Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 19/1/2022
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [1,75 puntos]
a)
Sea X una variable aleatoria discreta. Denir su valor esperado y completar el siguiente
cuadro relativo a sus propiedades (donde c es una constante y µ el valor esperado de X ):
E(c) =
E(cX) =
E(X − µ) =
b)
Si X1 , . . . , Xn son v.a. con valor esperado µ, denir el agregado suma Sn y deducir
razonadamente su valor esperado.
Pregunta 2. [2,5 puntos]
El gerente de un museo está estudiando la situación de sus instalaciones.
a)
Sabiendo que el gasto mensual de mantenimiento (en miles de euros) se distribuye según
un modelo N (10, 2), obtener la probabilidad de que, un mes cualquiera, el gasto oscile
entre 8.000 y 10.000 euros.
b)
La proporción de visitantes que decide alquilar una audioguía es del 10%. Si en una tarde
se producen 100 visitas, calcular la probabilidad de que al menos doce de los visitantes
alquile audioguía.
c)
El número mensual de fallos en la alarma antirrobo sigue un modelo de Poisson P (λ = 0, 1).
¾Cuál es la probabilidad de que, en un año, se produzcan 2 fallos?
Sea X una población con distribución normal N (µ, σ = 3). Con el
objetivo de estimar µ se ha extraído una m.a.s. de tamaño n y se propone como estimador la
media muestral X̄ .
Pregunta 3. [2,5 puntos]
a)
Denir la propiedad de ausencia de sesgo.
b)
Obtener el error cuadrático medio del estimador propuesto.
c)
Determinar el tamaño mínimo de muestra para estimar µ con un nivel de conanza del
99% y margen de error 1.
d)
Justicar de qué manera/s podría reducirse este tamaño.
Pregunta 4. [3,25 puntos]
En una parafarmacia se están estudiando algunas de las características de sus clientes, para
lo cual se ha tomado una muestra aleatoria simple de 41 clientes.
a)
Si en dicha muestra 10 clientes han efectuado el pago con tarjeta de crédito, obtener un
intervalo de conanza al 90 % para la proporción de clientes que utilizan ese medio de
pago.
b)
Contrastar la normalidad de la variable tiempo de espera del cliente hasta ser atendido
considerando un nivel de signicación del 10 %, sabiendo que la discrepancia observada en
el test de Jarque-Bera ha sido d∗ = 7,8.
c)
El gasto que cada cliente realiza en la parafarmacia (en euros) es una variable que se
distribuye normalmente.
c1) Los empleados de la tienda arman que el gasto esperado de cada cliente es de
al menos 20 euros. A partir de la siguiente salida del programa Gretl, plantear el
problema de contraste, indicar cómo se ha calculado el nivel crítico y justicar la
conclusión.
Tamaño muestral: n = 41
Media muestral = 22, desv. típica = 5
Estadístico de contraste: t(40) = (22 - 20)/0.780869 = 2.56125
Valor p a dos colas = 0.01431 (a una cola = 0.007153)
c2)
El propietario del negocio cree que la varianza del gasto de los clientes no supera
16. Para un nivel de signicación del 5 %, obtener la región crítica del contraste y
justicar cuál será la conclusión sabiendo que la discrepancia observada ha sido d∗ =
62,5.
TIEMPO MÁXIMO: 1h15m
Facultad de Economı́a y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 20/1/2021
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [2,25 puntos ]
a) Definir la varianza de una variable aleatoria X. Deducir la relación entre V ar(X) y
V ar(X + c), donde c es una constante.
b) En un examen tipo test de 10 preguntas de respuesta única, cada una de ellas con 5
respuestas posibles, cada respuesta acertada vale 1 punto y cada fallo penaliza 0,2 puntos.
Es obligatorio contestar a todas las preguntas. Si un estudiante responde al azar, calcular
el valor esperado y la varianza de su calificación en el examen.
Pregunta 2. [2,5 puntos]
a) Un centro veterinario tiene dos clı́nicas cuyos ingresos diarios (en euros) son variables
aleatorias independientes con distribución N(1.000; 300) y N(2.000; 400), respectivamente.
Calcular el ingreso total máximo que obtiene el centro veterinario el 80% de los dı́as.
b) El número medio de llamadas de urgencia a lo largo de una semana es 0,2. Obtener
razonadamente la probabilidad de que a lo largo de un mes se produzca alguna llamada
de urgencia.
c) El centro veterinario dispone de un total de 50 productos distintos para la alimentación
de mascotas, de los que 15 tienen certificación ecológica. Si se seleccionan 3 al azar, ¿cuál
es la probabilidad de que como máximo uno de ellos esté certificado?
