝑧̅2
8
Números Complejos
Propiedades de la adición de números complejos
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1
Propiedad conmutativa
𝑧1 + 0 = 0 + 𝑧1 = 𝑧1
El cero es neutro aditivo
𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3 ) = (𝑧1 + 𝑧2 ) + 𝑧3
Propiedad asociativa
Para todo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 existe −𝑧 = −(𝑥 + 𝑦𝑖) = −𝑥 − 𝑦𝑖 tal que:
𝑧 + (−𝑧) = 0
−𝑧 Es el inverso aditivo de 𝑧
Propiedades del producto de números complejos
𝑧1 𝑧2 = 𝑧2 𝑧1
Propiedad conmutativa
1𝑧1 = 𝑧1 1 = 𝑧1
El uno es neutro multiplicativo
𝑧1 (𝑧2 𝑧3 ) = (𝑧1 𝑧2 )𝑧3
Propiedad asociativa
1
Para todo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 existe = 𝑧 −1 tal que:
𝑧
1
𝑧 = 𝑧𝑧 −1 = 1
𝑧 −1 Es el inverso multiplicativo de 𝑧
𝑧1 (𝑧2 + 𝑧3 ) = 𝑧1 𝑧2 + 𝑧1 𝑧3
Propiedad distributiva
𝑧
Una vez definido el producto entre números complejos podemos definir una
operación más que consiste en multiplicar un número complejo por sí mismo.
Potenciación de números complejos
Dado un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 y un número natural 𝑛 ∈ ℕ definimos
su n-ésima potencia como:
𝑧 𝑛 = 𝑧𝑧 … 𝑧 → 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
Nótese que la potenciación de un número complejo está bien definida.
(1 + 𝑖)2 = (1 + 𝑖)(1 + 𝑖) = 1 + 𝑖 + 𝑖 + 𝑖 2 = 1 + 2𝑖 − 1 = 2𝑖
9
Números Complejos
(1 + 𝑖)3 = (1 + 𝑖)2 (1 + 𝑖) = 2𝑖(1 + 𝑖) = 2𝑖 + 2𝑖 2 = −2 + 2𝑖
También podemos utilizar la expresión para un binomio al cuadrado.
(1 + 𝑖)2 = 12 + 2𝑖 + 𝑖 2 = 1 + 2𝑖 − 1 = 2𝑖
(1 + 𝑖)3 = 13 + 3(12 )𝑖 + 3(1)𝑖 2 + 𝑖 3 = 1 + 3𝑖 − 3 − 𝑖 = −2 + 2𝑖
Claramente realizar el cálculo de (1 + 𝑖)27 resulta un trabajo laborioso.
Representación polar de los números complejos
Utilizando el plano complejo y la representación de los números complejos en
el mismo, podemos definir al módulo y el argumento del mismo.
Módulo de un número complejo
Dado un número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 definimos su módulo, norma o valor
absoluto como:
|𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2
10
Números Complejos
En forma equivalente tenemos que:
2
2
|𝑧| = √(𝑅𝑒(𝑧)) + (𝐼𝑚(𝑧))
|𝑧| = √𝑧𝑧̅
El módulo de un número complejo representa la distancia del origen del plano
complejo al punto (𝑥, 𝑦).
Escribimos:
𝑟 = |𝑧|
Nótese que 𝑟 ≥ 0 para todo numero complejo.
Argumento de un número complejo
El ángulo formado entre el eje x positivo y el radio vector 𝑟 = |𝑧| es llamado el
argumento de un número complejo.
Consideramos: 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋
El argumento está medido en radianes tales que:
3600 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
1800 = 𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝜋
900 = 𝑟𝑎𝑑
2
𝜋
450 = 𝑟𝑎𝑑
4
En la representación gráfica de un número complejo observamos que:
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑟 sin 𝜃
11
Números Complejos
De esta forma tenemos que:
𝑦
𝜃 = tan−1 ( )
𝑥
De forma equivalente:
𝐼𝑚(𝑧)
𝜃 = tan−1 (
)
𝑅𝑒(𝑧)
Con las expresiones anteriores tenemos que la representación polar de los
números complejos está dada por:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖𝑟 sin 𝜃
De manera equivalente tenemos que:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = (𝑥, 𝑦) = (𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sin 𝜃)
Propiedades del módulo de un número complejo
|𝑧̅| = |𝑧|
|𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 |
|𝑧1 |
𝑧1
| |=
|𝑧2 |
𝑧2
|𝑧1 + 𝑧2 | ≤ |𝑧1 | + |𝑧2 |
La última desigualdad es llamada la desigualdad triangular.
