Modelos de Estado

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Modelos de estado
ÍNDICE
1.
Introducción.
2.
Métodos de las variables físicas.
2.1.
3.
Modelos de estado de algunos sistemas físicos.
Ecuaciones de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
escalares.
3.1.
Variables de fase.
3.2.
Forma canónica de Jordan.
4.
Sistemas lineales con parámetros variables.
5.
Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado.
5.1.
6.
Algoritmo de Leverrier.
Transformaciones lineales.
2
MODELOS DE ESTADO
1.
Introducción
Fijados los conceptos de estado y variables de estado de un sistema y mostrada
la representación matricial de las ecuaciones de estado, parece lo más oportuno estudiar
la manera de obtener la ecuación de estado de un sistema determinado, cuando el
comportamiento dinámico de este viene descrito por una ecuación diferencial o por su
función de transferencia. En tal caso, se presenta como objetivo más inmediato la
selección y definición de las variables de estado x1, x2, …xn que han de describir el
estado del sistema en un instante determinado.
Como ya se indicó en secciones precedentes, la selección de un conjunto de
variables de estado o vector de estado no es un proceso único. Para un sistema dado,
existen infinidad de conjuntos posibles de variables de estado. Sin embargo, todos los
conjuntos posibles han de estar constituidos por el mismo número de variables de estado
y las variables definidas han de ser totalmente independientes. Entendiendo por variable
independiente aquella cuyo valor no puede ser expresado en función de las restantes
variables; lo que implica que los valores iniciales de cada una de las variables de estado
elegidas puedan ser asignados con entera libertad.
Por ejemplo, en un sistema como el representado en la figura 3.1 podrían
tomarse como variables de estado la velocidad 𝑦̇ (𝑡)de la masa 𝑀 y la fuerza en el
muelle 𝑘𝑦(𝑡); no podría tomarse la fuerza en el muelle y el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la
masa, ya que la primera es igual al segundo multiplicado por la constante 𝐾. Otra
alternativa válida sería tomarse como variables de estado des sistema la velocidad 𝑦̇ (𝑡)
y el desplazamiento𝑦(𝑡) de la masa.
La selección de las variables de estado para describir adecuadamente el comportamiento
de un sistema en estudio no es una tarea simple; por el contrario, requiere una
experiencia e intuición personal que complementadas con la aplicación de los conceptos
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generalizados, debe conducir a la determinación de la forma más adecuada de
agrupamiento del sistema para conseguir una selección clara y eficaz de sus variables de
estado.
Entre los diversos métodos generales que existen para la selección de las
variables de estado de un sistema y la consiguiente determinación de sus ecuaciones de
estado, pueden considerarse como los más utilizados el método de las variables físicas,
el de las variables de fase y el de las variables canónicas de Jordan; todos ellos serán
tratados y desarrollados en apartados sucesivos.
2.
Método de las variables físicas
En el método de las variables físicas también conocido como método directo, la
selección de las variables de estado se realiza basándose en los elementos
almacenadores de energía existentes en el sistema.
Para un grupo bastante importante de sistemas físicos, existe una relación directa
entre la dinámica del sistema y el concepto de energía. Toda transición o cambio
dinámico del sistema se realiza, básicamente, a través de un proceso de redistribución
de la energía existente. La energía aparece en un sistema en diversas formas físicas y
puede ser transformada de una forma física a otra, con o sin pérdidas. Un sistema de
regulación puede ser considerado como un dispositivo generador de un proceso de
redistribución de energía que consigue la transformación de la energía almacenada en
una forma determinada, en otra almacenada en forma diferente, según un plan previsto.
En el proceso descrito queda excluida la transmisión de energía en forma instantánea, ya
que ello requeriría el desplazamiento de cantidades finitas de energía en un tiempo nulo,
lo que es físicamente imposible. Así pues, todos los cambios energéticos que se realicen
dentro del sistema deberán efectuarse en un tiempo finito; lo que implica que el proceso
de redistribución de la energía dentro del sistema ha de realizarse en un tiempo
determinado (no nulo). Por ello, el estado de un sistema no podrá variar bruscamente; es
decir, una cantidad finita en un tiempo infinitesimal, ante una señal de entrada finita
𝑢(𝑡).
En un sistema físico puede seleccionarse como variable de estado la magnitud física de
la ecuación energética correspondiente a cada elemento almacenador de energía,
independiente, incluido en el mismo; el número de estos últimos determina la
complejidad del sistema. En algunos sistemas puede ser necesario definir más variables
de estado que las procedentes de las ecuaciones energéticas, tal como se verá en algún
ejemplo. De todas formas, el número de variables de estado seleccionadas deberás ser
igual al orden de la ecuación diferencial que define el comportamiento del sistema,
cuando se trata de sistemas con una entrada y una salida.