Pregunta 3. [2,5 puntos]
a) Definir el concepto de muestra aleatoria simple (m.a.s.).
b) Sea X una población con distribución N (µ, σ) de la que se extrae una m.a.s. de tamaño
n, deducir razonadamente la esperanza y la varianza de la media muestral.
c) El gerente de una tienda de ultramarinos desea estimar la media de las ventas diarias
de productos navideños (en euros) con un nivel de confianza del 95%. Sabiendo que la
variable se distribuye normalmente y que en una muestra de tamaño 25 se ha obtenido
una media de 400 y desviación tı́pica 10, obtener razonadamente el intervalo de confianza
para la media.
Pregunta 4. [2,75] Un fondo de inversión está pensando en invertir en apartamentos turı́sticos
en determinada ciudad, para lo que ha seleccionado una muestra aleatoria de 41 pisos que se
encuentran en venta en la ciudad.
a) Se está estudiando el precio de los pisos de la ciudad (en euros por m2 ). Sabiendo que la
discrepancia observada en el test de Jarque-Bera ha sido d∗ =3,2, plantear el contraste y
concluir razonadamente.
b) En un estudio se asegura que la varianza de los precios es de al menos 25. A partir de la
siguiente salida Gretl, plantear el problema de contraste, obtener la región crı́tica para un
nivel de significación del 5 % y establecer la conclusión del contraste.
c) Los expertos del fondo aseguran que el precio esperado de los apartamentos en la ciudad
coincide con el de otra ciudad vecina, B. Para contrastar este supuesto, se ha seleccionado
una m.a.s. de 31 pisos que están a la venta en B. Suponiendo que el precio de los apartamentos en B sigue una distribución normal, y que las varianzas de los precios en ambas
ciudades coinciden:
c1) Plantear el contraste de hipótesis y los supuestos en los que se basa, indicando qué
distribución de probabilidad sigue la discrepancia.
c2) Se sabe que la discrepancia observada para la realización del contraste es d∗ = 3,5.
Justificar si puede asumirse el supuesto de los expertos.
TIEMPO MÁXIMO: 1h15m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 19/12/2019
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [1,75 puntos]
Denir la probabilidad según la axiomática de Kolmogorov.
b) Dados dos sucesos A y B independientes, demostrar que A y B también son sucesos
independientes.
c) Si A y B son sucesos incompatibles, justicar si pueden ser independientes.
a)
c
Los benecios diarios (en euros) de un puesto de un mercadillo
navideño de distribuyen normalmente con esperanza 100 y desviación típica 15.
a) Calcular e interpretar el tercer cuartil de la distribución de benecios diarios.
b) Si la campaña de navidad dura 16 días, obtener razonadamente la probabilidad de que
sus benecios totales al nal de la campaña superen los 1.480 euros.
c) Para el cartel promocional del mercadillo se van a seleccionar al azar 5 puestos. Sabiendo
que el mercado cuenta con 50 puestos de los que 10 son de ONGs, calcular la probabilidad
de que al menos uno de los puestos seleccionados sea de una ONG.
Pregunta 2. [2 puntos]
Pregunta 3. [2 puntos]
Dada una población continua X con función de densidad f (x, θ) de la que se extraen
muestras de tamaño n, denir los siguientes conceptos:
• Muestra aleatoria simple.
• Función de verosimilitud.
b) Asumiendo que f (x, θ) = θe
con x > 0 y E(X) = 1θ , comprobar que T = X1 es el
estimador de θ obtenido por:
• El método de los momentos.
• El método de máxima verosimilitud.
a)
−θx
El gasto en lotería de navidad (en euros/individuo) es una variable
aleatoria que se distribuye normalmente con varianza desconocida.
Pregunta 4. [1,5 puntos]
Deducir la expresión de la discrepancia asociada a la realización de inferencias sobre la
esperanza, justicando su distribución de probabilidad.
b) Calcular un intervalo de conanza al 95% para el gasto esperado en lotería, sabiendo que
en una muestra aleatoria simple de 36 individuos el gasto medio fue de 72 euros con una
desviación típica de 24 euros.
a)
Una asociación de consumidores está analizando el consumo de
combustible (litros/100 km) de cierto modelo de automóvil. Para ello ha seleccionado una
muestra aleatoria de 41 vehículos.
a) Ante las numerosas quejas recibidas, la asociación mantiene que la proporción de conductores descontentos con el consumo de su automóvil es de al menos el 70%. Plantear el
problema de contraste y calcular la región crítica para un nivel de signicación del 5%.
