Ejercicios Variable Compleja CGF

Ejercicios de Variable Compleja
Academia de Matemáticas
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Zacatenco
Instituto Politécnico Nacional
Carlos González Flores
30 de noviembre de 2018
2
Índice general
1. Números Complejos y el Plano Complejo
1.1. Números Complejos y sus Propiedades . .
1.2. El Plano Complejo . . . . . . . . . . . . .
1.3. Forma Polar de los Números Complejos . .
1.4. Potencias y Raíces . . . . . . . . . . . . .
1.5. Conjuntos de Puntos en el Plano Complejo
1.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
10
11
14
16
19
2. Funciones Complejas y Mapeos
2.1. Funciones Complejas . . . . . . . .
2.2. Funciones Complejas como Mapeos
2.3. Mapeos Lineales . . . . . . . . . . .
2.4. Potencias y Raíces . . . . . . . . .
2.4.1. La Función z n . . . . . . . .
2.4.2. La Función z 1/n . . . . . . .
2.5. Función Recíproca . . . . . . . . .
2.6. Límites y Continuidad . . . . . . .
2.6.1. Límites . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Continuidad . . . . . . . . .
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21
21
23
25
28
28
30
31
34
34
36
3. Funciones Analíticas
3.1. Derivación de Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Funciones Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
42
4. Funciones Elementales Complejas
4.1. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Función Exponencial Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Función Logarítmica Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
45
46
3
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4
ÍNDICE GENERAL
4.2. Exponentes Complejos . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas . . . . .
4.3.1. Funciones Trigonométricas Complejas . . .
4.3.2. Funciones Hiperbólicas Complejas . . . . .
4.4. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas
5. Integración en el Plano Complejo
5.1. Integrales Reales . . . . . . . . .
5.2. Integrales Complejas . . . . . . .
5.3. Teorema de Cauchy-Goursat . . .
5.4. Independencia de la Cuvas . . . .
5.5. Fórmulas integrales de Cauchy . .
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6. Series y Residuos
6.1. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Serie de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Ceros y Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Residuos y el Teorema de los Residuos . . . . . . . . .
6.6. Algunas Consecuencias del Teorema de los Residuos . .
6.6.1. Evaluación de Integrales Trigonométricas Reales
6.6.2. Evaluación de Integrales Reales Impropias . . .
Bibliografía
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48
49
49
50
52
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55
55
58
61
63
65
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67
67
69
71
73
75
77
77
78
80
Introducción
La presente colección de ejercicios fueron utilizados a los largo de los cursos de
Variable Compleja impartidos en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
del Instituto Politécnico Nacional durante los ciclos 2016-2017 y 2017-2018.
La mayoría de los ejercicios fueron tomados del texto A first course in complex
analysis with applications de Zill y Shanahan y complementados con problemas obtenidos de los restantes textos presentados en la bibliografía presentada hasta el final de
la presente recopilación, cabe mencionar que algunos ejercicios son de la autoría de un
servidor.
5
6
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Números Complejos y el Plano
Complejo
1.1.
Números Complejos y sus Propiedades
1. Evaluar las siguientes potencias de i.
(a) i8
(b) i11
(c) i42
(d) i105
Solución:
(a) 1
(b) −i
(c) −1
(d) i
2. Presentar en la forma rectángular las siguientes expresiones:
(a) (5 − 9i) + (2 − 4i)
(b) i(5 + 7i)
(c) (2 − 3i)(4 + i)
2 − 4i
(d)
3 + 5i
(3 − i)(2 + 3i)
(e)
1+i
(f)
(5 − 4i) − (3 + 7i)
(4 + 2i) + (2 − 3i)
(g) i(1 − i)(2 − i)(2 + 6i)
(h) (3 + 6i) + (4 − i)(3 + 5i) +
7
1
2−i
8
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
Solución:
(f) 8 − i
(a) 7 − 3i
(b) −7 + 5i
(c) 11 − 10i
2 16
(d) + i
5
5
7
11
(e) − − i
17 17
(g)
23 64
− i
37 37
(h) 20i
(i)
102 116
+
i
5
5
3. Utilizando el teorema del binomio
n X
n n−k k
(A + B) =
A B
k
k=0
n
n
n!
calcular los siguiente:
donde
=
k!(n − k)!
k
(a) (2 + 3i)2
(b) (−2 + 2i)5
Solución:
(a) −5 + 12i
(b) 128 − 128i
4. Encontrar la parte real e imaginaria del siguiente número complejo:
i
1
z=
3−i
2 + 3i
Solución: Re(z) =
7
9
, Img(z) =
130
130
5. Considerando que z = x + iy. Expresar los números complejos dados en términos
de x y y.
1.1. NÚMEROS COMPLEJOS Y SUS PROPIEDADES
9
(b) Img(2z + 4z − 4i)
(a) Re(1/z)
Solución:
(a)
x2
x
+ y2
(b) −2y − 4
6. Considerando que z = x + iy, expresar la cantidad presentada en términos de z.
(a) Re(iz)
(b) Img((1 + i)z)
Solución:
(a) −Img(z)
(b) Re(z) + Img(z)
√
2
2
+
i que satisface la ecuación z 2 + i = 0,
7. Dado que el número z1 = −
2
2
encontrar otro número complejo z2 de tal forma que también sea solución de
dicha ecuación.
√
√
√
2
2
Solución: z2 =
−
i
2
2
8. Resolver las siguientes ecuaciones, presentando la solución en la forma cartesiana.
(a) 2z = i(2 + 9i)
(b) z 2 = i
(c) z + 2z =
2−i
1 + 3i
Solución:
9
(a) z = − + i
2
"√
(b) z = ±
√ #
1
7
2
2
(c) z = − +
+
i
30 10
2
2
10
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
9. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
iz1 −
iz2 = 2 + 10i
−z1 + (1 − i)z2 = 3 − 5i
Solución: z1 = 17 + 11i, z2 = 7 + 13i
1.2.
El Plano Complejo
1. Dados z1 = 5 − 2i y z2 = −1 − i, encontrar el número complejo z3 que tenga la
misma dirección de z1 + z2 de tal forma que sea cuatro veces más largo.
Solución: 16 − 12i
2. A partir del sus ángulos, ¿qué tipo de triángulo forman los puntos z1 = 1 + 5i,
z2 = −4 − i y z3 = 3 + i.
Solución: Retángulo
3. Encontrar el módulo de los siguientes números complejos:
(a) (1 − i)2
(b)
2i
3 − 4i
(b)
2
5
Solución:
(a) 2
4. Suponiendo que z = x + iy expresar |z − 1 − 3i|2 en términos de x e y.
Solución: (x − 1)2 + (y − 3)2
1.3. FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
11
5. De los siguientes números complejos determinar cuál está más cercano del origen
y cuál está más cercano a 1 + i.
Solución: 10 + 8i y 11 − 6i respectivamente.
6. Describir el conjunto de puntos z en el plano complejo que satisfacen las relaciones
dadas:
(a) Re((1 + i)z − 1) = 0
(b) |z − i| = |z − 1|
(c) Img(z 2 ) = 2
(d) |z − 1| = 1
(e) |z − 2| = Re(z)
Solución:
(a) La recta x − y = 1
(b) La recta x = y
(c) La hipérbola xy = 1
(d) El círculo con centro en (0, 1) y
radio 1
(e) La parábola y 2 = 4(x − 1).
7. Utilizando la desigualdad de triángulo encontrar una cota para el módulo de
3z 2 + 2z + 1 cuando |z| ≤ 1.
Solución: 6
8. Resolver la ecuación |z| − z = 2 + i.
3
Solución: z = − − i
4
1.3.
Forma Polar de los Números Complejos
1. Expresar los siguientes números complejos en su forma polar:
12
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
(a) 2
(b) −3i
(c) 1 + i
√
(d) − 3 + i
(e)
3
−1 + i
Solución:
(a) 2 (cos (0) + i sin (0))
3π
3π
+ i sin
(b) 3 cos
2
2
π √ π (c) 2 cos
+ i sin
4
4
5π
5π
+ i sin
(d) 2 cos
6
6
√ 3 2
7π
7π
(e)
cos
+ i sin
2
4
4
√
√
2. Con el uso de una calcular expresar el número complejo − 2 + i 7 en su forma
polar.
Solución: 3 (cos (8.34486) + i sin (8.34486))
3. Dados los siguientes números complejos expresarlos en su forma cartesiana.
5π
5π
(a) 4 cos −
+ i sin −
3
3
7π
7π
(b) 5 cos
+ i sin
6
6
π π (c) 6 cos
+ i sin
8
8
Solución:
√
(a) 2 + 2 3i
√
5 3 5
− i
(b) −
2
2
(c) 5.543 + 2.296i
1.3. FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
3π
3π
+ i sin
y z2 = 4 cos
+ i sin
, calcu4. Dados z1 = 2 cos
8
8
9
9
lar z1 · z2 y z1 /z2 y presentar el resultado en la forma cartesiana.
π π 13
√
2
2
−
i
Solución: 8i,
4
4
√
5. Realizar las siguientes operaciones y presentar el resultado en su forma polar:
√
(a) (3 − 3i)(5 + 5 3i)
(b) −
Solución:
π √ π
(a) 30 2 cos
+ i sin
12
12
i
1+i
√ 2
5π
5π
(b)
cos
+ i sin
2
4
4
6. Calcular las potencias de los siguientes números complejos dados:
√
(a) (1 + 3i)9
10
1 i
(b)
+
2 2
h√ π π i12
(c)
2 cos
+ i sin
8
8
Solución:
(a) −512
i
(b)
32
(c) −64i
7. Expresar en la forma cartesiana lo siguiente
cos
π 9
+ i sin
π 12 h π π i5
2 cos
+ i sin
9
6
6
14
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
√
Solución: 16 3 + 16i
8. Utilizar la fórmula de De Moivre con n = 2 para encontrar una expresión para
cos(2θ) y sin(2θ).
Solución: cos(2θ) = cos2 θ − sin2 θ y sin(2θ) = 2 sin θ cos θ
9. Encontrar el entero positivo mínimo n que satisface
!n
√
3 i
+
= −1.
2
2
Solución: n = 6
1.4.