12
Números Complejos
Representación exponencial de los números complejos
Identidad de Euler
Una identidad que relaciona el número de Euler, la unidad imaginaria y las
funciones trigonométricas es la identidad de Euler.
𝑒 𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃
𝑒 −𝑖𝜃 = cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃
Nótese que con la identidad de Euler podemos definir las funciones
trigonométricas como:
𝑒 𝑖𝜃 − 𝑒 −𝑖𝜃
sin 𝜃 =
2𝑖
𝑒 𝑖𝜃 + 𝑒 −𝑖𝜃
cos 𝜃 =
2
Utilizando la identidad de Euler podemos obtener la representación
exponencial de los números complejos, es decir:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖𝑟 sin 𝜃 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
Donde 𝑟 es el módulo del número complejo y 𝜃 es el argumento del número
complejo.
En este punto tenemos cuatro representaciones de un número complejo, las
cuatro formas representan al mismo número complejo y su empleo depende
de las operaciones a realizar y del problema que estemos resolviendo.
13
Números Complejos
Tenemos que las representaciones de un número complejo son:
𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 = (𝑥, 𝑦) = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖𝑟 sin 𝜃 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃
Combinación lineal
Par ordenado
Representación polar
Representación exponencial
Por ejemplo:
𝜋
𝜋
𝜋
1 + 𝑖 = (1,1) = √2 cos + 𝑖√2 sin = √2𝑒 4
4
4
2𝜋
1 √3
1 √3
2𝜋
2𝜋
𝑖 = cos
+ 𝑖 sin
= 𝑒𝑖 3
(− , ) = − +
2 2
2
2
3
3
5𝜋
5𝜋
5𝜋 3 3√3
3 3 √3
𝑖
3 cos
+ 𝑖3 sin
= −
𝑖=( ,
) = 3𝑒 3
3
3
2
2
2 2
7𝜋
7𝑒 𝑖 6 = 7 cos
7𝜋
7𝜋
7 √3 7
7 √3 7
+ 𝑖7 sin
=−
− 𝑖 = (−
,− )
6
6
2
2
2
2
𝜋
𝜋
𝜋
5𝑖 = (0,5) = 5 cos + 𝑖5 sin = 5𝑒 𝑖 2
2
2
3𝜋
3𝜋
3𝜋
−6𝑖 = (0, −6) = 6 cos
+ 𝑖6 sin
= 6𝑒 𝑖 2
2
2
La representación exponencial de un número complejo nos permite realizar de
manera más sencilla algunas operaciones con los mismos considerando
14
Números Complejos
nuevamente las propiedades algebraicas conocidas en la representación
exponencial.
Dados dos números complejos y su representación exponencial tenemos que:
𝑧1 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖 = 𝑟1 𝑒 𝑖𝜃1
𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑖 = 𝑟2 𝑒 𝑖𝜃2
Producto de números complejos utilizando representación exponencial
𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 𝑒 𝑖𝜃1 )(𝑟2 𝑒 𝑖𝜃2 ) = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖𝜃1 𝑒 𝑖𝜃2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑖(𝜃1+𝜃2)
Cociente de números complejos utilizando representación exponencial
𝑧1 𝑟1 𝑒 𝑖𝜃1 𝑟1 𝑒 𝑖𝜃1 𝑟1 𝑖𝜃 −𝑖𝜃
𝑟1 𝑖(𝜃 −𝜃 )
1𝑒
2 =
=
=
=
𝑒
𝑒 1 2
𝑧2 𝑟2 𝑒 𝑖𝜃2 𝑟2 𝑒 𝑖𝜃2 𝑟2
𝑟2
Potencias de números complejos utilizando representación exponencial
𝑛
𝑧 𝑛 = (𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) = 𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜃 = 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃
En la última expresión tenemos lo siguiente:
𝑟 𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜃 = 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 + 𝑖𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 → 𝑒 𝑖𝑛𝜃 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 →
𝑛
(𝑒 𝑖𝜃 ) = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 → (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃
Este resultado es conocido como teorema o fórmula de De Moivre:
(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)𝑛 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃
15
Números Complejos
Radicación de números complejos
Dado un número complejo en su representación exponencial tenemos que sus
raíces n-ésimas están definidas como:
𝑛
√𝑧 =
1
𝑧𝑛
=
1
𝑖𝜃 𝑛
(𝑟𝑒 )
1
= 𝑟 𝑛 {cos
𝜃 + 2𝑘𝜋
𝜃 + 2𝑘𝜋
+ 𝑖 sin
}
𝑛
𝑛
Donde 𝑘 = 0,1,2,3, … , (𝑛 − 1)
Ejemplos.