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En el ejemplo de la figura 3.2 a) hay tres elementos almacenadores de energía:
una masa y dos muelles. Sin embargo, sólo existen dos que sean independientes: la
masa y un muelle de constante elástica 𝐾𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 , tal como se muestra en el
sistema equivalente de la figura 3.2 b). La energía puede ser almacenada en dos formas:
como energía potencial en el muelle (𝐾𝑒𝑞 𝑦 2 /2), o como energía cinética en la masa
(𝑚𝑣 2 /2). El sistema es, pues, de segundo orden y basta con dos variables de estado
para describir su comportamiento dinámico. Como variables de estado podrían tomarse,
el desplazamiento 𝑦(𝑡) de la masa 𝑀 y la velocidad de desplazamiento de ésta, 𝑦̇ (𝑡),
puesto que ambas pueden ser especificadas en forma totalmente independiente. En el
sistema de la figura 3.2 c) pueden fijarse cuatro puntos independientes de
almacenamiento de energía (dos de energía cinética y otros dos de energía potencial). El
sistema resulta de cuarto orden, requiriéndose cuatro variables de estado para su
descripción.
2.1.
Modelos de estado de algunos sistemas físicos
En este apartado se trata de obtener, de forma directa, las ecuaciones de estado
de algunos de los elementos o componentes físicos más comúnmente utilizados en los
sistemas de regulación automática. El método directo o de las variables físicas resulta
especialmente útil cuando se tratan de sistemas lineales, definidos, como es sabido, por
ecuaciones algébricas y ecuaciones diferenciales lineales.
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Sistema eléctrico
Sea el sistema eléctrico representado en la figura 3.3, cuya dinámica ha de ser
controlada por los dos generadores de tensión 𝑢𝑒1 y 𝑢𝑒2 . El estado del sistema será,
pues, controlado por el vector de fuerza de control.
𝑢1
𝑢 (𝑡)
𝑢(𝑡) = �𝑢 � ≡ � 𝑒1 �(3.1)
𝑢𝑒2 (𝑡)
2
Los elementos independientes capaces de almacenar energía en el sistema son
las dos bobinas y el condensador; las primeras en forma de energía electromagnética
𝐿𝑖 2 /2 y el segundo como energía electrostática 𝐶𝑢𝑐2 /2. Por poder asignarse valores
independientes a las corrientes 𝑖1 (𝑡) e 𝑖2 (𝑡) que circulan a través de las bobinas y a la
tensión 𝑢𝑐 (𝑡) existente en el condensador, puede considerarse el conjunto como un
sistema de tercer orden en el que se tomen como variables de estado las mencionadas 𝑖1 ,
𝑖2 y 𝑢𝑐 , que son fácilmente medibles y tienen un claro significado físico. Así pues, se
tendrá
𝑥1
𝑖1 (𝑡)
𝑥(𝑡) = �𝑥2 � ≡ � 𝑖2 (𝑡) � (3.2)
𝑥3
𝑢𝑐 (𝑡)
Las ecuaciones que caracterizan el comportamiento físico del sistema son
𝑢𝑒1 (𝑡) = 𝑅𝑖1 (𝑡) + 𝐿1 𝑖1 (𝑡) + 𝑢𝑐 (𝑡)
1
𝑢̇ 𝑐 (𝑡) = 𝑐 [𝑖1 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡)]
(3.3)
𝑢𝑒2 (𝑡) = 𝐿𝑖2 (𝑡) + 𝑢𝑐 (𝑡)(3.4)
(3.5)
Introduciendo las relaciones 𝑥1 = 𝑖1 (𝑡), 𝑥2 = 𝑖2 (𝑡), 𝑥3 = 𝑢𝑐 (𝑡) y haciendo operaciones
resulta
6
𝑅
1
1
1
1
𝑥
𝐶 1
+ 𝐶 𝑥2
1
𝑥̇ 1 = − 𝐿 𝑥1 − 𝐿 𝑥3 + 𝐿 𝑢1
1
1
𝑥̇ 2 = − 𝐿 𝑥3 + 𝐿 𝑢2
𝑥̇ 3 =
2
(3.6)
1
(3.7)
2
1
(3.8)
La ecuación de estado correspondiente será:
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
(3.9)
Con los siguientes valores de las matrices A y B
𝑅
⎡− 𝐿 1
⎢
𝐴=⎢ 0
⎢ 1
⎣ 𝐶
0
0
1
𝐶
1
1
−𝐿 ⎤
1
𝐿1
1⎥
− 𝐿 ⎥ 𝐵 = �0
2
⎥
0 ⎦
0
0
1�
(3.10)
𝐿2
0
Si se considera como salida la tensión 𝑢𝐿1 (𝑡) existente en la bobina 𝐿1 se tendrá, a partir
de (3.3), que
y haciendo𝑢𝐿1 (𝑡) = 𝑦
𝑢𝐿1 (𝑡) = 𝐿1 𝑖1 (𝑡) = −𝑅𝑖1 (𝑡) − 𝑢𝑐 (𝑡) + 𝑢𝑒1 (𝑡)(3.11)
𝑦 = −𝑅𝑥1 − 𝑥3 + 𝑢1 (3.12)
que puede ponerse en la forma
correspondiente a la expresión general
con
𝑦 = [−𝑅
0
𝑥1
𝑢1
−1] �𝑥2 � + [1 0] �𝑢 �(3.13)
2
𝑥3
𝑦(𝑡) = 𝑐𝑥(𝑡) + 𝑑𝑢(𝑡)(3.14)
𝑦 = 𝑦𝑐 = [−𝑅
0 −1]𝑑 = [1 0](3.15)
Sistema hidráulico
Sea el sistema hidráulico representado en la figura 3.4, consistente en dos
depósitos D1 y D2 de superficie transversal A1 y A2, llenos de agua a niveles h1 y h2 y con
dos válvulas de paso de resistencia hidráulica R1 y R2. Sea la señal de entrada el caudal
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qeaportado por la conducción hidráulica al primer depósito y la señal de salida el caudal
q1 que circula por la válvula de salida del mismo depósito D1.