Sabiendo que la discrepancia observada es d = −1, 94, ¾cuál será la conclusión?
b) Se ha estimado la varianza en el consumo de combustible con un nivel de conanza del
90%. Completar la siguiente salida de Gretl, indicando cómo se ha calculado el intervalo
de conanza.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
Variable seleccionada: consumo, sigue el modelo normal
Nivel de conanza: 0,90
Varianza= 0,3582
Modelo ....................
Valores chi2 (2 colas) P(X<=.......)=0,05, P(X>=.........)=0,05
Intervalo de conanza: (0,2570 ; 0,5406)
Pregunta 5. [2,75 puntos]
∗
c)
Recientemente se ha introducido en el mercado un carburante de última generación. La
asociación mantiene que el consumo esperado de este carburante coincide con el de carburante convencional. Con el objetivo de contrastar este supuesto, se ha estudiado para
la muestra de 41 vehículos el consumo de ambos tipos de carburante.
c1) Plantear el contraste de hipótesis y los supuestos en los que se basa.
c2) ¾Cuál será la conclusión del contraste si la discrepancia observada es d = 1, 2?
∗
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 17/01/2019
Pregunta 1. [1,5 puntos]
a)
Dados
b)
Enunciar y demostrar el Teorema de la Probabilidad Total.
n sucesos {A1 , ..., An }, indicar los requisitos que deben cumplir para constituir una
partición o sistema completo de sucesos del espacio muestral E .
Pregunta 2. [2 puntos]
La prima por seguro de automóvil que paga cada cliente de cierta
compañía (X , en euros) sigue un modelo
a)
N (300, 60).
¾Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar pague menos de 240 euros? ¾Y
la de que pague entre 240 y 390 euros?
b)
Cierto día se han vendido 16 pólizas de seguro de automóvil.
b1)
¾Cuál es la probabilidad de que la prima media supere los 330 euros?
b2)
De las 16 pólizas vendidas, 5 correspondían a clientes menores de 25 años. Se van
a elegir a 2 clientes al azar para obsequiarles con una estancia de hotel, ¾cuál es la
probabilidad de que los dos agraciados tengan menos de 25 años?
Pregunta 3. [2,25 puntos]
a)
Denir el concepto de muestra aleatoria simple (m.a.s.).
tamaño
n
Si se seleccionan muestras de
en una población nita, justicar si se cumplen los supuestos de m.a.s. en los
siguientes casos:
b)
•
La muestra se selecciona con reposición.
•
La muestra se selecciona sin reposición.
El tiempo (X , en días) que una compañía tarda en resolver las reclamaciones de sus clientes
θ
θ2 . Con el objetivo de estimar el
es una variable aleatoria con E(X) =
y V ar(X) =
parámetro
θ
2
12
se selecciona una m.a.s. de 4 reclamaciones.
b1)
Deducir el estimador de
b2)
Se proponen las siguientes expresiones como estimadores de
θ
Ta = 2X
¾Cuál es más eciente?
utilizando el método de los momentos.
θ:
2 + X4
Tb = X1 + 4X
3
Pregunta 4. [2 puntos]
a)
Sea
(X1 , . . . , Xn ) una m.a.s.
extraída de una población
N (0, 1), justicar qué distribución
siguen las variables aleatorias:
•
•
n
X
i=1
n
X
Xi
Xi2
i=1
b)
X : error en el proceso de medida de una pieza mecanizada
se distribuye normalmente. En una muestra aleatoria de tamaño n = 60, se han obtenido
los siguientes resultados g1 = 0, 2 y g2 = 0.
Se desea contrastar que la v.a.
b1)
Interpretar el valor de los coecientes
b2)
¾Cuál será la conclusión del contraste para un nivel de signicación
g1
y
g2 .
α = 0, 1?
Pregunta 5. [2,25 puntos] El gerente de un centro comercial está efectuando una investigación
con el n de conocer algunas de las características de sus clientes.
a)
Se desea estudiar el tiempo (en minutos) que los clientes emplean en cada visita al centro
comercial, variable que sigue un modelo normal. Para ello se toma una muestra aleatoria
simple de 25 clientes, obteniendo un tiempo medio de 66 con una desviación típica de 10
minutos.
a1)
Los comerciantes arman que el tiempo medio que los clientes permanecen en el
centro en cada visita es de 60 minutos. Contrastar si esta armación está justicada
con un nivel de signicación
a2)
α
del 5%.
Estimar la varianza del tiempo invertido en cada visita con un nivel de conanza del
90%.
b)
Obtener razonadamente el tamaño mínimo de muestra necesario para estimar la proporción de clientes que utiliza el parking del centro comercial con un nivel de conanza del
95% y un margen de error del 5%.