Potencias y Raíces
1. Calcular las raíces de los siguientes números complejos:
p
√
√
(a) 3 8
(e) −1 + i 3
√
√
(b) −9
(f)
3 + 4i
√
r
(c) i
16i
√
(g) 8
(d) 3 −1 + i
1+i
Solución:
(a) w1 = 2, w2 = −1 +
√
3i, w3 = −1 −
√
3i
(b) w1 = 3i, w2 = −3i
√
√
√
√
2
2
2
2
+
i, w2 = −
−
i
(c) w1 =
2
2
2
2
1
1
(d) w1 = √
+√
, w2 = −1.084 + 0.290i, w3 = 0.290 − 1.084i
3
3
2
2
1.4. POTENCIAS Y RAÍCES
15
√
√
√
2
6
2
6
+
i, w2 = −
−
i
(e) w1 =
2
2
2
2
(f) w1 = 2 + i, w2 = −2 − i
√
(g)
2. Calcular
w1
w1
w3
w4
√
= −1.34773 − 0.13274i,
= −1.04685 + 0.859131i,
= −0.859131 − 1.04685i,
= −0.13274 + 1.34773i
w5
w6
w7
w8
= 0.13274 − 1.34773i,
= 0.859131 + 1.04685i,
= 1.04685 − 0.859131i,
= 1.34773 + 0.13274i
7 + 24i a partir de sus componentes cartesianas.
Solución: 4 + 3i, −4 − 3i
3. Encontrar todas la soluciones de la ecuación z 4 + 1 = 0.
√
2
2
(1 + i), ±
(1 − i)
Solución: ±
2
2
√
4. Calcular
√
4
1.
Solución: 1, i, −1, −i
5. Obtener lo siguiente:
√
√ 3
(a) Encontrar i y calcular
i .
√
(b) Calcular i3 y calcular i3 .
Solución:
√
√
√
√
2
2
2
2
1−i
1−i
(a) w1 =
+
i, w2 = −
−
i, w13 = − √ , w23 = √ .
2
2
2
2
2
2
√
1 − i −1 + i
(b) i3 = −i, i3 = − √ , √
.
2
2
16
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
1.5.
Conjuntos de Puntos en el Plano Complejo
1. Graficar los siguientes conjuntos de puntos z en el plano complejo.
(a) |z − 4 + 3i| = 5
(d) Img(z + 3i) = 6
(b) |z + 3i| = 2
(e) |Re(1 + iz)| = 3
(c) Re(z) = 5
(f) Re(z 2 ) = 1
Solución:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2. Graficar en el plano complejo los siguientes conjuntos, decir cuales de estos conjuntos son: Abierto, Cerrado, dominio, acotado y conexo.
1.5. CONJUNTOS DE PUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO
(a) Re(z) < −1
(d) Re(z 2 ) > 0
(b) Img(z) > 3
(e) |z − i| > 1
(c) 2 < Re(z − 1) < 4
(f) 1 ≤ |z − 1 − i| < 2
17
Solución:
(d)
(a)
Si, No, No, No, No, respectivamente
Si, No, Si, No, Si, respectivamente
(e)
(b)
Si, No, Si, No, Si, respectivamente
Si, No, Si, No, Si, respectivamente
(f)
(c)
Si, No, Si, No, Si, respectivamente
No, No, No, Si, Si, respectivamente
18
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
3. Del ejercicio anterior, describir la frontera de cada conjunto.
Solución:
(a) La recta x = −1
(b) La recta y = 3
(c) Las líneas x = 3 y x = 5
(d) La rectas y = x e y = −x
(e) El círculo |z − i| = 1
(f) Loa círculos |z − 1 − i| = 1 y |z − 1 − i| = 2
4. Graficar el conjunto de números complejos z = tales que 0 ≤ arg(z) ≤ π/6.
Solución:
5. Describir en términos del arg(z) el conjunto cuya gráfica es
1.6. APLICACIONES
Solución: | arg(z)| ≤
1.6.
19
2π
3
Aplicaciones
1. Utilizando la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas, entrar las soluciones
de las siguientes ecuaciones y factorizar el polinomio dado.
√
(a) z 2 + iz − 2 = 0
(c) z 2 + 2z − 3i = 0
(b) z 2 − (1 + i)z + 6 − 17i = 0
Solución:
√
√
7 1
7 1
(a)
− i, −
− i,
2
2
2
2
√
7 1
z−
+ i
2
2
!
√
!
7 1
z+
+ i
2
2
(b) −2 − 3i, 3 + 4i, (z + 2 + 3i)(z − 3 − 4i)
√
√
√
√
6
2
6
2
(c) −1 −
−
i, −1 +
+
i,
2
2
2
2
!
√
√
√ !
√
6
2
6
2
+
i
z+1−
−
i
z+1+
2
2
2
2
2. Expresar los siguientes números complejos en su forma exponencial:
(a) −10
(b) −4 − 4i
(c) (3 − i)2
√ 5π
(b) 4 2e 4 i
(c) 10etan
Solución:
(a) 10eπi
−1 (−3/4)
20
CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO COMPLEJO
Capítulo 2
Funciones Complejas y Mapeos
2.1.
Funciones Complejas
1. Evaluar los números complejos dados en las siguientes funciones:
(a) f (z) = z 2 z − 2i
(i) 2i
(ii) 1 + i
(iii) 3 − 2i
(ii) 4i
(iii) 1 + i
(b) f (z) = ln |z| + iArg(z)
(i) 1
(c) f (z) = (xy − x2 ) + i(3x + y)
(i) 3i
(ii) 4 + i
(iii) 3 − 5i
(ii) −2i
(iii) 2 − i
(iii) 39 − 28i
(d) f (z) = r + i cos 2θ
(i) 3
Solución:
(a)
(i) 6i
(ii) 2
(b)
(i) 0
(ii) ln 4 +
21
π
i
2
(iii)
1
π
ln 2 + i
2
4
22
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
(c)
(i) 3i
(ii) −12 + 13i
(iii) −24 + 4i
(d)
(i) 3 + i
(ii) 2
(iii)
√
4
5+ i
5
2. Encontrar las componentes cartesianas de las siguientes funciones complejas:
z
z+1
(d) f (z) = e2z+i
(a) f (z) = 6z − 5 + 9i
(c) f (z) =
(b) f (z) = z 3 − 2z + 6
Solución:
(a) u = 6x − 5; v = 6y + 9
(b) u = x3 − 2x − 3xy 2 + 6; v = 3x2 y − 2y − y 3
(c) u =
x2 + x − y 2
2xy + y
;v=−
2
2
(x + 1) + y
(x + 1)2 + y 2
(d) u = e2x cos(2y + 1); v = e2x sin(2y + 1)
3. Expresar las componentes cartesianas de las siguientes funciones en términos de
su módulo r y su argumento θ.
(a) f (z) = z
(b) f (z) = z 4
Solución:
(a) u = r cos θ; v = −r sin θ
(b) u = r4 cos 4θ; v = r4 sin 4θ
(c) u = er cos θ cos(r sin θ); v = er cos θ sin(r sin θ)
4. Encontrar el dominio de la función compleja dada:
(c) f (z) = ez
2.2. FUNCIONES COMPLEJAS COMO MAPEOS
(a) f (z) = 2Re(z) − iz 2
(b) f (z) =
23
iz
|z − 1|
Solución:
(b) C \ {1}
(a) C
2.2.
Funciones Complejas como Mapeos
1. En los siguientes ejercicios encontrar la imagen S 0 del conjunto S bajo la función
dada.
(a) f (z) = z; S es la recta horizontal y = 3.
(b) f (z) = 3z; S es el semi-plano Img(z) > 2.
(c) f (z) = (1 + i)z; S es la recta vertical x = 2
(d) f (z) = iz + 4; S es el semi-plano Img(z) ≤ 1
Solución:
(a) S 0 es la recta horizontal v = −3
(b) S 0 es el semiplano Img(w) > 6
(c) S 0 es la recta v = 4 − u
(d) S 0 es el semi-plano Re(w) ≥ 3
2. Dada la función f (z) = z 2 entrar la imagen de los siguientes conjuntos bajo la
función dada.
(a) y = 1
(b) x = 0
Solución:
1
(a) La parábola u = v 2 − 1
4
(b) El rayo −∞ < u ≤ 0; v = 0
(c) y = x
24
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
(c) El rayo u = 0; 0 ≤ v < ∞
3. En los siguientes ejercicios realizar los siguiente:
(i) Graficar la curva C definida por la expresión z(t).
(ii) Graficar la imagen C 0 de C bajo f (z) dada.
a) z(t) = 2(1 − t) + it, 0 ≤ t ≤ 1; f (z) = 3z
b) z(t) = 1 + 2eit , 0 ≤ t ≤ 2π; f (z) = z + 1 − i
c) z(t) = t, 0 ≤ t ≤ 2; f (z) = eiπz
Solución:
a)
(i)
(ii)
b)
(i)
(ii)
c)
(i)
(ii)
2.3. MAPEOS LINEALES
25
4. Utilizando una parametrización de la curva C, encontrar su imagen C 0 bajo la
función compleja w = f (z) dada.
(a) f (z) = z 3 ; C es la parte positiva del eje imaginario.
(b) f (z) = 1/z; C es el círculo |z| = 2.
(c) f (z) = z + z; C es el semicírculo de radio unidad |z| = 1 ubicado en el
semi-plano superior Img(z) ≥ 0.
Solución:
(a) La parte negativa del eje imaginario
1
(b) El círculo |w| =
2
(c) El segmento de línea que va de −2 a 2
2.3.
Mapeos Lineales
1. Encontrar la imagen del disco unitario cerrado |z| ≤ 1 bajo las siguientes funciones lineales w = f (z):
(a) f (z) = z + 3i.
(b) f (z) = 3iz.
(c) f (z) = 2z − i.
(b) |w| ≤ 3.
(c) |w + i| ≤ 2.
Solución:
(a) |w − 3i| ≤ 1.
2. Encontrar la imagen del triángulo con vértices en 0, 1 e i bajo las siguientes
funciones lineales w = f (z):
(a) f (z) = z + 2i.
(b) f (z) = eiπ/4 z.
Solución:
(a) El triángulo con vértices en 2i, 1 + 2i y 3i
(c) f (z) = −3z + i.