En el sistema existen dos elementos independientes almacenadores de energía:
los dos depósitos. Servirán, pues, dos variables de estado para definir el
comportamiento dinámico del sistema. El sistema será de segundo orden y sus
ecuaciones físicas resultan de las siguientes relaciones (sistema linealizado):
1
𝑞1 (𝑡) = 𝑅 [ℎ1 (𝑡) − ℎ2 (𝑡)]𝑞2 (𝑡) =
1
1
𝑅2
ℎ2 (𝑡)(3.16)
𝑞𝑒 (𝑡) − 𝑞1 (𝑡) = 𝐴1 ℎ1 (𝑡)𝑞1 (𝑡) − 𝑞2 (𝑡) = 𝐴2 ℎ2 (𝑡)(3.17)
Introduciendo las relaciones x1=h1(t), x2=h2(t), u=qe(t), y=q1(t) y operando, resulta de
(3.16) y (3.17)
1
𝑥̇ 1 = − 𝑅
1 𝐴1
𝑥1 +
𝑥̇ 2 =
𝑅1 𝐴1
La ecuación de estado será
𝑥̇ (𝑡) = �
y la de salida
−𝑅
1
1 𝐴1
−𝑅
1
1 𝐴1
1
1
𝑥
𝑅1 𝐴1 2
1
𝐴1
𝑅 +𝑅2
𝑥1 − 𝑅 1𝑅
1
𝑥
𝑅1 1
𝑦=
1
𝑅1 𝐴1
𝑅1 +𝑅2 � 𝑥(𝑡)
−𝑅
+
1 𝑅2 𝐴2
1
𝑦(𝑡) = �𝑅
1
1 2 𝐴2
1
𝑢(3.18)
𝑥2 (3.19)
− 𝑅 𝑥2 (3.20)
1
1
+ �𝐴1 � 𝑢(𝑡)(3.21)
0
1
− 𝑅 � 𝑥(𝑡)(3.22)
1
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Sistema electromecánico
Sea el sistema electromecánico representado en la figura 3.5, correspondiente a
un motor de corriente continua controlado por inducido.
La ecuación que define el comportamiento del circuito inductor, como es sabido,
presenta la forma
𝑢𝑖 (𝑡) = 𝑅𝑖 𝑖𝑖 (𝑡) + 𝐿𝑖 𝑖𝑖 (𝑡) + 𝐾𝑏 𝜔𝑚 (𝑡)(3.23)
y la ecuación mecánica
siendo:
𝑃𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑝 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐽𝜗̈(𝑡) + 𝐵𝜗̇(𝑡) = 𝐽𝜔̇ 𝑚 (𝑡) + 𝐵𝜔𝑚 (𝑡)(3.24)
𝐾𝑏 𝜔𝑚 (𝑡)= f.c.e.m inducida en el rotor (proporcional a la velocidad angular)
𝐾𝑝 𝑖𝑖 (𝑡)= par desarrollado en el motor
J= momento de inercia de la parte móvil
B= coeficiente de rozamiento viscoso
𝜔𝑚 (𝑡)= velocidad angular del motor
𝜗(𝑡)= ángulo de giro del eje del motor.
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Existen dos elementos acumuladores de energía en el sistema: la bobina de
inductancia L y la parte móvil con momento de inercia J. Pueden, pues, seleccionarse
dos variables de estado, x1= 𝜔𝑚 (𝑡) y x2=𝑖𝑖 (𝑡). Como señal de entrada se tomará u=ui(t)
y como señal de salida𝑦 = 𝜔𝑚 (𝑡) . Las ecuaciones (3.24) y (3.23) quedarían en la
forma:
𝐵
𝑥̇ 1 = − 𝐽 𝑥1 +
𝑥̇ 2 = −
siendo la ecuación de estado
𝑥̇ (𝑡) = �
La ecuación de salida será
𝐵
−𝐽
−
𝐾𝑏
𝐿𝑖
𝐾𝑝
𝐾𝑏
𝐿𝑖
𝑥1 − 𝐿 𝑖 +
𝐽
𝑅𝑖 � 𝑥(𝑡)
−𝐿
𝑖
𝑅
𝐾𝑝
𝑖
𝐽
𝑥2 (3.25)
1
𝐿𝑖
𝑢(3.26)
0
+ � 1 � 𝑢(𝑡)(3.27)
𝐿𝑖
𝑦(𝑡) = [1 0]𝑥(𝑡)(3.28)
Si se desease obtener, como señal de salida la posición angular 𝜗(𝑡)del motor,
sería necesaria otra ecuación diferencial más,𝜗̇(𝑡) = 𝜔𝑚 (𝑡), con lo que se iría a un
sistema de tercer orden que requeriría la definición de una nueva variable de estado𝑥3 =
𝜗(𝑡).