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 21/12/2017
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [1,75 puntos]
a) Definir la varianza de una variable aleatoria X. Deducir la relación entre V ar(X) y
V ar(cX), donde c es una constante.
b) El baremo de adjudicación de obras se basa en la valoración del proyecto técnico XT ∼
N (70, 5) con un peso del 40% y del proyecto económico XE ∼ N (60, 10) con un peso del
60% restante. Asumiendo que las valoraciones de los proyectos técnico y económico son
independientes, deducir razonadamente la distribución de probabilidad de la valoración
global del proyecto (X).
Pregunta 2. [2,25 puntos] El efectivo (en euros/cliente) que se extrae diariamente del cajero
de una sucursal bancaria es una variable aleatoria que se distribuye normalmente N (50, 20).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente cualquiera extraiga más de 90 euros?
b) Obtener el importe máximo extraído diariamente por el 70% de los clientes.
c) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera la primera extracción que supere los 90
euros sea la quinta.
d) Se sabe que la probabilidad de que el cajero no disponga del dinero solicitado por el cliente
es del 10%. Calcular la probabilidad de que, de las 100 extracciones realizadas en un día,
en más de 14 no se haya podido satisfacer el importe solicitado.
Pregunta 3. [2 puntos] El número mensual de pacientes que formulan reclamaciones en cierto
servicio de un hospital sigue un modelo de Poisson de parámetro λ desconocido. Para estimar
dicho parámetro se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n = 3.
a) Obtener la función de verosimilitud muestral.
b) Se proponen como estimadores de λ:
Ta = X; Tb =
0, 5X1 + 0, 5X2 + 2X3
3
b1) ¿Cuál es más eficiente?
b2) Se sabe que Ta es un estimador de mínima varianza. Analizar si Tb es también de
mínima varianza. ¿Es eficiente Tb ?
Pregunta 4. [1,5 puntos] Un fabricante de piezas de aluminio desea realizar inferencias sobre
la proporción de unidades defectuosas producidas (p) a partir de una muestra aleatoria simple
de tamaño n.
a) Deducir la expresión de la discrepancia para la realización de dichas inferencias, justificando cuál es su distribución de probabilidad bajo el supuesto de que el tamaño de muestra
es elevado.
b) ¿Qué tamaño de muestra se debería tomar si se desea estimar la proporción de piezas
defectuosas con un nivel de confianza del 99% y un margen de error del 5%?
Pregunta 5. [2,5 puntos] Se está realizando un estudio sobre el mercado de pisos turísticos.
Para ello se ha seleccionado una muestra aleatoria de 51 ofertas de pisos para dos personas en
una plataforma de alquiler de pisos turísticos, para las que se ha recogido información sobre el
precio diario.
a) Explicar la salida de Gretl correspondiente al procedimiento “Distribución de frecuencias”
y contrastar si es asumible el supuesto de normalidad del precio diario de alquiler.
b) En la plataforma se afirma que el precio medio diario de los pisos para dos personas no
supera los 50 euros. Plantear el problema del contraste e indicar cómo se ha calculado el
nivel crítico asociado. ¿Cuál es la conclusión del contraste?
Tamaño muestral: n = 51. Media muestral = 53,9882, desv. típica = 10,5585
Estadístico de contraste: t(50) = (53,9882 - 50)/1,4785 = 2,6975
valor p a dos colas = 0,00950 (a una cola = 0,00475)
c) Se sospecha que la variabilidad de los precios es muy elevada, con una varianza superior
a 120. Calcular la región crítica del contraste para un nivel de significación del 5% y
justificar cuál será la conclusión si la discrepancia observada es d∗ = 46, 5.
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 19/1/2017
Pregunta 1. [2 puntos]
a)
Denir el modelo de Bernoulli de parámetro p, B(p), indicando cuál es su función de
probabilidad.
b)
Dada una v.a. X ∼ B(p):
b1) Deducir su función de distribución F .
b2) Deducir la expresión de su varianza.
b3) Obtener razonadamente la función de verosimilitud para muestras aleatorias simples
(X1 , ..., Xn ) de X .