26
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
√
√
√
2
2
2
2
+
iy−
+
i
(b) El triángulo con vértices en 0,
2
2
2
2
(c) El triángulo con vértices en i, −3 + i y −2i
√
3. Expresar las siguientes funciones lineales w = f (z) como composición de una
rotación R, un escalamiento M y un traslado T .
(a) f (z) = 3iz + 4.
√
1
(b) f (z) = − z + 1 − 3i.
2
Solución:
(a) f (z) = (T ◦ M ◦ R)(z), donde R(z) = eπi/2 z, M (z) = 3z y T (z) = z + 4.
√
1
(b) f (z) = (T ◦M ◦R)(z), donde R(z) = eπi z, M (z) = z y T (z) = z+1+ 3i.
2
4. Encontrar una función lineal que transforme el conjunto S en el conjunto S 0 .
(a) S es el triángulo con vértices en 0, 1 y 1 + i. S 0 es el triángulo con vértices
en 2i, 3i y −1 + 3i.
(b) S es el eje imaginario. S 0 es la línea que pasa por los puntos i y 1 + 2i.
Solución:
(a) f (z) = iz + 2i
(b) f (z) = e−πi/4 z + i
5. Encontrar dos diferentes funciones lineales f (z) y g(z) que transformen el cuadrado con vértices en 0, 1, 1 + i y i en el cuadrado con vértices en −1, 0, i y
−1 + i.
Solución: f (z) = z − 1; g(z) = iz
6. Considerando el segmento de línea parametrizado por z(t) = z0 (1 − t) + z1 t,
0 ≤ t ≤ 1.
2.3. MAPEOS LINEALES
27
(a) Encuentre una parametrización de la imagen del segmento de línea bajo la
translación T (z) = z + b, con b 6= 0.
(b) Encuentre una parametrización de la imagen del segmento de línea bajo la
rotación R(z) = az, donde |a| = 1.
(c) Encuentre una parametrización de la imagen del segmento de línea bajo el
escalamiento M (z) = az, donde a > 0.
En cada caso describa la imagen con palabras.
Solución:
(a) w(t) = (z0 + b)(1 − t) + (z1 + b)t, 0 ≤ t ≤ 1; el segmento de línea que va
de z0 + b a z1 + b
(b) w(t) = az0 (1 − t) + az1 t, 0 ≤ t ≤ 1; el segmento de línea que va de az0 a
az1
(c) w(t) = az0 (1 − t) + az1 t, 0 ≤ t ≤ 1; el segmento de línea que va de az0 a
az1
7. Dadas las siguientes funciones, expresar las composiciones de estas como una
función lineal f (z) = az + b.
(a) Una rotación por π/4, un escalamiento por 2 y un traslado por 1 + i.
√
(b) Un escalamiento por 2, un traslado por 2 y una rotación por π/4.
√
(c) Un traslado por 2/2, una rotación por π/4 y un escalamiento por 2.
Solución:
(a) f (z) = 2eπi/4 z + 1 + i
(b) f (z) = 2eπi/4 z + 1 + i
(c) f (z) = 2eπi/4 z + 1 + i
28
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
2.4.
Potencias y Raíces
2.4.1.
La Función z n
1. En los siguientes problemas, encuentre la imagen del conjunto dado bajo la función w = z 2 .
π
(a) El rayo arg(z) = .
3
(b) La recta vertical x = 3.
1
(c) La recta horizontal y = − .
4
(d) La parte positiva del eje imaginario.
1
(e) El arco de círculo |z| = y 0 ≤ arg(z) ≤ π.
2
(f) El triángulo con vértices en los puntos 0, 1 y 1 + i.
(g) El cuadrado con vértices en 0, 1, 1 + i e i.
Solución:
(a) El rayo arg(w) =
2
3π
1 2
v , −∞ < v < ∞
36
1
(c) La parábola u = 4v 2 − , −∞ < v < ∞
16
(d) La semi-recta v = 0, −∞ < u ≤ 0
1
(e) El círculo |w| =
4
(b) La parábola u = 9 −
1
(f) Los arco definidos por v = 0, 0 ≤ u ≤ 1; u = 0, 0 ≤ v ≤ 2; u = 1 − v 2 ,
4
0≤v≤2
1
(g) Los arco definidos por v = 0, −1 ≤ u ≤ 1; u = 1 − v 2 , 0 ≤ v ≤ 2;
4
1 2
u = v − 1, 0 ≤ v ≤ 2
4
2. En los siguientes problemas, encuentre la imagen del conjunto dado bajo la función de cuadrática dada.
2.4. POTENCIAS Y RAÍCES
29
π
; f (z) = 2z 2 + 1 − i.
3
(b) La recta vertical x = 2; f (z) = iz 2 − 3
(a) El rayo arg(z) =
(c) El arco de círculo |z| = 2, 0 ≤ arg(z) ≤
1
π
; f (z) = eiπ/4 z 2 .
2
4
Solución:
√
(a) El rayo que inicia en 1 − i y que contiene al punto ( 3 − 1)i.
1
(b) La parábola v = 4 − (u + 3)2 , −∞ < u < ∞
16
π
5π
(c) El arco de círculo |1| = 1, ≤ arg(w) ≤
4
4
3. Encontrar la imagen del rayo arg(z) = π/6 bajo las siguientes funciones:
(a) f (z) = z 3
(b) f (z) = z 4
(c) f (z) = z 5
Solución:
π
2
2π
(b) El rayo arg(z) =
3
5π
(c) El rayo arg(z) =
6
(a) El rayo arg(z) =
π
3π
4. Encontrar la imagen de la región definida por 1 ≤ |z| ≤ 2 y
≤ arg(z) =
4
4
bajo las siguientes funciones:
(a) f (z) = z 2
(b) f (z) = z 3
(c) f (z) = z 4
Solución:
(a) La región definida por 1 ≤ |w| ≤ 4 y
π
3π
≤ arg(w) =
2
2
30
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
(b) La región definida por 1 ≤ |w| ≤ 8 y
3π
9π
≤ arg(w) =
4
4
(c) La región definida por 1 ≤ |w| ≤ 16
2.4.2.
La Función z 1/n
1. En los siguientes ejercicios encontrar el valor principal de la raíz de índice n para
el número complejo dado:
√
(a) z, z = −i
√
(b) 3 z, z = −1
√
√
(c) 4 z, z = −1 + 3i
Solución:
√
√
2
2
(a)
−
i
2
2
√
3
1
i
(b) +
2
2
√
√
4
4
18
2
(c)
+
i
2
2
2. Encontrar
la imagen de los conjuntos dados bajo el valor principal de la función
√
w = z.
π
.
4
(b) La parte positiva del eje imaginario.
π
(c) El arco |z| = 9, ≤ arg(z) ≤ π.
2
9 1
(d) La parábola x = − y 2 .
4 9
(a) El rayo arg(z) =
Solución:
2.5. FUNCIÓN RECÍPROCA
31
π
8
π
(b) El rayo arg(w) =
4
π
π
(c) El arco |w| = 3, ≤ arg(w) ≤
4
2
3
(d) La recta vertical u =
2
(a) El rayo arg(w) =
3. Encontrar la imagen de la siguiente región
bajo el valor principal de la función w =
√
z.
Solución: La región acotada por la rectas u = 2, v = 2 que contiene al punto
3 + 4i
2.5.
Función Recíproca
1. En los siguientes ejercicios, encontrar la imagen del conjunto dado bajo la función
w = 1/z.
(a) El círculo |z| = 5.
(b) El semi-círculo |z| = 3, −
1
≤ |z| ≤ 2.
3
π
(d) El rayo arg(z) = .
4
(c) El anillo
π
3π
≤ arg(z) ≤
.
4
4
32
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
(e) La recta horizontal y = 4.
Solución:
(a) El círculo |w| =
1
5
1
3π
π
(b) El arco de círculo |w| = , −
≤ arg(w) ≤
3
4
4
1
(c) El anillo ≤ |w| ≤ 3
2
π
(d) El rayo arg(w) = −
4
i
= 18
(e) El círculo w +
8
2. Encontrar la imagen bajo la función w = 1/z sobre el plano complejo extendido
de los siguientes conjuntos:
(a) El círculo |z + i| = 1.
(b) El círculo |z − 2| = 2.
Solución:
(a) La recta horizontal u =
(b) La recta vertical u =
1
2
1
4
3. Encontrar la imagen de los siguientes conjuntos bajo la función w = 1/z.
(a)
(b)
2.5. FUNCIÓN RECÍPROCA
33
Solución:
(a) La imagen es la región acotada por los círculos w +
1
1
1
1
= y w+
=
4
4
2
2
(b) La imagen es la región acotada por las rectas v = 0, v = −u y el círculo
|w| = 2 y que contiene al punto −3 + 2i
2i
4. Considerando la función h(z) = +1 definida sobre el plano complejo extendido,
z
resolver lo siguiente:
(a) Considerando que h es la composición de las función f (z) = 1/z y la función
lineal g(z) = 2iz + 1, describir la función w = h(z).
(b) Determinar la imagen de la recta vertical x = 4 bajo w = h(z).
(c) Determinar la imagen del círculo |z + 2| = 2 bajo w = h(z).
Solución:
(a) Una inversión con respecto al círculo unitario, una reflexión con respecto
al eje real, una rotación en contra de las manecillas del reloj de π/2 con
respecto al origen, un escalamiento por 2 y un traslado por 1
1
i
=
(b) El círculo w − 1 −
4
4
1
(c) La recta vertical v = −
2
5. Considerando la función h(z) = 1/z 2 como una función del plano complejo extendido, obtener los siguiente:
(a) Escribir a h como una composición de funciones.
(b) Determinar la imagen del círculo z +
i
1
= bajo la función w = h(z).
2
2
(c) Determinar la imagen del círculo |z − 1| = 1 bajo la función w = h(z).
34
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
Solución:
(a) Si f (z) = 1/z y g(z) = z 2 , entonces h(z) = (f ◦ g)(z).
1
(b) La parábola u = v 2 − 1
4
1
(c) La parábola u = − v 2
4
2.6.
Límites y Continuidad
2.6.1.