3. Ecuaciones de estado de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales escalares
En la descripción de sistemas dinámicos lineales mediante modelos matemáticos
se llega, de forma general, a ecuaciones diferenciales escalares de tipo
(𝑛)
𝑦
+ 𝑎𝑛−1 (𝑛−1)
+ … 𝑎1 𝑦̇ + 𝑎0 𝑦 = 𝑏𝑛 (𝑛)
+ 𝑏𝑛 (𝑛−1)
+ … 𝑏1 𝑢̇ + 𝑏0 𝑢(3.29)
𝑦
𝑢
𝑢
donde𝑦 = 𝑦(𝑡) es la señal de salida y 𝑢 = 𝑢(𝑡) es la señal de entrada. Cuando se
realiza el análisis o síntesis de estos sistemas en el espacio de estado, la expresión (3.29)
no resulta adecuada; por lo que ha de ser transformada en otra matricial del tipo
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡), que es la idónea para dicho tipo de representación. En este
apartado se tratará la forma de obtener ecuaciones de estado a partir ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes constantes, como la expresada en (3.29).
Desde luego, si la ecuación diferencial de de orden n, la ecuación de estado
incluirá n variables de estado, definidas mediante n ecuaciones diferenciales de primer
orden; cualquiera de los coeficientes aio bide (3.29) podrá ser cero. Por otra parte, es
sabido que el número de conjuntos variables de estado que pueden describir el
comportamiento de un sistema es infinito, lo que plantea el problema de seleccionar
algunos de los más convenientes. En este sentido, existen grupos ya acreditados de
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variables de estado que facilitan la resolución de la ecuación de estado que facilitan la
resolución de la ecuación de estado y conducen a matrices A, B, C y D, relativamente
sencillas y significativas. Ello permite imaginar, con rapidez, el tipo de sistema que se
está tratando desde el punto de vista de las técnicas de regulación automática, así como
obtener algunos de sus parámetros en forma inmediata.
3.1 Variables de fase
En primer lugar, se va a considerar el caso especial de un sistema en cuya
ecuación diferencial general se da la circunstancia de que𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 = ⋯ = 𝑏1 = 0
y𝑏0 = 1. Se trata, pues, de un sistema cuya señal excitadora no contiene términos que
incluyan derivadas de la señal de entrada. La ecuación (3.29) quedaría de la siguiente
forma:
(𝑛)
𝑦
+ 𝑎𝑛−1 (𝑛−1)
+ … 𝑎1 𝑦̇ + 𝑎0 𝑦 = 𝑢(3.30)
𝑦
Tomando como variables de estado la variable 𝑦(𝑡) y sus (𝑛 − 1) derivadas respecto
del tiempo, se obtendrá el siguiente conjunto de 𝑛 variables de estado
𝑥1 = 𝑦
𝑥1
𝑥2
𝑥= �⋮�
𝑥𝑛
𝑥2 = 𝑦̇
………
𝑥𝑛 =
(𝑛−1)
𝑦
(3.31)
con lo que la ecuación (3.30) puede expresarse mediante las relaciones:
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 1
𝑥̇ 2
𝑥̇ = � �
⋮
𝑥̇ 𝑛
𝑥̇ 2 = 𝑥3
o puesta en forma matricial convencional
………
𝑥̇ 𝑛 = −𝑎0 𝑥1 − 𝑎1 𝑥2 − ⋯ − 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑢
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
0
⎡ 0
⎢
𝑥̇ (𝑡) = ⎢ ⋮
⎢ 0
⎣−𝑎0
(3.32)
1
0
⋮
0
−𝑎1
……
0
0
0⎤
⎥
⎥ 𝑥(𝑡) +
1 ⎥
……
−𝑎𝑛−1 ⎦
0
⎡0⎤
⎢⋮⎥
⎢ ⎥ 𝑢(𝑡)(3.33)
⎢⋮⎥
⎣1⎦
11
La ecuación de salida será
𝑦(𝑡) = 𝑐𝑥(𝑡) = [1
0 0
… 0]𝑥(𝑡)(3.34)
Veamos, seguidamente, el caso en que el sistema venga descrito por la ecuación (3.29)
completa. En esta ocasión el conjunto de y (t) y sus (n-1) derivadas no sería válido
como variables de estado, debido a que entre las n ecuaciones diferenciales de primer
orden resultante
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 2 = 𝑥3 (3.35)
⋯⋯⋯
𝑥̇ 𝑛 = −𝑎0 𝑥1 − 𝑎1 𝑥2 − ⋯ − 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛
(𝑛)
(𝑛 − 1)
+ 𝑏𝑛−1
+ … + 𝑏0 𝑢
𝑢
𝑢
la última contiene términos en los que aparecen derivadas de la función u(t); lo que no
está de acuerdo con la forma normalizada de la ecuación de estado, en la que interviene
únicamente la señal de entrada u(t) y no sus derivadas. Esta última circunstancia es muy
importante, pues en numerosas aplicaciones la señal de entrada es discontinua (función
de tipo escalera por ejemplo), lo que origina que su primera derivada o las de orden
superior, en un sentido estricto, sean inexistentes; por ello es preferible evitarlas.