Pregunta 2. [2 puntos]
Un agente de seguros está analizando algunos aspectos de su negocio.
a)
El agente comercializa seguros de automóvil y seguros del hogar. Sus ventas mensuales
en concepto de seguros de automóvil (X1 , en miles de euros) y seguros de hogar (X2 , en
miles de euros) son variables aleatorias con las siguientes distribuciones de probabilidad:
X1 ∼ N (10, 3) y X2 ∼ N (6, 2).
a1) ¾Cuál es la cantidad máxima que vende el agente en concepto de seguros de automóvil
el 95% de los meses?
a2) El agente recibe una comisión del 10% sobre las ventas de seguros de automóvil y
del 8% sobre las ventas de seguros de hogar. Bajo el supuesto de independencia
de ambos tipos de ventas, justicar cuál será la distribución de probabilidad de la
comisión total recibida mensualmente por el agente.
b)
El 20% de las personas con las que contacta el agente le compran algún tipo de seguro.
Si cierto mes contacta con 100 personas, ¾cuál es la probabilidad de que al menos 15 le
compren algún tipo de seguro?
Pregunta 3. [1,75 puntos]
Describir brevemente el muestreo de la unidad monetaria.
a2) Para inspeccionar el proceso de facturación de una agencia de viajes se plantea seleccionar una muestra de 3 facturas de las emitidas cierto día:
Nº factura
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Importe (¿) 2.500 4.000 1.800 1.000 3.000 2.800 3.200 4.500 1.200
Considerando como arranque aleatorio el nº 2.000, indicar cómo se seleccionaría la muestra
de 3 facturas mediante un muestreo de la unidad monetaria.
a) a1)
b)
Finalmente se decide seleccionar una muestra aleatoria simple de tamaño n = 3 y se
considera el siguiente estimador del valor esperado de las facturas µ:
T =
X1 + X2 + 2X3
4
3
Estudiar la eciencia de T sabiendo que la cantidad de información de Fisher es I3 (µ) = 2 ,
σ
donde σ 2 es la varianza poblacional.
Pregunta 4. [1,75 puntos]
Sea X una población N (µ, σ), con σ desconocida:
a)
Deducir la distribución de probabilidad de la discrepancia asociada a la realización de
inferencias sobre µ a partir de muestras aleatorias simples de tamaño n.
b)
El gasto diario en alojamiento por turista en una comunidad autónoma se distribuye
normalmente. Calcular un intervalo de conanza al 90% para el gasto diario esperado
sabiendo que en una muestra aleatoria simple de 25 turistas, el gasto medio en alojamiento
fue de 65,25 euros con una desviación típica de 20 euros.
c)
Justicar cómo se vería afectada la precisión del intervalo anterior ante un aumento del
nivel de conanza.
Pregunta 5. [2,5 puntos]
editadas en el último año.
a)
Se ha realizado un informe sobre el precio (en
¿)
de las novelas
La tabla adjunta recoge un resumen de la información correspondiente a la edición en
soporte de papel para una m.a.s. de 36 títulos:
Varianza muestral Coeciente de asimetría Coeciente de apuntamiento
10
-0,3
-0,8
Contrastar la normalidad del precio de las novelas en soporte de papel.
a2) Contrastar que la variabilidad en el precio no es muy elevada, con una varianza no
superior a 7, para un nivel de signicación α = 0, 05.
a1)
b)
Para los mismos 36 títulos de novela, se ha estudiado también el precio de la edición
electrónica, llegando a la conclusión de que hay diferencias signicativas en el precio
esperado de las novelas según el formato de edición.
b1) ¾Cómo habría que plantear el problema de contraste y cuáles serían los supuestos
para su resolución?
b2) Justicar si es correcta la conclusión del informe si la discrepancia observada para la
muestra es d∗ = 14, 5.
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 14/1/2016
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [1,75 puntos]
a)
Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias con E(Xi ) = µi y V ar(Xi ) = σi2 (i = 1, . . . , n).
Se considera el agregado Sn =
varianza de la v.a. Sn .
b)
n
X
Xi . Deducir razonadamente el valor esperado y la
i=1
Las cotizaciones diarias de tres valores A, B y C se distribuyen normalmente con valores
esperados 5, 8 y 10 euros y varianzas 10, 10 y 20, respectivamente. Un inversor tiene una
cartera con 100 acciones de A, 100 de B y 200 de C. Asumiendo que las cotizaciones de los
tres valores son independientes, obtener razonadamente la distribución de probabilidad
de la v.a. Valor total de la cartera.
Pregunta 2. [2,25 puntos] Una consultora de recursos humanos va a realizar entrevistas para
la selección de personal de una empresa.
a)
La consultora cuenta con 12 entrevistadores, de los cuales 7 son graduados en Relaciones
Laborales y Recursos Humanos (RRHH). Si se van a elegir al azar a 4 entrevistadores
para realizar la selección de personal, ¾cuál es la probabilidad de que al menos uno de
ellos sea graduado en RRHH?
b)
Se sabe que un 40% de los candidatos entrevistados serán seleccionados para formar parte
de la plantilla de la empresa. Calcular la probabilidad de que el primer seleccionado sea
el tercer entrevistado. ¾Cuál es el número esperado de entrevistas hasta seleccionar un
candidato?
c)
La duración (en horas) de cada entrevista es una variable aleatoria con esperanza 0,3
y desviación típica 0,1. Sabiendo que se va a entrevistar a 36 candidatos, calcular la
probabilidad de que el tiempo total empleado para la realización de las 36 entrevistas
supere las 10,5 horas.