Límites
1. Calcular los siguientes límites:
1
(f) lı́m
z+
z
z→eiπ/4
(a) lı́m (z 2 − z)
z→2i
(b) lı́m (|z|2 − iz)
z→1−i
z4 − 1
z→2+i z + i
(c) lı́m ez
(g) lı́m
z→πi
(d) lı́m (ez + z)
z→2+i
(az + b) − (az0 + b)
z→−i
z − z0
(e) lı́m (z 2 − z)
(h) lı́m
z→2+i
Solución:
(a) −4 + 2i
(b) 3 − i
(e) 1 − 3i
√
(f) 2
(c) −1
(g) 4i
(d) (2 + e2 cos 1) + i(1 + e2 sin 1)
(h) a
Re(z)
, responder lo siguiente:
z→0 Img(z)
2. Considerando los valores lı́m
(a) ¿Cuál es el valor que toma este límte cuando z se aproxima a 0 a lo largo de
la recta x = y?
2.6. LÍMITES Y CONTINUIDAD
35
(b) ¿Cuál es el valor que toma este límte cuando z se aproxima a 0 a lo largo del
eje imaginario y = 0?
Re(z)
?
(c) A parir de los resultados anteriores, ¿Qué se puede concluir de lı́m
z→0 Img(z)
Solución:
(a) 1
(b) 0
(c) No existe
3. Considerando los valores lı́m
z→0
z 2
z
, responder lo siguiente:
(a) ¿Cuál es el valor que toma este límte cuando z se aproxima a 0 a lo largo del
eje real y = 0?
(b) ¿Cuál es el valor que toma este límte cuando z se aproxima a 0 a lo largo del
eje imaginario y = 0?
z 2
existe?
(c) A parir de los resultados anteriores, ¿ Se puede concluir que lı́m
z→0
z
(d) ¿Cuál es el valor que toma este límte cuando z se aproxima a 0 a lo largo de
la recta x = y?
z 2
(e) ¿Existe lı́m
?
z→0
z
Solución:
(a) 1
(c) No
(b) 1
(d) −1
(e) No
4. Calcular lo siguientes límites
z 2 + iz − 2
z→∞ (1 + 2i)z 2
(a) lı́m
z2 − 1
z→i z 2 + 1
(b) lı́m
z 2 − (2 + 3i)z + 1
z→∞
iz − 3
(c) lı́m
36
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
Solución:
(a)
2.6.2.
1 2
− i
5 5
(b) ∞
(c) ∞
Continuidad
1. En los siguientes ejercicios mostrar que la función f es continua en el punto z0
dado.
(a) f (z) = z 2 − iz + 3 − 2i; z0 = 2 − i.
z3
; z0 = i.
z 3 + 3z 2 + z
 3
 z − 1 , si |z| =
6 1;
(c) f (z) =
; z0 = 1.
z−1

3,
si |z| = 1.
(b) f (z) =
(d) f (z) = z − 3Re(z) + i; z0 = 3 − 2i.
Solución:
(a) lı́m f (z) = f (2 − i) = 5 − 8i
(c) lı́m f (z) = f (1) = 3
i
(b) lı́m f (z) = f (i) =
z→i
3
(d)
z→2−i
z→1
lı́m f (z) = f (3 − 2i) = −6 + 3i
z→3−2i
2. En los siguientes ejercicios mostrar que la función f (z) es discontinua en el punto
z0 dado.
z2 + 1
(a) f (z) =
; z0 = −i.
z+i
(b) f (z) = Arg(z); z0 = −1.
(c) f (z)
z0 = i.
=
 3
 z − 1 , si |z| =
6 1;
;
z−1

3,
si |z| = 1.
2.6. LÍMITES Y CONTINUIDAD
37
Solución:
(a) f (−i) no existe
(b) lı́m f (z) no existe
(c) lı́m f (z) no existe
z→i
z→−1
3. Determinar la región donde las siguientes funciones son continuas:
(a) f (z) = Re(z)Img(z)
(b) f (z) =
z−1
zz − 4
Solución:
(a) El plano complejo C
(b) El plano complejo C salvo el
círculo |z| = 2
38
CAPÍTULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS Y MAPEOS
Capítulo 3
Funciones Analíticas
3.1.
Derivación de Funciones Complejas
1. En los siguientes ejercicios, calcular la derivada f 0 (z) de la función f (z):
(f) f (z) = (2 − i)z 5 + iz 4 − 3z 2 + i6.
(a) f (z) = 9iz + 2 − 3i.
(b) f (z) = iz 3 − 7z 2 .
1
(c) f (z) = z − .
z
(d) f (z) = 5z 2 − 10z + 8.
(e) f (z) = z 4 − z 2 .
(g) f (z) = (z 6 − 1)(z 2 − z + 1 − 5i).
(h) f (z) =
iz 2 − 2z
.
3z + 1 − i
(i) f (z) = z 4 − 2iz 2 + z
Solución:
(a) f 0 (z) = 9i
(b) f 0 (z) = 3iz 2 − 14z
1
(c) f 0 (z) = 1 + 2
z
0
(d) f (z) = 10z − 10
(e) f 0 (z) = 4z 3 − 2z
(f) f 0 (z) = (10 − 5i)z 4 + 4iz 3 − 6z
(g) f 0 (z) = 8z 7 − 7z 6 + (6 − 30i)z 5 − 2z + 1
9
(h) f 0 (z) = 10(4z 3 − 4iz + 1) z 4 − 2iz 2 + z
39
10
.
40
CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS
2. Utilizando la regla de L’Hôpital calcular los siguientes límites:
z 5 + 4z
.
z→1+i z 2 − 2z + 2
z7 + i
.
z→i z 14 + 1
(b) lı́m
(a) lı́m
Solución:
(a)
i
.
2
(b) 8i.
3. Determinar en que puntos las siguientes funciones no son holomorfas:
10
iz 2 − 2z
(b) f (z) = z 4 − 2iz 2 + z .
.
(a) f (z) =
3z + 1 − i
Solución:
1 i (b) Ningún punto del plano complejo
(a) f no es holomorfa en z = − +
3 3
3.2.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
1. Mostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en todo el plano
complejo para la función f (z) = z 3 .
Solución: u = x3 − 3xy 2 , v = 3x2 y − y 3 ;
∂u
∂v
=
= 3x2 − 3y 2
∂x
∂y
y
∂u
∂v
=−
= −6xy
∂y
∂x
2. Mostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann de las siguientes función f se
cumplen en todo el plano complejo.
(a) f (z) = (−3x + x2 − 2xy − y 2 ) + i(x2 − 3y + 2xy − y 2 ).
(b) f (z) = (−3x + x2 − y − y 2 ) + i(x − 3y + 2xy).
3.2. ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN
41
x
y
− 2
i.
2
+y
x + y2
(d) f (z) = sin x cosh y + i cos x sinh y.
(c) f (z) =
x2
Solución:
∂v
∂u
∂v
∂u
=
= −3 + 2x − 2;
=−
= −2x − 2y
∂x
∂y
∂y
∂x
∂u
∂v
∂u
∂v
(b)
=
= −3 + 2x;
=−
= −1 − 2y
∂x
∂y
∂y
∂x
∂v
y 2 − x2 ∂u
∂v
2xy
∂u
=
=
=−
=−
(c)
2;
2
2
2
∂x
∂y
∂x
(x + y ) ∂y
(x + y 2 )2
∂u
∂v
∂u
∂v
(d)
=
= cos x sinh y;
=−
= sin x sinh y
∂x
∂y
∂y
∂x
(a)
3. En los siguientes ejercicios muestre que las funciones dadas no son holomorfas:
(a) f (z) = Re(z).
(b) f (z) = 4z − 6z + 3.
(c) f (z) = |z|2 .
Solución:
(a) u = x, v = 0;
1=
∂v
∂u
∂v
∂u
6=
=0 y 0=
=−
=0
∂x
∂y
∂y
∂x
(b) u = 3 − 2x, v = 10y;
−2 =
∂u
∂v
∂u
∂v
6=
= 10 y 0 =
=−
=0
∂x
∂y
∂y
∂x
(c) u = x2 + y 2 , v = 0;
2x =
∂u
∂v
∂u
∂v
=
= 0 y 2y =
=−
=0
∂x
∂y
∂y
∂x
solo se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (0, 0)
42
CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS
4. Dada la función f (z) = (3x − y + 5) + i(ax + by − 3), encontrar constantes a y b
de tal forma que f sea holomorfa.
Solución: a = 1, b = 3
5. mostrar que la función f (z) = ex (cos (y) + i sin (y)) es entera y encontrar su
derivada.
Solución: Como u = ex cos θ, v = ex sin θ, entonces
∂u
∂v
=
= ex cos y
∂x
∂y
y
∂u
∂v
=−
= −ex sin y
∂y
∂x
para cualesquiera x, y ∈ R, así
f 0 (z) = ex cos y + ex sin y = f (z)
6. Sea f = u + iv una función holomorfa en algún dominio Ω, considerando que
x = r cos θ y y = r sin θ expresar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en términos
de r y θ.
Solución:
3.3.
1 ∂v ∂v
1 ∂u
∂u
=
;
=−
∂r
r ∂θ ∂r
r ∂θ
Funciones Armónicas
1. De las siguientes funciones ϕ(x, y), decir cuales son ármonicas en el plano cartesiano.
x
.
+ y2
(b) ϕ(x, y) = x2 − 2xy − 3x − y 2 .
(a) ϕ(x, y) =
x2
(c) ϕ(x, y) = x2 − y 2 + xy 3 .
(d) ϕ(x, y) = ex
2 −y 2
cos(2xy).
3.3. FUNCIONES ARMÓNICAS
43
Solución:
(a) Si
(b) Si
(c) No
(d) Si
2. Dadas las siguientes funciones armónicas u(x, y), encontrar sus respectivas funciones armónicas conjugadas v(x, y).
(a) u(x, y) = x.
(c) u(x, y) = ln(x2 + y 2 ).
(b) u(x, y) = x2 − y 2 .
(d) u(x, y) = ex (x cos y − y sin y).
