HOJA 3. ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicio 1 Dados los subespacios vectoriales de R3 :
H1 = h(1, 1, −1) , (3, 0, −1)i .
H2 =
H3 =
(x, y, z) ∈ R3 /
−x + y − z = 0
2x − y = 0
(x, y, z) ∈ R3 /
3x + y = 0
2x − z = 0
.
.
i) Calcula una base de H1⊥ ∩ H2 ∩ H3⊥ .
⊥
ii) Ecuaciones implı́citas de H1⊥ + (H2 + H3 ) .
Ejercicio 2 Dados los subespacios vectoriales de R3 :
H1 = h(1, 1, −1) , (0, 2, −1)i .
H2 = (x, y, z) ∈ R3 /x − 2y − z = 0 .
H3 = h(1, 3, 2)i .
H4 =
y−z =0
(x, y, z) ∈ R /
2x − 3y − 3z = 0
3
.
⊥
i) Ecuaciones implı́citas de H1⊥ + (H3 + H4 ) .
⊥
ii) Calcula una base de (H1 ∩ H3 ) ∩ (H2 + H4 ).
Ejercicio 3 Obtén una base ortonornal de:
i) S1 = (x, y, z) ∈ R3 /x + y − 2z = 0 .
ii) S2 = (x, y, z, u) ∈ R4 /x + y + z + u = 0 .
iii) S3 = (x, y, z, u) ∈ R4 /x + 2y = 0, z + 2u = 0 .
iv) S4 = (x, y, z, u) ∈ R4 /x + y + z + u + t = 0, z + t + u = 0 .
v) S1 = (x, y, z, u) ∈ R4 /x + y + z = 0, y + t = 0 .
Ejercicio 4 En R3 con el producto escalar canónico consideramos los subespacios:
i) S1 = (x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0 .
ii) S1 = (x, y, z) ∈ R3 /x + y = 0 .
iii) S2 = (x, y, z) ∈ R3 /x − y = 0, x + y − z .
iv) S3 = (x, y, z) ∈ R3 /x − 2y = 0 .
1
v) S4 = (x, y, z) ∈ R3 /x + y + z = 0, x − y − z = 0 .
• Calcular sus subespacios ortogonales.
• Obtén la proyección ortogonal y la distancia del vector v = (2, 1, 0) a los subespacios anteriores.
Ejercicio 5 En R2 con el producto escalar canónico, calcula la proyección ortogonal del subespacio
S = {(x, y) ∈ R2 |x + y = 0} y obtén a partir de ésta la distancia de S a los vectores (1, 1), (1, −1), (2, 0).
Ejercicio 6 Estudia cuál de los siguientes conjuntos es un subespacio de Rn para el n correspondiente:
i) S1 = (x, y, z, t) ∈ R4 /x + y + z + u = b , siendo b ∈ R.
ii) S2 = (x, y, z) ∈ R3 /x · y = 0 .
iii) S3 = (x, y) ∈ R2 /x2 = b , siendo b ∈ R+ ∪ {0} .
iv) S4 = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 /x1 = 2x2 , 2x3 − x4 = 0 .
v) S5 = (x, y, z) ∈ R3 /2x − y = 0, x − y + z = 0, 3x − 2y + z = 0 .
Ejercicio 7 Dado S = h(1, 2, −1) , (1, a, −1) , (a, −1, 1)i subespacio de R3 y dado v = (1, 0, b). Calcular
el valor de a, b ∈ R, para que v ∈ S.
Ejercicio 8 Si S = h(1, 1, −1, 1) , (1, 1, 0, 1)i y T = (x, y, z, t) ∈ R4 /2x − y − t = 0, 4x − 3y + 2z = 0 .
i) Calcula bases de S y T .
ii) Calcula las ecuaciones cartesianas y las dimensiones de S, T, S ∩ T, S + T.
Ejercicio 9 Dados los vectores u = (1, 1, 0, m), v = (3, −1, n, −1) y w = (−3, 5, m, −4), hallar los valores
de m y n para que dichos vectores sean linealmente dependientes.
Ejercicio 10 Dados S = h(1, 1, 0, 1) , (2, 1, 1, 0) , (1, 2, 1, −1)i y T = (x, y, z, t) ∈ R4 /x − y = 0, 3x − 4z + t = 0 .
Calcula:
i) Una base de S y T.
ii) Los subespacios S ∩ T y S + T , dando bases para dichos subespacios vectoriales.
iii) ¿Es la suma se S y T directa?