1
1 Calcular √−𝑖 = (−𝑖)2
Tomamos el número complejo en su representación exponencial.
3𝜋
−𝑖 = 𝑒 𝑖 2
Donde 𝑟 = 1 y 𝜃 =
3𝜋
2
módulo y argumento respectivamente.
En este caso 𝑛 = 2 luego 𝑘 = 0,1
1
2
1
2
Así (−𝑖) = (1) {cos
3𝜋
+2𝑘𝜋
2
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
+2𝑘𝜋
2
2
}
Cuando 𝑘 = 0 (primera raíz)
𝑧1 =
1
12 {cos
3𝜋
3𝜋
+ 2(0)𝜋
+ 2(0)𝜋
2
2
+ 𝑖 sin
}
2
2
3𝜋
3𝜋
3𝜋
3𝜋
𝑧1 = 1 {cos 2 + 𝑖 sin 2 } = 1 {cos
+ 𝑖 sin }
2
2
4
4
𝑧1 = 1 {−
√2 √2
√2 √2
+
𝑖} = −
+
𝑖
2
2
2
2
16
Números Complejos
Cuando 𝑘 = 1 (segunda raíz)
𝑧2 =
1
12 {cos
3𝜋
3𝜋
+ 2(1)𝜋
+ 2(1)𝜋
2
+ 𝑖 sin 2
}
2
2
7𝜋
7𝜋
7𝜋
7𝜋
2
𝑧2 = 1 {cos
+ 𝑖 sin 2 } = 1 {cos
+ 𝑖 sin }
2
2
4
4
√2 √2
√2 √2
𝑧2 = 1 { −
𝑖} =
−
𝑖
2
2
2
2
Comprobando que 𝑧1 , 𝑧2 son raíces cuadradas de – 𝑖.
2
𝑧1 2
2
2
√2 √2
√2 √2
= (−
+
𝑖) = − 2
𝑖 + 𝑖 2 = −𝑖
2
2
4
2 2
4
2
𝑧2 2
2
2
√2 √2
√2 √2
=( −
𝑖) = − 2
𝑖 + 𝑖 2 = −𝑖
2
2
4
2 2
4
1
2 Calcular √−1 + 𝑖 = (−1 + 𝑖)2
Tomamos el número complejo en su representación exponencial.
3𝜋
−1 + 𝑖 = √2𝑒 𝑖 4
1
Donde 𝑟 = 22 y 𝜃 =
3𝜋
4
módulo y argumento respectivamente.
En este caso 𝑛 = 2 luego 𝑘 = 0,1
1
2
1
1 2
2
Así (−1 + 𝑖) = (2 ) {cos
3𝜋
+2𝑘𝜋
4
2
+ 𝑖 sin
3𝜋
+2𝑘𝜋
4
2
}
Cuando 𝑘 = 0 (primera raíz)
𝑧1 =
1
24 {cos
3𝜋
3𝜋
+ 2(0)𝜋
+ 2(0)𝜋
4
+ 𝑖 sin 4
}
2
2
17
Números Complejos
𝑧1 =
1
24 {cos
3𝜋
3𝜋
4 + 𝑖 sin 4 } = 214 {cos 3𝜋 + 𝑖 sin 3𝜋}
2
2
8
8
1
𝑧1 = 24 {0.3826 + 0.9238𝑖} = 0.4550 + 1.0986𝑖
Cuando 𝑘 = 1 (segunda raíz)
𝑧2 =
𝑧2 =
1
24 {cos
1
24 {cos
3𝜋
3𝜋
+ 2(1)𝜋
+ 2(1)𝜋
4
+ 𝑖 sin 4
}
2
2
11𝜋
11𝜋
4 + 𝑖 sin 4 } = 214 {cos 11𝜋 + 𝑖 sin 11𝜋}
2
2
8
8
1
𝑧2 = 24 {−0.3826 − 0.9238𝑖} = −0.4550 − 1.0986𝑖
1
3
3 Calcular √−27 = (−27)3
Tomamos el número complejo en su representación exponencial.