Solución:
(a) v(x, y) = y + c, con c constante
(b) v(x, y) = 2xy + c, con c constante
y
(c) v(x, y) = tan−1 + c, con c constante
x
x
(d) v(x, y) = e (x sin y + y cos y + c), con c constante
3. Dadas las siguientes funciones armónicas u(x, y), encontrar una función holomorfa
f (z) tal que Re(f ) = u.
(a) u(x, y) = 2x − 2xy.
(c) u(x, y) = cos x cosh y.
(b) u(x, y) = x3 − 3xy 2 .
(d) u(x, y) = −ex sin y.
Solución:
(a) f (z) = (2x − 2xy) + i(2y − y 2 + x2 )
(b) f (z) = (x3 − 3xy 2 ) + i (3x2 y − y 3 )
(c) f (z) = cos x cosh y − i cos x cosh y
(d) f (z) = ex (− sin y + i cos y)
4. Dada la función armónica u(x, y) = xy + x + 2y, encontrar una función holomorfa
f (z) = u + iv que satisfaga f (2i) = −1 + 5i.
44
CAPÍTULO 3. FUNCIONES ANALÍTICAS
Solución: f (z) = xy + x + 2y − 5 + i
1 2 1 2
y − x + y − 2x + 1
2
2
5. Considerando que x = r cos θ y y = r sin θ expresar el operador de Laplace
∆=
∂2
∂2
+
∂x2 ∂y 2
en términos de r y θ.
Solución: ∆ = r2
∂
∂2
∂2
+
r
+
∂r2
∂r ∂θ2
Capítulo 4
Funciones Elementales Complejas
4.1.
4.1.1.
Funciones Exponenciales y Logarítmicas
Función Exponencial Compleja
1. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
(c) f (z) = eiz − e−iz .
(a) f (z) = z 2 ez+i .
3e2z
.
(b) f (z) = 3
z −1+i
(d) f (z) = ie1/z .
Solución:
(a) f 0 (z) = z(z + 2)ei+z
3e2z (2z 3 − 3z 2 − 2 + 2i)
(b) f 0 (z) =
(z 3 − 1 + i)2
(c) f 0 (z) = ie−iz (1 + e2iz )
ie1/z
(d) f (z) = − 2
z
0
2. Considerando que z = x+iy, escribir en términos x e y las siguientes expresiones:
2
(b) arg ei(z+z) .
(a) ez −z .
Solución:
(a) ex
2 −x−y 2
(b) 2x + 2nπ, n ∈ Z
45
46
CAPÍTULO 4. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS
3. Expresar en sus componentes cartesianas las siguientes funciones:
2
(a) f (z) = e−iz .
(b) f (z) = ez .
Solución:
(a) f (z) = ey cos x − iey sin x
(b) f (z)
=
ex
x2 −y 2
sin(2xy)
ie
2 −y 2
cos(2xy) +
4. Utilizando las condiciones de existencia de la derivada, determinar donde la función f (z) = e2z+i es derivable.
Solución: f no es derivable en ningún punto
5. Encontrar la transformación de los siguientes conjuntos bajo la función exponencial.
(a) La recta horizontal y = −2.
(b) La banda horizontal 1 < x ≤ 2.
(c) La rectángulo 0 ≤ x ≤ ln 2, −π/4 ≤ y ≤ π/2.
Solución:
(a) En el círculo |w| = e−2
(b) En el anillo e < |w| ≤ e2 .
(c) En el sector de anillo 1 ≤ |w| ≤ 2, −π/4 ≤ arg(q) ≤ π/2.
4.1.2.
Función Logarítmica Compleja
1. Calcular las siguientes expresiones:
(a) log(−5).
√
√
(c) log( 2 + 6i)
(b) log(−2 + 2i).
(d) Log(6 − 6i).
(e) Log(−12 + 5i).
√
(f) Log (1 + 3i)5
4.1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
47
Solución:
(a) ln 5 + (2n + 1)πi, con n ∈ Z
1
3
(b) ln 2 + (8n + 3)πi, con n ∈ Z
2
4
3
1
(c) ln 2 + (6n + 1)πi, con n ∈ Z
2
3
1
π
ln 72 − i
2
4
(e) 2.5650 + 2.7468i
π
(f) 5 ln 2 − i
3
(d)
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) ez = 4i.
(b) ez−1 = −ie3 .
Solución:
1
(a) 2 ln 2 + (4n + 1)πi, con n ∈ Z
2
1
(b) 4 + (4n − 1)πi, con n ∈ Z
2
3. Encontrar un dominio y la derivada de las siguientes funciones f (z).
(a) f (z) = 3z 2 − e2iz + iLogz.
(b) f (z) =
Log(2z − i)
.
z2 + 1
Solución:
(a) La función f es derivable en el dominio |z| > 0, −π < arg(z) < π;
f 0 (z) = 6z − 2ie2iz +
i
z
(b) La función f es derivable salvo el rayo que inicia en i/2 que contiene al
punto −1 + i/2; z 6= ±i;
z2 + 1
2
− 2zLog(2z − i)
f 0 (z) = 2z − i 2
(z + 1)2
4. Encontrar la imagen de los siguientes conjuntos bajo la función w = Log(z).
48
CAPÍTULO 4. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS
(c) El anillo 3 ≤ |z| ≤ 5.
(a) El rayo arg(z) = π/6.
(b) El círculo |z| = 4.
Solución:
(a) La recta horizontal v = π/6.
(b) El segmento de recta u = 2 ln 2, −π < v ≤ π
(c) El rectángulo ln 3 ≤ u ≤ ln 5, −π < v ≤ π
4.2.
Exponentes Complejos
1. Encontrar el valor principal de las siguientes potencias complejas:
(a) (−1)3i .
(c) (−i)i .
(b) (1 + i)1−i .
(d) (−1)3i .
(e) (2)4i .
√
(f) (1 + 3i)3i .
Solución:
(a) e−3(2n+1)π , para todo n ∈ Z
√ (8n+1)π/4
(8n + 1)π − 2 ln 2
(8n + 1)π − 2 ln 2
(b) 2e
+ i sin
,
cos
4
4
para todo n ∈ Z
(c) e(−4n+1)π/2 , para todo n ∈ Z
(d) e−3π
(e) (cos (4 ln 2) + i sin (4 ln 2))
(f) e−π (cos (3 ln 2) + i sin (3 ln 2))
2. Sea f (z) = z α , supóngase que |z| > 0, −π < arg(z) < π. Encontrar la derivada
de las siguientes funciones en los puntos correspondientes:
(a) f (z) = z 3/2 , z0 = 1 + i.
√
(b) f (z) = z 1+i , z0 = 1 + 3i.
4.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS
Solución:
3√
4
2eπi/8
2
π
√
√ −π/3 π
0
(b) f (1 + 3i) = 2e
+ ln 2 + i sin
+ ln 2
cos
4
4
(a) f 0 (1 + i) =
4.3.
Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas
4.3.1.
Funciones Trigonométricas Complejas
1. Expresar en la forma cartesiana los siguientes valores:
(a) sin(4i).
(b) cos(2 − 4i).
(c) tan(2i).
π
(d) sec
−i .
2
Solución:
(a) i sinh 4
(b) cos 2 cosh 4 + i sin 2 sinh 4
sinh 4
i
1 + cosh 4
2 sinh 1
(d)
1 − cosh 2
(c)
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) sin z = i.
(b) sin z = cos z.
Solución:
√
(a) z = 2nπ − i ln 2 ± 1 , con n ∈ Z
1
(b) z = (4n + 1)π, con n ∈ Z
4
3. Verificar las siguientes identidades trigonométricas:
49
50
CAPÍTULO 4. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS
(a) sin(−z) = − sin z.
(b) cos z = cos z.
Solución:
1 iz
1 i(−z)
e
− e−i(−z) = −
e − e−iz = − sin z.
2i
2i
(b) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y = cos x cosh y + i sin x sinh y =
cos x cosh(−y) − i sin x sinh(−y) = cos z.
(a) sin(−z) =
4. Derivar las siguientes funciones:
(a) f (z) = sin z 2 .
1
(b) f (z) = z tan .
z
(c) f (z) = z cos (z 2 ).
(d) f (z) = ez sin(z + 3).
(e) f (z) = (3z + 2) tan(z + 3).
3
(f) f (z) = etan(z ) .
Solución:
(a) f 0 (z) = 2z cos(z 2 )
1
1 1
(b) f 0 (z) = tan − sec2
z z
z
0
2
2
(c) f (z) = cos (z ) − 2z sin (z 2 )
(d) f 0 (z) = ez sin(z + 3) + ez cos(z + 3)
(e) f 0 (z) = 3 tan(z + 3) + (3z + 2) sec2 (z + 3)
3
(f) f 0 (z) = 3z 2 etan(z ) sec2 (z 3 )
4.3.2.
Funciones Hiperbólicas Complejas
1. Expresar en la forma cartesiana los siguientes valores:
(a) cosh(πi).
π (b) cosh 1 + i .
6
(c) sinh(4i).
(d) sinh(1 + i).
(e) tanh(−4i).
(f) tanh(1 + i).
4.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS
51
Solución:
(a) −1
1
1√
3 cosh 1 + i sinh 1
(b)
2
2
(c) i sin(4)
(d) cos(1) sinh(1) + i sin(1) cosh(1)
(e) −
(f)
i sin(8)
1 + cos(8)
sinh(2)
i sin(2)
+
cos(2) + cosh(2) cos(2) + cosh(2)
2. Resolver las siguientes ecuaciones:
(a) cosh z = i.
(b) sinh z = cosh z.
Solución:
√
1
2 ± 1 + (2n + 1)πi, con n ∈ Z
2
(b) No existen soluciones
(a) z = ln
3. Verificar las siguientes identidades hiperbólicas:
(a) cosh z = cos(iz).
(b) sinh z = −i sin(iz).
Solución:
1 −z
1 i(iz)
e
+ e−i(iz) =
e + ez = cosh z
2
2
1 z
1 i(iz)
(b) −i sin(iz) = −i
e
− e−i(iz) =
e − e−z = sinh z
2i
2
(a) cos(iz) =
4. Derivar las siguientes funciones:
(a) f (z) = sin z sinh z.
(b) f (z) = tanh(iz − 2).
52
CAPÍTULO 4. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS
Solución:
(a) f 0 (z) = cos z sinh z + sin z cosh z
4.4.