Realmente la sencillez de la descripción de los sistemas dinámicos en el espacio de
estado se apoya, en gran medida, en este hecho. Para conseguir tal fin se pone la
ecuación (3.29) en la forma
𝑦(𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑝𝑛−2 + … 𝑎1 𝑝 + 𝑎0 ) = 𝑢(𝑏𝑛 𝑝𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑝𝑛−1 + 𝑏1 𝑝 + 𝑏0 )
(3.36)
donde, 𝑝, representa el operador 𝑝 = 𝑑 ⁄𝑑𝑡.
Introduciendo la expresión
𝐷(𝑝) = 𝑝𝑛 − 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + … 𝑎1 𝑝 + 𝑎0 (3.37)
resulta
1
𝑝
𝑝𝑛−1
𝑝𝑛
𝑦 = 𝑏0 𝐷(𝑝) 𝑢 + 𝑏1 𝐷(𝑝) 𝑢 + … + 𝑏𝑛−1 𝐷(𝑝) 𝑢 + 𝑏𝑛 𝐷(𝑝) 𝑢(3.38)
Seleccionando como variables de estado
𝑥1 =
1
𝑢
𝐷(𝑝)
12
𝑥2 =
Se obtienen las siguientes relaciones
𝑥𝑛 =
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑝
𝑢
𝐷(𝑝)
𝑥𝑛−1 =
𝑝𝑛−1
𝑢
𝐷(𝑝)
𝑥̈ 1 = 𝑥3
𝑥̇ 2 = 𝑥3
𝑥̇ 𝑛−1 = 𝑥𝑛
De la primera ecuación de (3.39) resulta
1
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝐷(𝑝)
𝑢(3.39)
(3.40)
(𝑛 − 1)
= 𝑥𝑛
𝑥1
𝑥1 = 𝐷(𝑝) 𝑢 = 𝑝𝑛+𝑎
o sea
𝑝𝑛−2
1
𝑛−1 + …𝑎 𝑝+ 𝑎
𝑛−1 𝑝
1
0
𝑢(3.41)
𝑥1 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 𝑥1 + … 𝑎1 𝑝𝑥1 + 𝑎0 𝑥1 = 𝑢(3.42)
equivalente a
(𝑛)
(𝑛 − 1)
(𝑛 − 2)
+ 𝑎𝑛−1
+ 𝑎𝑛−2
+ … + 𝑎1 𝑥̇ 1 + 𝑎0 𝑥1 = 𝑢
𝑥1
𝑥1
𝑥
teniendo en cuenta (3.40) resulta
𝑥̇ 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−2 𝑥𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥2 + 𝑎0 𝑥1 = 𝑢(3.43)
De esta ecuación con (3.41) se obtiene finalmente
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 2 = 𝑥3
𝑥̇ 𝑛−1 = 𝑥𝑛
⋮(3.44)
𝑥̇ 𝑛 = −𝑎0 𝑥1 − 𝑎1 𝑥2 − ⋯ − 𝑎𝑛−2 𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑢
La ecuación de salida se obtiene a partir de la ecuación (3.38), introduciendo las
relaciones incluidas en (3.39); así resulta
𝑦 = 𝑏0 𝑥1 + 𝑏1 𝑥2 + … + 𝑏𝑛−1 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑥̇ 𝑛 (3.45)
13
y sustituyendo xn por su valor obtenido de (3.44) se llega, como ecuación de salida, a la
expresión
𝑦 = (𝑏0 − 𝑏𝑛 𝑎0 ) 𝑥1 + (𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎1 ) 𝑥2 + … + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 ) 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢
(3.46)
Las ecuaciones (3.44) y (3.46) son equivalentes a la ecuación diferencial original (3.29);
puestas en forma matricial corresponden a la expresión
0
⎡ 0
⎢
𝑥̇ (𝑡) = ⎢ ⋮
⎢ 0
⎣−𝑎0
1
0
⋮
0
−𝑎1
0…
1…
⋮
0…
−𝑎2
…0
…0 ⎤
⎥
⎥ 𝑥(𝑡) +
…1 ⎥
−𝑎𝑛−1 ⎦
0
⎡0 ⎤
⎢⋮⎥
⎢ ⎥ 𝑢(𝑡)(3.47)
⎢0 ⎥
⎣1 ⎦
𝑦(𝑡) = [𝑏0 − 𝑏𝑛 𝑎0 , 𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎1 , … , 𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 ]𝑥(𝑡) + 𝑏𝑛 𝑢(𝑡)(3.48)
Las ecuaciones (3.47) y (3.48) constituyen la denominada “forma canónica de la
variable de fase” de las ecuaciones de estado. Como se observará, en la matriz A del
sistema incluida en la ecuación (3.47) los unos están sobre la diagonal y los coeficientes
a1 en la última fila de la matriz. En la figura 3.6 se incluye la representación del
diagrama correspondiente a las ecuaciones (3.47) y (3.48).
