Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Métodos Numéricos Sistemas de ecuaciones lineales 1 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Sistema de ecuaciones lineales - Se conoce como sistema de ecuaciones lineales al conjunto de expresiones de la forma 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 - Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común. - A los sistemas de ecuaciones se lo pueden representar en forma matricial 2 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Matrices - Una matriz es una arreglo rectangular de elementos representados por un solo símbolo (Mayúsculas) - Un conjunto horizontal se llama reglón (fila) y un conjunto vertical se llama columna - Si una matriz consta únicamente de un reglón o columna, este tomara el nombre de vector (reglón o columna) - Las dimensiones de una matriz esta representada como n x m, donde n es el numero de reglones, y m es el numero de columnas 𝑎11 𝑎21 ⋅ [𝐴] = ⋅ ⋅ 𝑎𝑛 𝑎12 𝑎22 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑛2 𝑎13 𝑎23 … … 𝑎𝑛3 … 𝑎1𝑚 𝑎2𝑚 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑛𝑚 - A una matriz con el mismo numero de filas y columnas se le conoce como una matiz cuadrada - A la diagonal que contiene los elementos 𝑎11, 𝑎22 , … , 𝑎𝑛𝑛 se le conoce como diagonal principal 3 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Matrices especiales - Matriz simétrica (se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , para todo 𝑖, 𝑗 ) 5 1 2 [𝐴] = 1 3 7 2 7 8 - Matriz diagonal (se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 ≠ 𝑗 ) 𝑎11 𝑎22 [𝐴] = 𝑎33 𝑎44 - Matriz identidad (se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 ≠ 𝑗 y 𝑎𝑖𝑗 = 1, para todo 𝑖 = 𝑗 ) 1 [𝐼] = 1 1 1 4 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Matrices especiales - Matriz triangular superior (se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 > 𝑗 ) 𝑎11 [𝐴] = 𝑎12 𝑎22 𝑎13 𝑎23 𝑎33 𝑎14 𝑎24 𝑎34 𝑎44 - Matriz triangular inferior (se cumple que 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 < 𝑗 ) 𝑎11 𝑎21 [𝐴] = 𝑎 31 𝑎41 𝑎22 𝑎32 𝑎42 𝑎33 𝑎43 𝑎44 𝑎23 𝑎33 𝑎43 𝑎34 𝑎44 - Matriz banda [𝐴] = 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 𝑎32 5 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Operaciones con matrices - Sea A y B dos matrices de dimensiones iguales (mismo orden), se define a la SUMA o RESTA como: 𝐶 = 𝐴 ± [𝐵], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 La SUMA/RESTA es asociativa y conmutativa - Sea k un escalar La MULTIPLICACIÓN de una matriz POR UN ESCALAR queda definido como: 𝐶 = 𝑘 ∗ [𝐴], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘 ∗ 𝑎𝑖𝑗 - La MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES queda definido como: 𝑛 𝐶 = 𝐴 [𝐵], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑘 ∗ 𝑏𝑘𝑗 𝑘=1 Donde n, corresponde al numero de filas de la matriz A, y al numero de columnas de la matriz B La MULTIPLICACIÓN DE MATRICES es asociativa, pero no conmutativa ( 𝐴 [𝐵] ≠ 𝐵 [𝐴]) - La TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ se representa como 𝐴𝑇 : 𝑇 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 6 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Determinante de una Matriz - Es la asignación de un numero escalar a una matriz cuadrada, y se expresa como det(𝐴) o 𝐴 - A medida que aumenta el orden de la matriz, aumenta el numero de cálculos para el determinante - El determinante de una matriz de orden dos corresponde al producto y suma de sus diagonales 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 − 𝑎12 ⋅ 𝑎21 - El determinante de cualquier matriz de orden superior se lo puede hacer por diversos métodos, el mas utilizado para matrices pequeñas (normalmente hasta 3) es la regla de Sarrus. Para una matriz de mayor orden se utiliza el calculo de determinantes por cofactores - En Matlab, existe una función que nos entrega ya el determinante de una Matriz "det(𝐴)“ - Cuando el determinante de una matriz toma el valor de cero, se dice que la matriz es SINGULAR 7 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Representación de ecuaciones lineales en forma de Matriz - Dado un sistema de ecuaciones, 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛 - este se puede expresar de forma matricial como sigue: 𝑎11 𝑎21 ⋅ 𝐴 = ⋅ ⋅ 𝑎𝑛1 𝑎12 𝑎22 ⋅ ⋅ ⋅ 𝑎𝑛2 ⋯ ⋯ 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑥1 𝑏1 ⋅ 𝑥2 𝑏2 ; 𝐵 = ; 𝑋 = ⋮ ⋅ ⋮ 𝑥𝑛 ⋅ 𝑏𝑛 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 - De donde, 𝐴𝑋 = 𝐵 8 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Método grafico en la