−27 = 27𝑒 𝑖𝜋
Donde 𝑟 = 27 y 𝜃 = 𝜋 módulo y argumento respectivamente.
En este caso 𝑛 = 3 luego 𝑘 = 0,1,2
1
1
Así (−27)3 = (27)3 {cos
𝜋+2𝑘𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋+2𝑘𝜋
3
}
Cuando 𝑘 = 0 (primera raíz)
1
𝑧1 = 273 {cos
𝑧1 = 3 {cos
𝜋 + 2(0)𝜋
𝜋 + 2(0)𝜋
+ 𝑖 sin
}
3
3
𝜋+0
𝜋 + 2(0)𝜋
𝜋
𝜋
+ 𝑖 sin
} = 3 {cos + 𝑖 sin }
3
3
3
3
1 √3
3 3 √3
𝑧1 = 3 { +
𝑖} = +
𝑖
2
2
2
2
Cuando 𝑘 = 1 (segunda raíz)
18
Números Complejos
1
𝑧2 = 273 {cos
𝑧2 = 3 {cos
𝜋 + 2(1)𝜋
𝜋 + 2(1)𝜋
+ 𝑖 sin
}
3
3
3𝜋
3𝜋
+ 𝑖 sin } = 3{cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋}
3
3
𝑧2 = 3{−1 + 0𝑖} = −3
Cuando 𝑘 = 2 (tercera raíz)
1
𝑧3 = 273 {cos
𝑧3 = 3 {cos
𝜋 + 2(2)𝜋
𝜋 + 2(2)𝜋
+ 𝑖 sin
}
3
3
𝜋 + 4𝜋
𝜋 + 4𝜋
5𝜋
5𝜋
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin }
} = 3 {cos
3
3
3
3
1 √3
3 3 √3
𝑧3 = 3 { −
𝑖} = −
𝑖
2
2
2
2
Comprobando que 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 son raíces cúbicas de – 27.
3
𝑧1 3
2
3 3 √3
3 3 √3
3 3 √3
=( +
𝑖) = ( +
𝑖) ( +
𝑖)
2
2
2
2
2
2
9 9 √3
27 3 3√3
=( +
𝑖 − )( +
𝑖)
4
2
4
2
2
18 9√3
3 3 √3
= (− +
𝑖) ( +
𝑖)
4
2
2
2
=−
54 54√3
27√3
81
−
𝑖+
𝑖−
= −27
8
8
4
4
𝑧2 3 = (−3)3 = (−3)2 (−3) = (9)(−3) = −27
19
Números Complejos
3
𝑧3 3
2
3 3 √3
3 3 √3
3 3 √3
=( −
𝑖) = ( −
𝑖) ( −
𝑖)
2
2
2
2
2
2
9 9 √3
27 3 3√3
=( −
𝑖 − )( −
𝑖)
4
2
4
2
2
18 9√3
3 3 √3
= (− −
𝑖) ( −
𝑖)
4
2
2
2
54 54√3
27√3
81
=− +
𝑖−
𝑖−
= −27
8
8
4
4
Podemos graficar en el plano complejo las raíces cubicas de −27.
Observamos que las tres raíces cubicas de −27 están inscritas en un círculo de
radio 𝑟 = 3 y forman un polígono regular de tres lados, un triángulo
equilátero.
El módulo de las tres raíces es |𝑧𝑖 | = 3 dispuestas cada una a un ángulo de
𝜋
3
(60°); 𝜋(180°);
5𝜋
3
(300°) respectivamente.
20
Números Complejos
1
4
4 Calcular √−16 = (−16)3
Tomamos el número complejo en su representación exponencial.
−16 = 16𝑒 𝑖𝜋
Donde 𝑟 = 16 y 𝜃 = 𝜋 módulo y argumento respectivamente.