Dentro de la línea seguida existe otra forma también bastante usual de definir el
vector de estado. Dividiendo los dos miembros de (3.36) por el operador pnresulta
𝑦+
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛−2
𝑎1
𝑎0
𝑏𝑛−1
𝑏1
𝑏0
𝑦 + 2 𝑦 + … 𝑛−1 𝑦 + 𝑛 𝑦 = 𝑏𝑛 𝑢 +
𝑢 + … 𝑛−1 𝑢 + 𝑛 𝑢
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
14
(3.49)
equivalente a
1
1
1
1
1
𝑦 = 𝑏𝑛 𝑢 + {𝑏𝑛−1 𝑢 − 𝑎𝑛−1 𝑦 + �𝑏𝑛−2 𝑢 − 𝑎𝑛−2 𝑦 + ⟨… + �𝑏1 𝑢 − 𝑎1 𝑦 + (𝑏0 𝑢 − 𝑎0 𝑦)]… ⟩
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
𝑝
(3.50)
Definiendo como variables de estado a las distintas expresiones entre paréntesis
multiplicadas por el factor 1/p, y tomando en primer lugar xn=y-bnu resulta, comenzando
por el final de la ecuación (3.50)
1
𝑥1 =
1
1
[𝑏0 𝑢 − 𝑎0 (𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢)] = [−𝑎0 𝑥𝑛 + (𝑏0 − 𝑏𝑛 𝑎0 )𝑢]
𝑝
𝑝
1
𝑥2 = 𝑝 [𝑏1 𝑢 − 𝑎1 (𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢) + 𝑥1 ] = 𝑝 [𝑥1 − 𝑎1 𝑥𝑛 + (𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎1 )𝑢](3.51)
𝑥3 =
1
1
[𝑏2 𝑢 − 𝑎2 (𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢) + 𝑥2 ] = [𝑥2 − 𝑎2 𝑥𝑛 + (𝑏2 − 𝑏𝑛 𝑎2 )𝑢]
𝑝
𝑝
𝑥𝑛 =
1
1
[𝑏𝑛−1 𝑢 − 𝑎𝑛−1 (𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢) + 𝑥𝑛−1 ] = [𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 )𝑢]
𝑝
𝑝
………………………………………………………………………………………
Multiplicando por el operador 𝑝, resulta finalmente
𝑥̇ 1 =
−𝑎0 𝑥𝑛 + (𝑏0 − 𝑏𝑛 𝑎0 )𝑢
𝑥̇ 2 = 𝑥1 − 𝑎1 𝑥𝑛 + (𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎1 )𝑢
𝑥̇ 3 = 𝑥2 − 𝑎2 𝑥𝑛 + (𝑏2 − 𝑏𝑛 𝑎2 )𝑢(3.52)
………………………………………
𝑥̇ 𝑛 = 𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛 + (𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 )𝑢
En forma matricial se tendría como ecuación de estado
0
⎡
1
⎢
𝑥̇ (𝑡) = ⎢0
⎢⋮
⎣0
La ecuación de salida será
0
0
1
⋮
0
…
1
−𝑎0
𝑏0 − 𝑏𝑛 𝑎0
⎤
⎡
⎤
𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎1
−𝑎1
⎥
⎢
⎥
⋮ ⎥ 𝑥(𝑡) + ⎢
⎥ 𝑢(𝑡)(3.53)
⋮ ⎥
⎢
⎥
⎣𝑏𝑛−1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛−1 ⎦
−𝑎𝑛−1 ⎦
15
𝑦 = 𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢𝑦(𝑡) = [0 0
… 1]𝑥𝑛 + 𝑏𝑛 𝑢(𝑡)(3.54)
Las ecuaciones (3.53) y (3.54) constituyen una nueva forma de las ecuaciones de estado
conocida como forma canónica normal. Estas ecuaciones se simplifican un poco cuando
sucede que bn=0. Así ocurre en la mayor parte de los sistemas reales; ya que ellos, como
es sabido, el grado de numerador de su función de transferencia es casi siempre inferior
al del denominador, por tratarse de sistemas físicamente realizables.
En la figura 3.7 se representa el diagrama de bloques correspondiente a las
ecuaciones (3.53) y (3.54), o su equivalente (3.50), consideradas las relaciones (3.51) y
(3.52).