solución de sistemas de ecuaciones - El método grafico únicamente funciona con un máximo de 2 ecuaciones con dos incognitas 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 - Despejando cualquiera de las incógnitas de las ecuaciones tenemos, 𝑎11 𝑏1 𝑥1 + 𝑎12 𝑎12 𝑎21 𝑏2 𝑥2 = − 𝑥1 + 𝑎22 𝑎22 - Esta representación nos permite graficar en un plano cartesiano cada una de las ecuaciones, y el punto de intersección corresponderá a la solución 𝑥2 = − 9 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Ejemplo - Utilizando el método grafico resuelva el siguiente sistema de ecuaciones 3𝑥1 + 2𝑥2 = 18 −𝑥1 + 2𝑥2 = 2 - Despejando 𝑥2 , 3 18 𝑥2 = − 𝑥 + 2 1 2 −1 2 𝑥2 = − 𝑥1 + 2 2 10 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. Regla de Cramer - Esta regla establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b1, b2, …, bn. Por ejemplo, x1 𝑏1 𝑎12 𝑎13 𝑏2 𝑎22 𝑎23 𝑏3 𝑎32 𝑎33 𝑥1 = 𝐷 Ejemplo Utilice la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de Ecuaciones Lineales 0.3𝑥1 + 0.52𝑥2 + 𝑥3 = −0.01 0.5𝑥1 + 𝑥2 + 1.9𝑥3 = 0.67 0.1𝑥1 + 0.3𝑥2 + 0.5𝑥3 = −0.44 11 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple - Considere un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 - La solución de este sistema se puede obtener si se multiplica una de las ecuaciones por una factor determinado para luego restarla de la otra expresión 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 = 𝑏1 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 𝑎21 𝑎21 𝑎21 𝑎21 𝑥1 + 𝑎12 𝑥 = 𝑏1 ∗ 𝑎11 2 𝑎11 𝑎11 ⇒ 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 𝑎21 𝑎21 𝑎 𝑎 𝑥2 = 𝑏1 𝑎11 𝑎11 ⇒ 0 + 𝑎12 21 − 𝑎22 𝑥2 = 𝑏1 21 − 𝑏2 𝑎11 𝑎11 − 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2 𝑎21 𝑥1 + 𝑎12 Quedándonos una expresión solo en términos de una variable de la cual ya podemos conocer su valor Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple – Ejemplo 1 - - Dado el siguiente sistema de ecuaciones Multiplicamos la primera ecuación por ¼ −4𝑥1 + 5𝑥2 = 15 𝑥1 + 3𝑥2 = 9 5 15 −1𝑥1 + 𝑥2 = 4 4 𝑥1 + 3𝑥2 = 9 - Y sumamos el resultado a la ecuación 2 5 15 −1𝑥1 + 𝑥2 = 4 4 17 51 0𝑥1 + 𝑥2 = 4 4 - De la segunda ecuación, podemos despejar el valor de 𝑥2 5 15 −1𝑥1 + 𝑥2 = 4 4 𝑥2 = 3 Si reemplazamos el valor de 𝑥2 en la primera ecuación podemos obtener la solución 𝑥2 = 3; 𝑥1 = 0 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple – Ejemplo 1 - El proceso lo podemos sistematizar de la siguiente forma: Expresamos el sistema en forma de matriz −4𝑥1 + 5𝑥2 = 15 −4 ⇒ 𝑥1 + 3𝑥2 = 9 1 - A la primera fila la dividimos por -4 1 1 5 𝑥1 15 = 3 𝑥2 9 5 𝑥 15 1 − 4 𝑥2 = 4 3 9 − - Restamos la segunda fila de la primera 1 0 15 5 − 4 4 𝑥1 = 17 𝑥2 51 4 4 − - Dividimos la segunda fila para 17/4 - 5 𝑥 15 1 − 4 𝑥2 = 4 0 1 3 El valor de b2 en la segunda fila corresponde a la solución para x2, si reemplazamos este valor 1 − 𝑥2 = 3; 𝑥1 = 0 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple - - Al método visto en el ejemplo se le conoce como el método de Gauss Simple Este método se puede escalar a matrices mas grandes La idea en general es tomar la primera ecuación y dividirla para el coeficiente de x1, una vez que el coeficiente es uno, esta ecuación se utilizara para hacer cero a los coeficientes de x1 de las filas inferiores Una vez que los coeficientes de las otras ecuaciones ya son cero, se toma la siguiente ecuación y se divide para el coeficiente de x2, una vez que este coeficiente es 1, este se utiliza para hacer cero a los coeficientes de x2 de las filas inferiores, y el proceso continua de matera iterativa hasta hacer el ultimo termino de la matriz 1 A este procedimiento se le conoce como eliminación hacia adelante Una vez que el ultimo termino sea uno, este corresponderá a la solución de una de las incógnitas, y se puede utilizar este para encontrar las otras soluciones A este procedimiento se le conoce como sustitución hacia atrás Para evitar incluir la matriz de incógnitas (X), se puede extender la matriz de coeficiente (A) con la matriz B, quedando de la siguiente forma 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑥1 𝑎11 𝑏1 = ⇒ 𝑎22 𝑥2 𝑎21 𝑏2 𝑎12 𝑏1 𝑎22 |𝑏2 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple – Ejemplo 2 - Utilice el método de Gauss Simple para resolver el siguiente sistemas de ecuaciones 1 2 4 -3 2 0 2 1 1 4 2 3 4 3 1 2 13 28 20 6 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. 17 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. 