(b) f 0 (z) = isech2 (iz − 2)
Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas
1. Encontrar una expresión explícita para las siguientes funciones:
(a) sin−1 (z).
(c) tan−1 (z).
(e) cosh−1 (z).
(b) cos−1 (z).
(d) sinh−1 (z).
(f) tanh−1 (z).
Solución:
(a) sin−1 (z) = −i log(iz +
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
√
z 2 + 1)
√
cos−1 (z) = −i log(z + i 1 − z 2 )
i−z
i
−1
tan (z) = log
2
i+z
√
sinh−1 (z) = log(z + z 2 + 1)
√
cosh−1 (z) = log(z + z 2 − 1)
1
1+z
−1
tanh (z) = log
2
1−z
2. Encontrar todos los valores de las siguientes expresiones:
(a) cos−1 (i).
√
(b) sin−1 ( 2).
(c) tan−1 (1).
Solución:
(d) sinh−1 (i).
(e) tanh−1 (1 + 2i).
4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
√
√
1
1
(4n + 1)π − i ln( 2 + 1) y (4n − 1)π − i ln( 2 − 1), con n ∈ Z
2
2
√
1
(4n + 1)π − i ln( 2 ± 1), con n ∈ Z
2
1
− (4n − 1)π, con n ∈ Z
4
1
(4n + 1)πi, con n ∈ Z
2
1
1
ln 2 + (8n + 3)πi, con n ∈ Z
4
8
3. Calcular las derivadas de las siguiente funciones:
(a) f (z) = i sin−1 (2 − iz).
(d) f (z) = z sin−1 (z).
(b) f (z) = i sinh−1 (2 − 3iz).
(e) f (z) = z 2 tanh−1 (z + 2).
(c) f (z) = tan−1 (z + 2).
(f) f (z) = ez cosh−1 (z).
Solución:
1
(a) f 0 (z) = p
1 − (2 − iz)2
3
(b) f 0 (z) = p
1 + (2 − 3iz)2
1
(c) f 0 (z) =
(z + 2)2 + 1
z
(d) f 0 (z) = √
+ sin−1 (z)
2
1−z
z2
(e) f 0 (z) =
+ 2z tanh−1 (z + 2)
1 − (z + 2)2
ez
√
(f) f 0 (z) = √
+ ez cosh−1 (z)
z−1 z+1
53
54
CAPÍTULO 4. FUNCIONES ELEMENTALES COMPLEJAS
Capítulo 5
Integración en el Plano Complejo
5.1.
Integrales Reales
1. Evaluar las siguientes integrales definidas:
Z
3
Z
x(x − 1)(x + 2)dx.
(a)
−1
0
Z
−1
1
Z
2
x2 dx +
0
Z
3
Z
u2 du.
2
π/8
Z
2
0
4
(i)
x2
2
0
(e)
ln x dx.
1
sec (2x)dx.
Z
e
(h)
1/2
(d)
xe−x/2 dx.
2
Z
sin(2πx)dx.
Z
4
(g)
Z
(c)
e−x dx.
ln 2
t2 dt +
(b)
ln 3
(f)
4
Z
1
dx.
2x + 1
(j)
2
Solución:
55
4
1
dx.
− 6x + 5
2x − 1
dx.
(x + 3)2
56
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1
6
(g) 8e−1 − 12e−2
64
3
12
π
−
2
1
2
1
ln 9
2
(f)
(h) 1
1
(i) − ln 3
2
2
49
−
(j) ln
25
5
Z
Z
2. En los siguientes ejercicios, evaluar las integrales de linea
Z
y G(x, y)ds sobre la curva γ dada.
G(x, y)dy
G(x, y)dx,
γ
γ
γ
(a) G(x, y) = 2xy; x = 5 cos t, y = 5 sin t, 0 ≤ t ≤ π/4.
(b) G(x, y) = 3x2 + 6y 2 ; y = 2x + 1, −1 ≤ x ≤ 0.
Solución:
√
(b) 3; 6; 3 5
125
250
125
(a) − √ ; √
,
3 2
2−4 2
Z
(2x + y)dx + xydy sobre la curva γ que va
3. En los siguientes ejercicios, evaluar
γ
de (−1, 2) a (2, 5).
(a) La recta y = x + 3
(b) El segmento que va de (−1, 2) a (2, 2) y luego el segmento que va de (2, 2) a
(2, 5).
Solución:
(a) 21
(b) 30
5.1. INTEGRALES REALES
57
Z
ydx + xdy, donde γ es una curva que va del punto (0, 0) al punto
4. Calcular
γ
(1, 1).
(a) γ es la parábola definida por y = x2 .
(b) γ es el segmento de recta que va del (0, 0) al (1, 0) y el segmento de recta que
va del (1, 0) al (1, 1).
Solución:
(a) 1
(b) 1
√
6x2 + 2y 2 dx + 4xydy, donde γ(t) = ( t, t), t ∈ [4, 9].
Z
5. Evaluar
γ
Solución: 460
Z
2x3 ydx + (3x + y)dy, donde γ es el arco de parábola que va del punto
6. Evaluar
γ
(−1, 1) al punto (1, 1).
Solución:
Z
7. Evaluar
γ
imagen:
26
9
(x2 + y 2 )dx − 2xydy donde γ es la curva presentada en la siguiente
58
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Solución: −
Z
64
3
x2 y 3 dx − xy 2 dy donde γ es la curva presentada en la siguiente imagen:
8. Evaluar
γ
Solución: −
Z
9. Evaluar
8
3
x2 − y 2 ds, donde γ(t) = (5 cos t, 5 sin t), t ∈ [0, 2π].
γ
Solución: 0
5.2.
Integrales Complejas
1. Calcular las siguientes integrales:
Z
(a) (z + 3) dz donde γ es la curva x = 2t, y = 4t − 1, 1 ≤ t ≤ 3.
γ
Z
(b)
z 2 dz donde γ es la curva z(t) = 3t + 2it, −2 ≤ t ≤ 2.
γ
Z
(c)
γ
z+1
dz donde γ es la curva |z| = 1, de −i a i recorrido en sentido positivo.
z
5.2. INTEGRALES COMPLEJAS
59
Z
Re(z) dz donde γ es la curva |z| = 1.
(d)
γ
Z
(e)
(x2 + iy 3 ) dz donde γ es el segmento de recta que va de 1 a i.
γ
Z
(f)
ez dz donde γ es la línea poligonal que inicia en 0 a 2 y de 2 a 1 + πi.
γ
Z
Img(z − i) dz donde γ es la curva formado por el arco de menor distancia
(g)
γ
del círculo |z| = 1 que va de 1 a i y después el segmento de i a −1.
Z
(h)
zez dz donde γ es el cuadrado con vértices en 0, 1 1+i y i, recorrido sentido
γ
positivo.
Solución:
(a) −28 + 84i
736
i
3
(c) (2 + π)i
(b) −48 +
(d) πi
7
i
+
12 12
(f) −e − 1
3 π
(g) −
2 4
(h) 0
(e) −
2. Calcular las siguientes integrales donde γ es el contorno dado en la siguiente
figura:
60
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Z
Z
x dz.
(a)
(b)
γ
z 2 dz.
γ
Solución:
(a)
i
2
(b) 0
Z
3. En los siguientes ejercicios evaluar
(z 2 − z + 2) dz donde γ es la curva que va i
γ
a 1 como se muestran en las siguientes figuras:
(a)
(c)
(b)
(d)
Solución:
4 5
− i
3 3
4 5
(b) − i
3 3
(a)
4. Calcular las siguientes integrales:
4 5
− i
3 3
4 5
(d) − i
3 3
(c)
5.3. TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT
Z
(a)
γ+
Z
61
ez
dz, donde γ es el círculo |z| = 5.
z2 + 1
(z 2 + 4)dz, donde γ es el segmento de recta que va de 0 a 1 + i.
(b)
γ
Solución:
(a)
√
(b) 6 2
5π 2
e
12
Z
(6z + 4) dz, donde γ es:
5. Evaluar las integral
γ
(a) El segmento de recta que va de 1 + i a 2 + 3i.
(b) El contorno cerrado definido por la relación x4 + y 4 = 4.
Solución:
(a) −11 + 38i
5.3.
(b) 0
Teorema de Cauchy-Goursat
Z
1. Calcular
γ
dz
, donde γ es la curva presentada en la siguiente figura:
z
62
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Solución: 2πi
Z
2. Calcular
γ
5
dz, donde γ es la curva presentada en la siguiente figura:
z+1+i
Solución: 10πi
3. Calcular las siguientes integrales, para la curva γ dada:
Z (a)
γ
1
z+
z
Z
(b)
γ
Z
(c)
γ
Z
(d)
γ
Z
(e)
γ
z2
dz, donde γ es el círculo |z| = 2.
z
dz, donde γ es el círculo |z| = 3.
− π2
2z + 1
dz, donde γ es el círculo |z| = 2.
z2 + z
−3z + 2
dz, donde γ es el círculo |z − 5| = 2.
z 2 − 8z + 12
z−1
dz, donde γ es el círculo |z − i| = 1/2.
z(z − i)(z − 3i)
Z
Log(z + 10) dz, donde γ es el círculo |z| = 2.
(f)
γ
5.4. INDEPENDENCIA DE LA CUVAS
63
Solución:
(a) 2πi
(d) −8πi
(b) 0
(e) −π(1 + i)
(c) 4πi
(f) 0
Z
4. Evaluar la integral
γ
8z − 3
dz donde γ es la curva presentada en la siguiente
z2 − z
figura:
Solución: −4πi
Z 5. Evaluar la integral
γ
ez
− 3z
z+3
dz donde γ es el círculo |z| = 1
Solución: −6πi
5.4.
Independencia de la Cuvas
Z
(4z − 1)dz, donde γ se presenta en la siguiente figura:
1. Evaluar la integral
γ
64
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Solución: −2i
2. Evaluar las siguientes integrales:
Z
2−i
2z dz.
(a)
−2+7i
Z
3+i
z 2 dz.
(b)
0
Z
1+i
z 3 dz.
(c)
1−i
Z
1−i
(2z + 1)2 dz.
(d)
−i/2
Z
i
eπz dz.