3.2. Forma canónica de Jordan
Otra forma de representación de las ecuaciones de estado de un sistema, bastante
sencilla y útil, puede obtenerse poniendo la ecuación diferencial general del sistema,
expresada por (3.29), en la forma
𝑦=
𝑏𝑛 𝑝𝑛 +𝑏𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯𝑏1 𝑝+𝑏0
𝑝𝑛 +𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯𝑎1 𝑝+𝑎0
Suponiendo, inicialmente, que las raíces 𝜆𝑖 del polinomio característico
𝑁(𝑝)
𝑢 = 𝐷(𝑝) 𝑢(3.55)
𝐷(𝑝) = 𝑝𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑝 + 𝑎0 (3.56)
son todas diferentes y conocidas, se tendrá que
𝐷(𝑝) = (𝑝 − 𝜆1 )(𝑝 − 𝜆2 ) … (𝑝 − 𝜆𝑛−1 )(𝑝 − 𝜆𝑛 )
La expresión (3.55) puede desarrollarse ahora en fracciones simples con lo que quedaría
en la forma
16
𝑟
siendo
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
1
2
𝑛−1
𝑛
𝑖
𝑦 = �𝑟0 + 𝑝−𝜆
+ 𝑝−𝜆
+ ⋯ 𝑝−𝜆
+ 𝑝−𝜆
� 𝑢 = (𝑟0 + ∑𝑛𝑖=1 𝑝−𝜆
) 𝑢(3.57)
1
2
𝑛−1
𝑛
𝑁(𝑝)
𝑁(𝑝)
𝑖
𝑟0 = lim𝑝→∞ 𝐷(𝑝) 𝑟𝑖 = (𝑝 − 𝜆𝑖 ) 𝐷(𝑝)�
𝑝=𝜆𝑖
(3.58)
El coeficiente r0 será diferente de cero, únicamente cuando 𝑁(𝑝) y 𝐷(𝑝) sean del mismo
grado; ya que el grado del polinomio del denominador, es sabido que ha de ser igual o
mayor que el del polinomio del numerador. En la figura (3.8) se muestra el diagrama
correspondiente a la ecuación (3.57)
Definiendo como variables de estado de Jordan
1
resultan las siguientes ecuaciones de estado
𝑥𝑖 = 𝑝−𝜆 𝑢𝑖 = 1, 2, … 𝑛(3.59)
𝑖
17
𝑥̇ 1 = 𝜆1 𝑥1 + 𝑢
𝑥̇ 2 = 𝜆2 𝑥2 + 𝑢
⋮
(3.60)
𝑥̇ 𝑛−1 = 𝜆𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑢
𝑥̇ 𝑛 = 𝜆𝑛 𝑥𝑛 + 𝑢
Como se observará, el grupo de ecuaciones de estado obtenido es especialmente
sencillo. En cada ecuación no interviene más que una sola variable; o sea, el sistema de
ecuaciones diferenciales está desacoplado, lo que no sucedía en las formas normales
halladas anteriormente. Un sistema de ecuaciones desacoplado tiene la ventaja, con
respecto a otras representaciones, de que cada ecuación diferencial pude ser resuelta de
forma aislada sin tener en cuenta las restantes ecuaciones. Este tipo de representación,
con variables de Jordan, suele ser la más adecuada cuando se pretende realizar estudios
teóricos.
Como expresión para la variable de salida resulta, de (3.57)
𝑦 = 𝑟1 𝑥1 + 𝑟2 𝑥2 + … + 𝑟𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑟𝑛 𝑥𝑛 + 𝑟0 𝑢(3.61)
Las ecuaciones de estado del sistema, expresadas en forma matricial, serán
𝜆1
⎡0
⎢
𝑥̇ (𝑡) = ⎢ 0
⎢⋮
⎣0
0
𝜆2
0
⋮
0
0
0
𝜆3
⋮
0
…
…
…
…
0
1
⎡1⎤
0⎤
⎥
0 ⎥ 𝑥(𝑡) + ⎢⎢1⎥⎥ 𝑢(𝑡)(3.62)
⎢⋮⎥
⋮⎥
⎣1⎦
𝜆𝑛 ⎦
𝑦(𝑡) = [𝑟1 𝑟2 𝑟3 ⋯ 𝑟𝑛−1 𝑟𝑛 ]𝑥(𝑡) + 𝑟0 𝑢(3.63)
El hecho de que el sistema resulte desacoplado queda reflejado en la ecuación (3.62) por
la circunstancia de que la matriz cuadrada que multiplica a 𝑥(𝑡) resulta una matriz
diagonal.