18 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. Eliminación de Gauss Simple (Pivoteo Parcial) - El método de Gauss simple no puede resolver sistemas en donde alguno de los elementos de la diagonal principal sean cero, o valores cercanos a este - Para resolver este problema se introduce el PIVOTEO PARCIAL, que consiste en mover las filas con la finalidad de obtener el mayor numero como pivote - Si se omite la división para los elementos de la diagonal principal, el determinante, se lo puede obtener de la multiplicación de los elementos de dicha matriz - Si el determinante de una matriz es cero, el sistema no tiene solución, y esto se puede deber a que: el sistema esta mal acondicionado o que por lo menos dos filas o dos columnas son proporcionales entre si Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Eliminación de Gauss Simple (Pivoteo Parcial) – Ejemplo 1 - Dado el siguiente sistemas de ecuaciones, encuentre el determinante y la solución del sistema aplicando el método de pivoteo parcial 0 0 2 0 1,5 0 1 3 −2 0 −0,27 1 −0,25 0 0 0 −2 −1 0 0 1 0 −2 0 −1 a b c d e = 6 −12 −6 0 0 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. 21 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. Método de Gauss-Jordan - El método de Gauss-Jordan consiste en hacer ceros a los elementos superiores e inferiores a la diagonal principal normalizada (haciendo 1 a todos los elementos de la diagonal principal) Ejemplo. Resuelva el siguiente S.E 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 − 6𝑥5 = −15 3𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = −43 −2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 + 5𝑥5 = 17 −𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 2𝑥4 + 3𝑥5 = −13 5𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 4𝑥4 + 7𝑥5 = −20 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH 𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 + 5𝑥4 − 6𝑥5 = −15 3𝑥1 − 4𝑥2 + 5𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥5 = −43 −2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 + 3𝑥4 + 5𝑥5 = 17 −𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 2𝑥4 + 3𝑥5 = −13 5𝑥1 − 3𝑥2 + 𝑥3 − 4𝑥4 + 7𝑥5 = −20 23 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. Matriz Inversa - Se define como matriz inversa de una matriz 𝐴, a una matriz 𝐴−1 , tal que la multiplicación de 𝐴𝐴−1 = 𝐼 - Existen algunas formas de calcular la Matriz inversa de una matriz A, uno de los métodos es la eliminación de Gauss, y se calcula como sigue 1.- Tomar la matriz de coeficientes de un SEL y aumentarla con la matriz identidad 2.- Realizar el procedimiento de eliminación de Gauss (Gauss-Jordan) hasta obtener unos en la diagonal principal 3.- La matriz resultante en el extremo opuesto a la matriz Identidad es la matriz Inversa de A 4.- La multiplicación de esta matriz con los términos independientes (Vector b), da como resultado la solución del sistema 5.- No existe matriz inversa cuando el determinante de la matriz A es cero Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Ejemplo - Inversa - Se desea codificar el mensaje “Hola Mundo..”, para lo cual se utilizara matrices A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 H O L A 8 15 12 1 27 M U N D O . . 13 21 14 4 15 28 28 . 27 28 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. 26 Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Método de Gauss - Seidel - Se define como un método iterativo para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones Sea un sistema de ecuaciones definido como: 𝐴 𝑋 = [𝑏] Si, para cada fila 𝑖 se despeja el valor de xi (siempre y cuando, alguno de los elementos de la diagonal principal no sea cero), para luego suponer un valor inicial de 𝑋 e ir iterando hasta obtener una solución en donde 𝜀𝑎 < 𝜀𝑠 Ejemplo Sea el sistema de ecuaciones: 𝑎11 𝑎21 𝑎31 𝑎12 𝑎22 𝑎31 𝑎13 𝑥1 𝑏1 𝑎23 𝑥2 = 𝑏2 𝑎33 𝑥3 𝑏3 - Donde una primera aproximación podría ser en 𝑥1 0 𝑥2 = 0 𝑥3 0 ESPOCH Ing. Darío Guamán Lozada MSc. Método de Gauss – Seidel (Convergencia) - Se puede afirmar la convergencia hacia una solución cuando la evaluación de la pendiente de la ecuación utilizando fracciones parciales en menor que 1, que se traduce en que la matriz debe de ser de Diagonal Dominante (Los elementos de la diagonal principal tienen que tener el mayor valor de la sumatoria de los otros elementos de la matriz (en valor absoluto) Ing. Darío Guamán Lozada MSc. ESPOCH Ejemplo - Utilizando el método de Gauss Seidel, aproxime la solución del siguiente sistema de ecuaciones 2𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 = −5 6𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 12 𝑥1 + 2𝑥2 + 9𝑥3 = 3