Pregunta 3. [2,25 puntos] Sea X
de tamaño n.
una población de Bernoulli B(p) de la que se extraen m.a.s.
a)
Denir el estimador proporción muestral p̂ y enunciar las cuatro propiedades que verica:
insesgado, eciente, suciente y consistente.
b)
Comprobar que p̂ es el estimador máximo verosímil de p.
Pregunta 4. [1,25 puntos]
a)
b)
Sea X una población N (µ, σ) con σ conocida.
Deducir la expresión del intervalo de conanza para µ con nivel de conanza 1 − α.
El gasto (en ¿) en material escolar de los alumnos de primaria sigue un modelo normal
con desviación típica 10. Seleccionada una muestra aleatoria de 100 alumnos, se ha
calculado el intervalo de conanza para el gasto esperado µ con un nivel de conanza
1 − α, obteniendo un margen de error del intervalo e = 2¿. Deducir razonadamente cómo
habría que modicar el tamaño de muestra si se deseara duplicar la amplitud del intervalo
manteniendo el mismo nivel de conanza.
Unos grandes almacenes desean realizar un estudio sobre el gasto
en regalos (en ¿/ hogar) durante la campaña navideña. Para ello han tomado una m.a.s. de
36 hogares obteniendo un gasto medio de 150 con desviación típica 20.
Pregunta 5. [2,5 puntos]
a)
Contrastar la normalidad de la variable gasto sabiendo que la discrepancia observada en
el test de Jarque-Bera ha sido: d∗ = 0, 8.
b)
Estimar la varianza del gasto en regalos con un nivel de conanza del 95%.
c)
Durante la pasada campaña navideña, un 20% de los clientes solicitaron cambios en los
regalos navideños. Para este año, se espera que esta proporción se mantenga. Sabiendo
que entre los hogares encuestados, un 30% manifestaron cambiar sus regalos:
c1)
Plantear el problema de contraste y completar la salida de Gretl.
Hipótesis nula: proporción poblacional = 0.2
Tamaño muestral: n = 36
Proporción muestral = 0.3
Estadístico de contraste: z = (0.3 - 0.2)/0.0666667 = 1.5
valor p a dos colas = __________
(a una cola = ___________)
c2)
¾Cuál será la conclusión del contraste para un nivel de signicación del 10%?
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Convocatoria de Enero. 15/1/2015
Apellidos y Nombre
DNI
Pregunta 1. [1,75 puntos]
a)
Dado un espacio probabilizable (E, A), denir la probabilidad según la axiomática de Kolmogorov.
b)
Dados dos sucesos A, B ∈ A, justicar si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas:
b1) A
y Ac son sucesos independientes
b2) P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
En una tienda de productos alimenticios, la proporción de clientes
que compran productos ecológicos es del 20%.
Pregunta 2. [2,25 puntos]
a)
¾Cuál es el número esperado de clientes que entran en la tienda hasta que alguien solicita un
producto ecológico? Calcular la probabilidad de que cierto día el primer producto ecológico
vendido sea al segundo cliente.
b)
Obtener la probabilidad de que un día cualquiera en el que entran 100 clientes, al menos 25
soliciten un producto ecológico.
c)
Los ingresos diarios (en euros) por la venta de productos ecológicos se distribuyen normalmente con esperanza 2.000 y desviación típica 400. En un mes en el que la tienda ha abierto
al público 25 días, obtener razonadamente la probabilidad de que los ingresos mensuales por
dicho concepto oscilen entre 48.000 y 52.000 euros.
Pregunta 3. [2 puntos]√El
consumo diario de agua en los hogares (X, en m3 ) se distribuye según
un modelo normal N (µ, 2).
a)
Con el objetivo de estimar µ se toman muestras aleatorias simples de tamaño n = 4. Obtener
el estimador máximo verosímil (T1 ) de µ sabiendo que la función de verosimilitud es:
4
1
1X
L(x1 , x2 , x3 , x4 ; µ) =
exp[−
(xi − µ)2 ]
2
16π
4 i=1
2X1 − X2 + X3 + X4
. Justicar cuál de los dos
4
b)
Además se propone otro estimador T2 =
estimadores es más eciente para estimar µ.
c)
Indicar cómo se efectuaría la selección aleatoria de la muestra de 4 hogares mediante un
muestreo sistemático en una localidad con 2.000 hogares.