En este caso 𝑛 = 4 luego 𝑘 = 0,1,2,3
1
1
Así (−16)4 = (16)4 {cos
𝜋+2𝑘𝜋
4
+ 𝑖 sin
𝜋+2𝑘𝜋
4
}
Cuando 𝑘 = 0 (primera raíz)
1
𝑧1 = 164 {cos
𝑧1 = 2 {cos
𝜋 + 2(0)𝜋
𝜋 + 2(0)𝜋
+ 𝑖 sin
}
4
4
𝜋+0
𝜋 + 2(0)𝜋
𝜋
𝜋
+ 𝑖 sin
} = 2 {cos + 𝑖 sin }
4
4
4
4
√2 √2
𝑧1 = 2 { +
𝑖} = √2 + √2𝑖
2
2
Cuando 𝑘 = 1 (segunda raíz)
1
𝑧2 = 164 {cos
𝑧2 = 2 {cos
𝜋 + 2(1)𝜋
𝜋 + 2(1)𝜋
+ 𝑖 sin
}
4
4
𝜋 + 2𝜋
𝜋 + 2𝜋
3𝜋
3𝜋
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin }
} = 2 {cos
4
4
4
4
𝑧2 = 2 {−
√2 √2
+
𝑖} = −√2 + √2𝑖
2
2
Cuando 𝑘 = 2 (tercera raíz)
1
𝑧3 = 164 {cos
𝑧3 = 2 {cos
𝜋 + 2(2)𝜋
𝜋 + 2(2)𝜋
+ 𝑖 sin
}
4
4
𝜋 + 4𝜋
𝜋 + 4𝜋
5𝜋
5𝜋
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin }
} = 2 {cos
4
4
4
4
21
Números Complejos
𝑧3 = 2 {−
√2 √2
−
𝑖} = −√2 − √2𝑖
2
2
Cuando 𝑘 = 3 (cuarta raíz)
1
𝑧4 = 164 {cos
𝜋 + 2(3)𝜋
𝜋 + 2(3)𝜋
+ 𝑖 sin
}
4
4
𝜋 + 6𝜋
𝜋 + 6𝜋
7𝜋
7𝜋
+ 𝑖 sin
+ 𝑖 sin }
} = 2 {cos
4
4
4
4
𝑧3 = 2 {cos
√2 √2
𝑧3 = 2 { −
𝑖} = √2 − √2𝑖
2
2
Comprobando que 𝑧1 , 𝑧2 , 𝑧3 , 𝑧4 son raíces cuartas de – 16.
2 2
4
𝑧1 4 = (√2 + √2𝑖) = ((√2 + √2𝑖) ) = (2 + 4𝑖 + 2)2 = (4𝑖)2 = 42 𝑖 2
= −16
2 2
4
𝑧2 4 = (−√2 + √2𝑖) = ((−√2 + √2𝑖) ) = (2 − 4𝑖 − 2)2 = (−4𝑖)2
= 42 𝑖 2 = −16
4
4
𝑧3 4 = (−√2 − √2𝑖) = ({−1}{√2 + √2𝑖}) = (−1)4 (√2 + √2𝑖)
4
4
= (√2 + √2𝑖) = −16
2 2
4
4
𝑧2 = (√2 − √2𝑖) = ((√2 − √2𝑖) ) = (2 − 4𝑖 − 2)2 = (−4𝑖)2 = 42 𝑖 2
= −16
Podemos graficar en el plano complejo las raíces cuartas de −16.
Observamos que las cuatro raíces cuartas de −16 están inscritas en un círculo
de radio 𝑟 = 2 y forman un polígono regular de cuatro lados, un cuadrado.
El módulo de las tres raíces es |𝑧𝑖 | = 2 dispuestas cada una a un ángulo de
𝜋
4
(45°);
3𝜋
4
(135°);
5𝜋
4
(225°);
7𝜋
4
(315°) respectivamente.
22
Números Complejos
Hasta este momento hemos conocido al conjunto de los números complejos y
las operaciones básicas que podemos realizar entre sus elementos.
Hemos estudiado la representación gráfica de los números complejos y de
algunas de sus operaciones.
Se hace necesario un estudio y análisis más profundo de las propiedades y
alcances geométricos de los números complejos y sus operaciones.
Se recomienda realizar una cantidad aceptable de ejercicios relacionados con
las operaciones y representaciones graficas de los números complejos para
alcanzar y mayor conocimiento y dominio de los mismos.
23