Ejercicio 11 Sean S y T dos subespacios de R4 , donde:
S = (x, y, z, t) ∈ R4 /x = 2y, 2z − t = 0 .
T = (x, y, z, t) ∈ R4 /x + y + z + t = 0 .
Calcula:
i) Una base y dimensión de S y T.
ii) Los subespacios S ∩ T y S + T , dando bases para dichos subespacios vectoriales.
iii) ¿Es la suma se S y T directa?
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Ejercicio 12 Determinar si los siguientes sistemas de vectores de R3 son linealmente independientes o
dependientes. Obtener su rango y una base del subespacio que generan. Cuando sea posible expresar uno
de ellos como combinación lineal de los otros.
i) S1 = {(3, 1, 2) , (1, −1, 2) , (0, 1, 2)} .
ii) S2 = {(3, 1, 2) , (1, −1, 2) , (0, 1, 2) , (4, −1, 2)} .
iii) S3 = {(1, 2, 3) , (−1, 1, 0) , (2, 1, 3)} .
iv) S4 = {(1, 1, a) , (1, a, 1) , (0, 0, 0) , (a, 1, 1)} .
Ejercicio 13 Consideremos los subespacios de R4 , S = {(x, y, z, t) ∈ R4 |y + z = 0, 2y + z − t = 0} y
T = h(1, 0, 1, −1), (a, 2, −2, 2)i donde a ∈ R.
i) Calcula una base de S.
ii) Calcula los a ∈ R3 tales que la dimensión de S + T sea 3.
Ejercicio 14 Si S = h(1, 1, −1, 1) , (1, 1, 0, 1)i y T = {(x, y, z, t) ∈ R4 |2x − y − t = 0, 4x − 3y + 2z = 0},
calcula las bases, ecuaciones cartesianas y dimensión de S, T , S ∩ T y S + T .
Ejercicio 15 Si U = h(1, −1, 0, 1) , (−1, −1, 0, 0)i y T = {(x, y, z, t) ∈ R4 |x − z = 0, 2x + y − z + 2t = 0},
calcula las bases, ecuaciones cartesianas y dimensión de S, T , S ∩ T y S + T .
Ejercicio 16 Sean S = h(1, 1, 1) , (1, −1, 0) , (0, 0, 1)i y T = (x, y, z) ∈ R3 /x + y − 2z = 0 , calcula las
bases, ecuaciones cartesianas y dimensión de S, T , S ∩ T y S + T .
Ejercicio 17 Sean S = h(1, 1, 1) , (−1, 1, 0) , (2, −2, 0)i y T = (x, y, z) ∈ R3 /x + 3y − 2z = 0 , calcula
las bases, ecuaciones cartesianas y dimensión de S, T , S ∩ T y S + T .
Ejercicio 18 Sea S = h(1, 2, −1), (1, a, −1), (a, −1, −1)i y v = (1, 0, b) donde a, b ∈ R.
i) ¿Para qué valores de a y b será v un vector de S?
ii) Si a = 2 ¿es cada uno de los vectores del sistema generador anterior de S una combinación lineal de
los otros dos vectores ? Calcula una base y la dimensión del subespacio S y da las coordenadas del
vector v en dicha base.
Ejercicio 19 En el espacio vectorial R2 se condideran los sistemas de vectores B = {e1 , e2 } y C =
{u1 , u2 } donde e1 = (1, 1), e2 = (1, −1) , u1 = (1, 0) y u2 = (0, 1).
i) Comprobar que son bases de R2 .
ii) Hallar las coordenadas del los vectores v = 2u1 − u2 y w = 2e1 − e2 en la base C y en la base B.
Ejercicio 20 Se consideran los siguientes vectores de R3 : (1, 1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1, 1).
i) Demostrar que forman una base de R3 .
ii) Hallar las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base.
Ejercicio 21 Demostrar que en R3 los vectores x = (1, −1, 0) , y = (2, 1, 0) y z = (0, 1, 1) son linealmente
independientes. Encontrar las coordenadas respecto de dicha base del vector (1, 1, 1).
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Ejercicio 22 Dado S = {u1 , u2 , u3 } un sistema libre de R3 . Entonces:
i) {u1 , u2 − u1 , u3 − u2 } es un sistema libre.
ii) {u1 − u2 , u2 − u1 , u3 − u2 } es un sistema libre.
iii) {u1 + u2 , u2 − u1 , u3 − u2 } es un sistema libre.
Ejercicio 23 Sean u, v y w tres vectores de R3 . Demostrar que si u, v y w son linealmente independientes
lo mismo sucede con los vectores u + v, u − v, u − 2v + w.
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