Pregunta 4. [1,5 puntos]
a)
Enunciar el Teorema de Fisher
b)
Dada una población X ∼ N (µ, σ), deducir razonadamente la expresión del intervalo de
conanza para la varianza σ 2 con un nivel de conanza 1 − α.
Una empresa que comercializa sus productos a través de Internet
desea estudiar el importe (en euros) de los pedidos realizados por sus clientes. Seleccionada una
m.a.s. de 16 clientes que han efectuado el pago mediante tarjeta nanciera, obtiene la siguiente
información X̄ = 55, S = 20, g1 = 0, g2 = 2.
Pregunta 5. [2,5 puntos]
a)
Contrastar la normalidad del importe de los pedidos pagados con tarjeta.
b)
El gerente asegura que el importe medio de los pedidos pagados con tarjeta es de 45 euros.
Estudiar si la información disponible avala esta hipótesis para un nivel de signicación del
5%. Justicar si cambiaría la conclusión para un nivel de signicación del 10%.
c)
La empresa ofrece también al usuario la posibilidad del pago del importe contra reembolso.
El gerente asegura que el importe medio pagado por los usuarios mediante tarjeta nanciera
es igual o superior al importe medio pagado contra reembolso. Se ha seleccionado una m.a.s.
de otros 16 clientes que han pagado contra reembolso. Asumiendo que el importe de los
pedidos sigue una distribución normal para ambos tipos de pago, con idéntica dispersión y
que la discrepancia observada para el contraste es d∗ = −2, 75. ¾Cuál será la conclusión del
gerente?
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Examen convocatoria de Enero 2014. 20/12/2013
Pregunta 1. [2 puntos]
a)
Denir el modelo de Bernoulli de parámetro p.
b)
Deducir las expresiones del valor esperado y de la varianza.
c)
Enunciar el Teorema de DeMoivre.
El peso (en kg) del equipaje facturado por los pasajeros de una línea
aérea sigue un modelo normal con valor esperado µ = 18 y desviación típica σ = 3.
Pregunta 2. [2 puntos]
a)
Los pasajeros que facturan equipaje con peso superior a 23kg deben pagar una tarifa por
sobrepeso. ¾Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que pagar por sobrepeso?
b)
En un vuelo en el que han facturado equipaje 25 pasajeros:
¾Cuál es la probabilidad de que más de uno pague la tarifa de sobrepeso?
b2) Obtener razonadamente la probabilidad de que el peso medio facturado por los 25
pasajeros se encuentre entre 17 y 20kg .
b1)
El tiempo (en días) que una institución tarda en pagar sus facturas
es una variable aleatoria X con función de densidad:
Pregunta 3. [2 puntos]
f (x, λ) =
1 −x/λ
e
si x > 0
λ
Con el n de estimar el parámetro λ a partir de muestras aleatorias simples de n facturas,
se dispone de la siguiente información:
Esperanza poblacional
Varianza poblacional
Cantidad de información de Fisher
λ
λ2
n
λ2
a)
Estudiar si la media muestral es un estimador eciente de λ.
b)
Obtener razonadamente el estimador máximo verosímil de λ.
c)
El número total de facturas del último ejercicio fue 2.500, de las que 2.000 correspondían
a material fungible y 500 a material inventariable. Indicar razonadamente como se seleccionaría una muestra aleatoria de tamaño n = 50, estraticada según el concepto de
facturación.
Pregunta 4. [1,75 puntos]
a)
Deducir razonadamente la expresión de cálculo del tamaño mínimo de muestra para estimar la proporción p con un margen de error e y un nivel de conanza (1 − α).
b)
Los gestores de un municipio han encargado una encuesta con el objetivo principal de
estimar la proporción de ciudadanos favorables a la supresión del tráco en el centro de
la ciudad. Obtener el tamaño mínimo de muestra si inicialmente se establece un margen
de error de 4% y un nivel de conanza del 95%.
c)
El presupuesto para realizar el estudio es de 3.000e, que debe cubrir un coste jo de
800e de diseño de la encuesta más un coste por entrevista de 5e. Proponer alguna
alternativa a los requisitos del apartado anterior que permita llevar a cabo la encuesta
con el presupuesto disponible.
Una cadena de radio ha encargado un estudio de audiencia. Se
ha entrevistado a una muestra de aleatoria de 100 oyentes, para los que se ha obtenido que el
tiempo medio diario que escuchan la cadena es 1,5h con desviación típica 0,5h.
