Mg. Edgar Santisteban León
2022 - II
SEMINARIO PREPARATORIO PARA LA PRÁCTICA N◦ 2
1. Determine, justificando su respuesta en forma ordenada y concisa, si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
2
2
a) Las curvas de nivel de la función f definida por f (x, y) = e−x −y son curvas exponenciales.
p
b) El dominio de la función f definida por la f (x, y) = 25 − x2 − y 2 es el conjunto de
todos los puntos (x, y) cuya distancia al origen (0, 0) es menor que 5.
c) Al graficar la superficie de ecuación z 2 = x2 + y 2 + 1 se obtiene un cono de doble hoja
con vértice en el punto (0, 0, 1).
d) Las funciones g(x, y) = 2 ln (5x + 3y) y f (x, y) = ln (5x + 3y)2 tienen exactamente el
mismo dominio.
√
√
e) La función f (x, y) = y cos ( x − y) es continua en el conjunto {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x ∧ x ≥ 0} .
f) La superficie de nivel tres de la función g(x, y, z) = z − x2 − y 2 + 3 es un hiperboloide.
2. En uno de los laboratorios de la UNALM, se desea construir una tolva para almacenar un
cierto producto granulado, que tenga una capacidad de 100 m3 . El diseño y construcción
adoptan la forma de cono circular recto de 2 m de radio (en la parte inferior) al que se le
empalma, en la parte superior, un cilindro circular recto.
Modele una función, en términos de las alturas del cilindro y del cono, que represente la
cantidad de material que se utilizará para su construcción.
3. Con el propósito de aprovechar toda la capacidad de un conteiner, una empresa exportadora de frutas debe embalar su producto en cajas cerradas rectangulares con la especificación de que la suma de sus dimensiones y del perı́metro de la sección transversal debe
ser igual a 108 pulgadas.
Formule una función que represente el volumen de la caja rectangular en términos de los
lados de la sección transversal.
4. El dominio de una función z = h(x, y) es el conjunto
D = (x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ y ≤ 1 ∧ 9 − 4 |x| ≥ 0 .
a) Represente geométricamente en el plano XY el conjunto D.
b) Construya una posible función h que tenga el dominio indicado.
5. El dominio de una función z = f (x, y) es el conjunto
D = (x, y) ∈ R2 ; y + x3 + 3 ≥ 0 ∧ 4x + y ≤ −3 .
a) Represente geométricamente en el plano XY el conjunto D.
b) Construya una posible función f que tenga el dominio indicado.
6. Si
demuestre que zx
r
y
z = xy + arctan
,
x
∂z
∂z
+ zy
= xy.
∂x
∂y
1
Mg. Edgar Santisteban León
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7. Calcule los siguientes lı́mites :
p
p
x3 + y − y 3 + x
a)
lı́m
.
(x,y)→(1,1)
x−y
√
√
3
x−y+1− x−y+1
b)
lı́m
.
(x,y)→(1,1)
x−y
1
1
1
−
.
c)
lı́m
(x,y)→(0,0) xy
1 − xy 1 + xy + x2 y 2
3 1 + cos(2x)
1 + sen y − cos y
d)
lı́m
.
(x,y)→(π/2,0)
1 − sen x
y
8. Determine si la función es continua en (0, 0)
2
x − 3y 2
p
x2 + y 2
f (x, y) =
0
,
(x, y) ̸= (0, 0)
.
,
(x, y) = (0, 0)
9. Analice la continuidad de la siguiente función en el punto P (0, 0)
yx2
; (x, y) ̸= (0, 0)
4
x + y2
f (x, y) =
0
; (x, y) = (0, 0)
10. Bosqueje la región E del espacio que yace debajo del paraboloide z = x2 + y 2 , arriba del
plano XY y dentro del cilindro x2 + y 2 = 2x.
p
11. Esboce la gráfica del sólido, limitado superiormente por el cono z = x2 + y 2 e inferiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
2