(e)
i/2
Z
π+2i
sin
(f)
π
Z
z
dz.
2
2πi
cosh z dz.
(g)
πi
Z
1
dz, donde γ está definida por z = 4eit , con t ∈ [−π/2, π/2].
z
(h)
γ
Z
4i
(i)
−4i
Z
(j)
1
dz, donde γ es un contorno que no pasa por el origen.
z2
i
ez cos z dz.
π
Z
(k)
1+i
zez dz.
i
Solución:
5.5. FÓRMULAS INTEGRALES DE CAUCHY
(f) 2.3504i
(a) 48 + 24i
26
(b) 6 + i
3
(c) 0
7 22
(d) − − i
6
3
1
i
(e) − −
π π
3. Considerando la rama principal de
(g) 0
(h) πi
i
(i)
2
(j) 11.4928 + 0.9667i
(k) −0.9056 + 1.7699i
√
Z
γ
z, evaluar la siguiente integral:
1
√ dz
4 z
donde γ es el arco de círculo z = 4eit , t ∈ [−π/2, π/2].
√
Solución: i 2
5.5.
Fórmulas integrales de Cauchy
1. Utilizar las fórmulas de Cauchy para calcular las siguientes integrales:
Z
4
(a)
dz; donde γ es el círculo |z| = 5.
γ z − 3i
Z
ez
(b)
dz; donde γ es el círculo |z| = 4.
γ z − πi
Z 2
z − 3z + 4i
(c)
dz; donde γ es el círculo |z| = 3.
z + 2i
γ
Z
z2
(d)
dz; donde γ es el círculo |z − i| = 2.
2
γ z +4
Z
z2 + 4
(e)
dz; donde γ es círculo |z − 3i| = 1.3.
2
γ z − 5i − 4
Z
2
ez
(f)
dz; donde γ es círculo |z − i| = 1.
3
γ (z − i)
65
66
CAPÍTULO 5. INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO
Z
(g)
γ
Z
(h)
γ
cos(2z)
dz; donde γ es el círculo |z| = 1.
z5
2z + 5
1
dz; donde γ es círculo |z| = .
2
z − 2z
2
Z
z+2
dz; donde γ es el círculo |z| = 1.
2
γ z (z − 1 − i)
Z 2iz
e
z4
(j)
−
dz; donde γ es el círculo |z| = 6.
z4
(z − i)3
γ
Z
3
1
dz; donde γ es el círculo |z − i| = .
(k)
3
2
2
γ z (z − 1)
(i)
Solución:
4
πi
3
(h) −5πi
(a) 8πi
(g)
(b) −2πi
(c) −π(20 + 8i)
(e) −8π
(i) −π(3 + i)
8
(j) π
12i
3
(f) −2πe−1 i
(k) 0
(d) −2π
Z
2. Evaluar la integral
γ
figura:
Solución: −πi
3z + 1
dz donde γ es la curva mostrada en la siguiente
z(z − 2)2
Capítulo 6
Series y Residuos
6.1.
Sucesiones y Series
1. Dadas las siguientes sucesiones, decir cuales convergen:
n + in
3ni + 2
(ni + 2)2
√
c)
a)
.
.
.
b)
n + ni
n
n2 i
Solución:
a) Converge
b) Converge
2. Encontrar la convergencia de la sucesión
c) Diverge
4n + 3ni
2n + i
a partir de los límites de
sus componentes.
3
3
Solución: lı́m Re(zn ) = 2 y lı́m Img(zn ) = , así L = 2 + i
n→∞
n→∞
2
2
3. Calcular la convergencia de la serie
∞ X
1
1
−
k + 2i k + 1 + 2i
k=1
por medio de la sucesión de sumas parciales.
67
68
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
Solución: La serie converge a
1 2
− i
5 5
4. Dadas las siguientes series de potencias, decir cuales convergen:
k
∞
∞ ∞
X
X
X
i
2
k
(a)
(1 − i) .
(c)
.
(e)
.
3
2
1
+
2i
k=0
k=1
k=0
k−1
∞
∞
∞
X
X
X
1
1 k
ik
4i
(b)
(d)
i .
(f)
.
.
k−1
3
2
(1
+
i)
k=1
k=0
k=2
Solución:
(a) Diverge
(c) Converge
(e) Converge
(b) Converge
(d) Diverge
(f) Converge
5. En los siguientes ejercicios, encontrar el radio de convergencia R de las siguientes
series de potencias
(a)
(b)
∞
X
k=0
∞
X
k=1
1
(z − 2i)k .
k+1
(1 − 2i)
(d)
(−1)k
(z − 1 − i)k .
k2k
(e)
∞
X
(z − 4 − 3i)k
k=0
∞
X
k=0
52k
(2k)!
(z − i)2k .
(k + 2)(k!)2
∞
X
(c)
(1 + 3i)k (z − i)k .
k=0
Solución:
√
(a) R = 5
(b) R = 2
1
(c) R = √
10
.
(d) R = 25
1
(e) R =
2
6.2. SERIE DE TAYLOR
6.2.
69
Serie de Taylor
1. Calcular la serie de Maclaurin de las siguientes funciones f (z) y presentar su
radio de convergencia.
z
(d) f (z) = sinh z.
.
(a) f (z) =
1+z
z
1
(e) f (z) = cos .
(b) f (z) =
.
2
(1 + 2z)2
(c) f (z) = e−2z .
(f) f (z) = sin z 2 .
Solución:
(a)
∞
X
k+1 k
(−1)
z ,R=1
k=0
k=1
(b)
(c)
∞
X
k=1
∞
X
k=0
(d)
∞
X
(−1)k−1 k2k−1 z k−1 , R = 1/2
(−1)k 2k k
z ,R=∞
k!
1
z 2k+1 , R = ∞
(2k + 1)!
∞
X
(−1)k 2k
(e)
z ,R=∞
2k
(2k)!2
k=0
∞
X
(−1)k 4k+2
(f)
z
,R=∞
(2k + 1)!
k=0
2. Encontrar la serie de Taylor y su radio de convergencia de las siguientes funciones
f (z) en los puntos z0 dados:
(a) f (z) = ez , z0 = 3i.
1
(b) f (z) = , z0 = 1.
z
1
(c) f (z) =
, z0 = 2i.
3−z
Solución:
(a)
(b)
∞
X
e3i
k=0
∞
X
k=0
k!
(z − 3i)k , R = ∞
(−1)k (z − 1)k , R = 1
z−1
, z0 = 1.
3−z
π
(e) f (z) = cos, z0 = .
4
(d) f (z) =
70
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
(c)
∞
X
k=0
∞
X
√
1
k
(z
−
2i)
,
R
=
13
(3 − 2i)k+1
1
(z − 1)k , R = 2
k
2
k=1
√ √ √ √
2
2
π
2
π 2
2
π 3
−
z−
−
z−
+
z−
+ ···, R = ∞
(e)
2
2 · 1!
4
2 · 2!
4
2 · 3!
4
(d)
3. Encontrar los primeros cinco términos de la serie de Maclaurin y su radio de
convergencia de la función f (z) = tan z.
2
17 7
62 9
π
1
z +
z + ···; R =
Solución: z + z 3 + z 5 +
3
15
315
2835
2
4. Encontrar la serie de Maclaurin y el radio de convergencia de la función
f (z) =
i
.
(z − i)(z − 2i)
i
15
31i 4 63 5
3
7i
Solución: − − z + z 2 + z 3 −
z − z + ···; R = 1
2 4
8
16
32
64
5. Encontrar el radio de convergencia de la serie de Taylor de la función
f (z) =
4 + 5z
1 + z2
en el punto z0 = 2 + 5i.
√
Solución: R = 2 5
6. Encontrar la serie de Taylor de la función f (z) =
en los siguientes puntos:
1
y su radio de convergencia
2+z
6.3. SERIE DE LAURENT
71
(a) z0 = −1.
(b) z0 = i.
Solución:
(a)
∞
X
(−1)k (z + 1)k ; R =
√
2
k=0
(b)
∞
X
k=0
√
(−1)k
(z − i)k ; R = 5
k+1
(2 + i)
7. Calcular las sumas de las siguientes series de potencias:
(a)
∞
X
k k
3 z .
(b)
∞
X
z2
k=0
k=0
k!
.
Solución:
(a)
6.3.
1
1 − 3z
(b) z 2 e
Serie de Laurent
1. Dada la función f (z) =
1
encontrar la serie de Laurent en los siguientes
z(z + 5)
dominios:
a) |z| < 5.
b) 5 < |z|.
Solución:
a)
∞
X
(−1)k
k=0
5k+1
z
k
b)
∞
X
(−1)k 5k−1 z −k
k=1
2. Calcular la serie de Laurent de las siguientes funciones en los dominios dados:
72
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
(a) f (z) =
cos z
, 0 < |z|.
z
2
(b) f (z) = e−1/z , 0 < |z|.
ez
, 0 < |z − 1|.
z−1
1
(d) f (z) = z 3 sin 2 , 0 < |z|.
z
(c) f (z) =
Solución:
(a)
(b)
∞
X
(−1)k
k=0
∞
X
k=0
(2k)!
z 2k−1
(−1)k −2k
z
k!
3. Dada la siguiente función f (z) =
(c)
∞
X
e
(z − 1)k−1
k!
k=0
∞
X
(−1)k −2n+2
(d)
z
(2k + 1)!
k=0
1
, encontrar su la serie de Laurent en la
z(z − 3)
región dada.
(a) 0 < |z| < 3.
(c) 1 < |z − 4| < 4.
(b) 0 < |z − 3| < 3.
(d) 1 < |z + 1| < 4.
Solución:
∞
X
−1 k−1
(a)
z
3k+1
k=0
(b)
(c)
(d)
∞
X
(−1)k
k=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
3k+1
z k−1
∞
X
(−1)k+1
(−1)k+1
k
(z
−
4)
+
(z − 4)−k
3 · 4k+1
3
k=1
∞
X
−1
−1
k
(z + 1) +
(z + 1)−k
k+1
3·4
2
k=1
4. Dada la siguiente función f (z) =
en la región dada.
1
, encontrar su la serie de Laurent
(z − 1)(z − 2)
6.4. CEROS Y POLOS
73
(a) 1 < |z| < 2.