Pregunta 5. [2,25 puntos]
a)
¾Puede asumirse que el tiempo diario de seguimiento de la cadena se distribuye normalmente sabiendo que el valor de la discrepancia de Jarque-Bera para la muestra es
d∗ = 0, 22?
b)
Calcular razonadamente un intervalo de conanza para la varianza del tiempo diario con
un nivel de conanza del 90%.
c)
Según los estudios de audiencia del año anterior, el tiempo medio diario que los oyentes
dedicaban a escuchar la cadena era de 1,75h. ¾Estaría justicado concluir que el tiempo
medio de audiencia este año supera al del año pasado?
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
Facultad de Economía y Empresa
Grado en Contabilidad y Finanzas
ESTADÍSTICA EMPRESARIAL
Examen convocatoria de Enero. 25/1/2013
Pregunta 1. [1,75 puntos]
a) Dado un espacio probabilizable (E, A), denir la probabilidad según el concepto clásico
y según la axiomática de Kolmogorov.
b) Dados dos sucesos A, B ∈ A, demostrar que P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
El importe de las compras de los clientes de la tienda online de
una cadena de ropa sigue un modelo N (100, 50).
Pregunta 2. [2,5 puntos]
a) ¾Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar gaste entre 80 y 120e?
b) Con el n de promocionar las ventas la cadena regala bonos descuento para aplicar en la
siguiente compra al 14% de los clientes que efectúan mayor gasto. ¾Cuál será el importe
mínimo de la compra para conseguir un bono descuento?
c) Calcular razonadamente la probabilidad de que en un día en el que se han efectuado 500
ventas, su importe total haya superado los 40.000e.
d) Sabiendo que el 10% de los clientes utilizan para sus compras tarjetas prepago:
d1) Justicar cuál es el modelo de probabilidad de la variable aleatoria X : número
de
clientes hasta el primero que utiliza tarjeta prepago.
d2) Calcular el valor esperado de X .
d3) ¾Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera sea el quinto cliente el primero que
utiliza tarjeta prepago?
El número mensual de averías del ascensor de un edicio de viviendas
sigue un modelo de Poisson de parámetro λ.
Pregunta 3. [2 puntos]
a) Se considera una muestra aleatoria simple (X1 , ..., Xn ) y como estimador T de λ la media
muestral. Calcular el sesgo y el error cuadrático medio de T .
b) Justicar si T es el estimador de máxima verosimilitud de λ. Si en una muestra de
tamaño 5 el número observado de averías ha sido (1, 0, 2, 1, 2), obtener la estimación
máximo verosímil de λ.
c) Teniendo en cuenta el valor de λ estimado en el apartado anterior, ¾cuál será la probabilidad de que en un mes el ascensor se averíe más de una vez?
Pregunta 4. [1,25 puntos]
a) Enunciar el Teorema de Fisher
b) Deducir la distribución de probabilidad de la discrepancia asociada a las inferencias sobre
el valor esperado poblacional µ a partir de muestras aleatorias simples de tamaño n de
una población X ∼ N (µ, σ) con σ desconocida.
Pregunta 5. [2,5 puntos]
basuras en el municipio.
Un ayuntamiento está realizando un estudio sobre el reciclado de
a) Con el n de analizar el aprovechamiento de los contenedores de envases se ha observado
durante una semana una muestra aleatoria de 25 contenedores amarillos, obteniéndose un
peso medio de los envases recogidos de 50kg con desviación típica de 15kg. Asumiendo
un modelo normal para el peso semanal de los residuos, calcular un intervalo de conanza
para el peso esperado de los envases con un nivel de conanza del 95%.
b) En el ayuntamiento creen que hay demasiada variabilidad en las cantidades recicladas en
los distintos contenedores, con una varianza superior a 500. A partir de la información
muestral disponible ¾es asumible este supuesto con un nivel de signicación del 5%?
c) Se ha puesto en marcha un proceso de inspección con el n de sancionar a las comunidades
de vecinos que no separen correctamente los residuos para reciclado. Un porcentaje de
bolsas con residuos incorrectamente clasicados por debajo del 5% se atribuye a errores
casuales, mientras que una proporción superior al 10% se considera sancionable.
Se establece como regla de decisión aceptar que el proceso de reciclado de la comunidad
es correcto si en una muestra de tamaño 25 hay a lo sumo una bolsa con los residuos
mal clasicados. Plantear el contraste de muestreo de aceptación e identicar los posibles
tipos de error. Calcular el riesgo β .
TIEMPO MÁXIMO: 1h45m