(c) 2 < |z|.
(b) 0 < |z − 1| < 1.
(d) 0 < |z − 2| < 1.
Solución:
∞
∞
X
1 k X −k
(a) −
z −
z
2k+1
k=0
k=1
(b) −
∞
X
(c)
(z − 1)k−1
(d)
k=0
∞
X
k=0
∞
X
(2k − 1)z −k−1
(−1)k (z − 2)k−1
k=0
5. Dada la función f (z) =
1
encontrar la serie de Laurent en el dominio
(1 − z)2
|z| > 0.
Solución:
∞
X
k · z −k−1
k=0
6. Dada la función f (z) =
1 < |z − 1|.
z 2 − 2z + 2
, encontrar la serie de Laurent en el dominio
z−2
Solución: 1 + (z − 1) +
∞
X
2(z − 1)−k
k=1
6.4.
Ceros y Polos
1. Muestre que z0 = 0 es una singularidad removible para las siguientes funciones
f (z), definiendo f (0).
(a) f (z) =
e2z − 1
.
z
(b) f (z) =
sin(4z) − 4z
.
z2
74
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
Solución:
(a) f (0) = 2
(b) f (0) = 0
2. Determine los ceros y sus ordenes de las siguientes funciones
(a) f (z) = (z + 2 − i)2 .
(b) f (z) = z 4 + z 2 .
(c) f (z) = e2z − ez .
Solución:
(a) −2 + i es un cero de orden 2
(b) 0 es un cero de orden 2, i e −i son ceros simples
(c) 2nπi, con n ∈ Z son ceros simples
3. Dado el número z0 , verificar que es un cero y determinar el su orden.
(a) f (z) = z(1 − cos2 z); z0 = 0.
(b) f (z) = 1 − ez−1 ; z0 = 1.
Solución:
(a) Orden 5
(b) Orden 1
4. Determine los polos y sus respectivos ordenes de las siguientes funciones
(a) f (z) =
3z − 1
.
z 2 + 2z + 5
(b) f (z) =
1 + 4i
.
(z + 2)(z + i)4
(c) f (z) = tan z.
Solución:
1 − cosh z
.
z4
1
(e) f (z) =
.
1 + ez
sin z
.
(f) f (z) = 2
z −z
(d) f (z) =
6.5. RESIDUOS Y EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS
75
(a) −1 ± 2i son polos simples
(b) −2 es polo simple; −i es polo de orden 4
(2n + 1)π
, con n ∈ Z son polos simples
(c)
2
(d) 0 es un polo de orden 2
(e) (2n + 1)πi, con n ∈ Z son polos simples
(f) 1 es polo simple
6.5.
Residuos y el Teorema de los Residuos
1. En los siguientes ejercicios calcular el residuo de la función f (z) dada en el punto
z0 indicado.
2
; z0 = 1.
(z − 1)(z + 4)
4z − 6
; z0 = 0.
(b) f (z) =
z(2 − z)
(a) f (z) =
2
(c) f (z) = e−2/z ; z0 = 2.
Solución:
(a)
2
3
(b) −3
(c) 0
2. Encontrar el residuo de las siguientes funciones en cada polo.
z
.
+ 16
1
(b) f (z) = 4
.
z + z 3 − 2z 2
5z 2 − 4z + 3
(c) f (z) =
.
(z + 1)(z + 2)(z + 3)
(a) f (z) =
z2
(d) f (z) =
cos z
.
− π)3
z 2 (z
(e) f (z) = sec z.
1
(f) f (z) = z 5 sin .
z
76
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
Solución:
(a) Res(f (z), −4i) = 1/2; Res(f (z), 4i) = 1/2;
(b) Res(f (z), 1) = 1/3; Res(f (z), −2) = −1/12; Res(f (z), 0) = −1/4
(c) Res(f (z), −1) = 6; Res(f (z), −2) = −31; Res(f (z), −3) = 30
(d) Res(f (z), 0) = −3/π 4 ; Res(f (z), π) = (π 2 − 6)/2π 4
(e) Res(f (z), (2n + 1)π/2) = (−1)n+1 , con n ∈ Z
(f) Res(f (z), 0) = 0
Z
3. Calcular la integral
γ+
(a) |z| = 1/2.
dz
donde γ son los contornos siguientes:
(z − 1)(z + 2)2
(b) |z| = 3/2.
(c) |z| = 3.
(b) 2πi/9
(c) 0
Solución:
(a) 0
Z
4. Calcular la integral
2
z 3 e−1/z dz donde γ son los contornos siguientes:
γ+
(a) |z| = 5.
(b) |z + i| = 2.
(c) |z − 3| = 1.
(b) πi
(c) 0
Solución:
(a) πi
5. Evaluar las siguientes integrales en los contornos dados
Z
1
(a)
dz, donde γ es |z − 3i| = 3.
2
γ + z + 4z + 13
Z
z
(b)
dz, donde γ es |z| = 2.
4
γ+ z − 1
6.6. ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LOS RESIDUOS
Z
(c)
γ+
Z
(d)
γ+
77
zez
dz, donde γ es |z| = 2.
z2 − 1
tan z
dz, donde γ es |z − 1| = 2.
z
Z
cot(πz) dz, donde γ es el recángulo x = 1/2, x = π, y = −1, y = 1.
(e)
γ+
Z
(f)
z 2 e1/πz +
γ+
Z
(g)
γ+
zez
z4 − π4
dz, donde γ es definida por 4x2 + y 2 = 16.
√
1
dz,
donde
γ
es
el
semi-círculo
y
=
0,
y
=
4 − x2 .
z6 + 1
Solución:
(a) π/3
(c) 2πi cosh 1
(e) 6i
1
1
+
i
(f)
3π 2 π
(d) −4i
(g) 2π/3
(b) 0
6.6.
6.6.1.
Algunas Consecuencias del Teorema de los Residuos
Evaluación de Integrales Trigonométricas Reales
1. Evaluar las siguientes integrales:
Z 2π
1
dt.
(a)
1
0
sin(t) + 1
2
Z 2π
1
(b)
dt.
10 − 6 sin(t)
0
Z 2π
cos(t)
(c)
dt.
sin(t) + 3
0
Z 2π
1
(d)
dt.
3 cos2 (t) + 1
0
Z
π
1
dt.
2 − cos(t)
π
1
dt.
sin (t) + 1
(e)
0
Z
(f)
0
Z
2
2π
sin2 (t)
dt.
4 sin(t) + 5
2π
cos2 (t)
dt.
3 − sin(t)
(g)
0
Z
(h)
0
78
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
Z
2π
(i)
0
Z
2π
(j)
0
Z
cos(2t)
dt.
5 − 4 cos(t)
2π
cos2 (t)
dt.
sin(t) + 2
2π
cos(3t)
dt.
5 − 4 sin(t)
(k)
0
1
dt.
2 sin(t) + cos(t) + 3
Z
(l)
0
Solución:
4π
(a) √
3
π
(b)
4
(c) 0
(d) π
6.6.2.
π
(e) √
3
π
(f) √
2
5π
(g)
12
√ (h) 6 − 4 2 π
(i)
π
6
(j) π
(k) −2
√
3−2 π
(l) 0
Evaluación de Integrales Reales Impropias
1. Resolver las siguientes integrales:
Z
∞
(a)
−∞
∞
Z
(b)
−∞
∞
Z
(c)
−∞
Z
∞
(d)
−∞
Z ∞
(e)
−∞
1
dx.
2
x − 2x + 2
1
dx.
2
x − 6x + 25
1
dx.
2
(x + 4)2
x2
dx.
(x2 + 1)2
1
dx.
2
(x + 1)3
Solución:
Z
∞
(f)
−∞
Z
∞
(g)
−∞
∞
Z
(h)
−∞
Z
∞
(i)
0
Z
(j)
0
∞
(x2
x
dx.
+ 4)3
2x2 − 1
dx.
x4 + 5x2 + 4
1
2
(x2 + 1) (x2 + 9)
x2 + 1
dx.
x4 + 1
1
dx.
6
x +1
dx.
6.6. ALGUNAS CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LOS RESIDUOS
(a) π
π
(b)
4
π
(c)
16
π
(d)
2
3π
(e)
8
(f) 0
π
(g)
2
5π
(h)
96
π
(i) √
2
π
(j)
3
2. Evaluar el valor principal de las siguientes integrales impropias:
Z ∞
Z ∞
cos(x)
cos(3x)
(a)
dx.
(e)
dx.
2
(x2 + 1)2
−∞ x + 1
0
Z ∞
Z ∞
cos(2x)
sin(x)
dx.
(b)
dx.
(f)
2
2
−∞ x + 1
−∞ x + 4x + 5
Z ∞
Z ∞
x sin(x)
cos(2x)
(c)
dx.
(g)
dx.
2
x4 + 1
−∞ x + 1
0
Z ∞
Z ∞
cos(x)
x sin(x)
(d)
dx.
(h)
dx.
2
2
(x + 4)
x4 + 1
0
0
Solución:
π
e
π
(b) 2
e
π
(c)
e
(a)
(d)
3π
32e2
π
e3
π sin(2)
(f) −
e
√
√ √ e− 2 π sin 2 + cos 2
√
(g)
2 2
1
1 − √1
(h) e 2 π sin √
2
2
(e)
79
80
CAPÍTULO 6. SERIES Y RESIDUOS
Bibliografía
[1] Churchill, Ruel V.; Brown, James W. Complex variables and applications. Third
edition. McGraw-Hill, 1974.
[2] Derrick, William Variable Compleja con Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1987.
[3] Marsden, Jerrold E.; Hoffmann, Michael Análisis Básico de Variable Compleja,
trillas, 1996.
[4] Pennisi, Louis L. Elements of complex variables. 2nd Edition, Holt, Rinehart and
Winston; 1976.
[5] Silverman, Richard A. Complex analysis with applications. Dover Publications,
Inc., 1984.
[6] Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis. Complex variables. McGraw-Hill, 2009.
[7] Volkovski, L., Lunts, G., Aramanovich, I., Problemas sobre la teoríıa de funciones
de una variable compleja. Mir, 1977.
[8] Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick D. A first course in complex analysis with
applications. Jones and Bartlett Publishers, Inc., 2003.
81