Hasta ahora se ha supuesto que las raíces del polinomio característico eran todas
diferentes; veamos seguidamente el caso en que dicho polinomio tenga una raíz de
multiplicidad k, siendo las restantes todas diferentes. En tal circunstancia
𝐷(𝑝) = (𝑝 − 𝜆1 )𝑘 (𝑝 − 𝜆2 )(𝑝 − 𝜆3 ) … (𝑝 − 𝜆𝑛−𝑘 )(𝑝 − 𝜆𝑛−𝑘+1 )(3.64)
resultando para el desarrollo en fracciones simples
𝑟
siendo
𝑟0 = lim𝑝→∞
𝑟
𝑟
𝑟
11
1𝑘
𝑛−𝑘+1 𝑖
𝑦 = �(𝑝−𝜆
+ (𝑝−𝜆12)𝑘−1 + ⋯ + (𝑝−𝜆
+ ∑𝑖=2
+ 𝑟0 � 𝑢(3.65)
)𝑘
)
𝑝−𝜆
𝑁(𝑝)
𝐷(𝑝)
1
1
𝑑𝑗−1
1
𝑟𝑖𝑗 = (𝑗−1)! 𝑑𝑝𝑗−1 �(𝑝 − 𝜆1 )𝑘
𝑁(𝑝)
�
𝑟
𝐷(𝑝) 𝑝=𝜆 𝑖
1
1
= (𝑝 − 𝜆𝑖 )
𝑖
𝑁(𝑝)
� (3.66)
𝐷(𝑝) 𝑝
En la figura 3.9 se muestra el diagrama correspondiente a la ecuación (3.65)
18
De forma semejante a como se hizo en el caso anterior, se definen como
variables de estado
1
𝑥1 = (𝑝−𝜆
1
)𝑘
1
𝑢
𝑥𝑘+1 = 𝑝−𝜆 𝑢
2
1
𝑥2 = (𝑝−𝜆
1
1
)𝑘−1
𝑥𝑘+2 = 𝑝−𝜆 𝑢
3
𝑢
…
…
1
𝑥𝑘 = (𝑝−𝜆
𝑢
1)
𝑥𝑛 = (𝑝−𝜆
1
𝑛−𝑘+1
𝑢
)
(3.67)
Para obtener las ecuaciones de estado no puede procederse como en el caso anterior,
pues resultarían ecuaciones diferenciales de orden superior al primero. Por el contrario,
poniendo las relaciones dadas en (3.67) para la raíz múltiple en la forma
1
𝑥1 = (𝑝−𝜆
1
1 ) (𝑝−𝜆1
)𝑘−1
Resultan las ecuaciones de estado
1
1
1
𝑢 = (𝑝−𝜆 ) 𝑥2 ; 𝑥2 = 𝑝−𝜆 𝑥3 ; …;𝑥𝑘−1 = 𝑝−𝜆 𝑥𝑘 (3.68)
1
1
1
19
𝑥̇ 1 = 𝜆1 𝑥1 + 𝑥2
𝑥̇ 2 = 𝜆1 𝑥2 + 𝑥3
𝑥̇ 3 = 𝜆1 𝑥3 + 𝑥4
⋮
𝑥̇ 𝑘 = 𝜆1 𝑥𝑘 + 𝑢
𝑥̇ 𝑘+1 = 𝜆2 𝑥𝑘+1 + 𝑢
⋮
𝑥̇ 𝑛 = 𝜆𝑛−𝑘+1 𝑥𝑛 + 𝑢
Como se observará, en este caso el sistema no resulta desacoplado. El acoplamiento, sin
embargo, es muy sencillo puesto que en la k-ésima ecuación sólo aparece el estado𝑥𝑘 ,
en la ecuación 𝑘 + 1 sólo el 𝑥𝑘+1, y así sucesivamente hasta 𝑛. El sistema de ecuaciones
puede resolverse, con facilidad, actuando en forma recurrente a partir de la k-ésima
ecuación; de ésta se obtendrá 𝑥𝑘 que sustituida en la ecuación 𝑘 − 1 permite hallar
𝑥𝑘−1 , y así sucesivamente hasta 𝑥1 .
Como expresión para la variable de salida resulta:
𝑦 = 𝑟11 𝑥1 + … + 𝑟1𝑘 𝑥𝑘 + 𝑟2 𝑥𝑘+1 + … 𝑟𝑛−𝑘+1 𝑥𝑛 + 𝑟0 𝑢(3.70)
Las ecuaciones de estado del sistema expresadas en forma matricial serán
𝜆1
𝑥̇ 1
⎡𝑥̇ ⎤ ⎡ 0
⎢ 2⎥ ⎢
⋮
⎢ ⎥ ⎢⋮
⎢ ⋮ ⎥ ⎢0
⎢ ⋮ ⎥ = ⎢0
⎢
⎢𝑥̇ 𝑘 ⎥ ⎢
⎢⋮⎥ ⎢
⎢⋮⎥ ⎢
⎢⋮⎥ ⎢
⎣𝑥̇ 𝑛 ⎦ ⎣
1
𝜆1
⋮
0
0
0
1
⋮
0
0
0
…
…
…
…
0
0
⋮
1
𝜆1
|
|
|
|
|
�𝜆2
|
|
|
0
𝑥1
0
⎡
⎤ 𝑥2 ⎤ ⎡0⎤
⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋮⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋮⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥
⎥ ⎢𝑥𝑘 ⎥ + ⎢1⎥ 𝑢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢1⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋮⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋮⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢⋮⎥
𝜆𝑛−𝑘+1 ⎦ ⎣𝑥 ⎦ ⎣1⎦
𝑛
𝑦(𝑡) = [𝑟11 𝑟12 … 𝑟1𝑘 𝑟2 … 𝑟𝑛−𝑘+1 ]𝑥(𝑡) + 𝑟0 𝑢
(3.71)
(3.72)
Como se habrá observado, mientras la ecuación de salida no se distingue de la
correspondiente al caso de raíces diferentes del polinomio característico, las matrices de
la ecuación de estado presentan una forma totalmente diferente. La presencia de raíces
múltiples origina la aparición de submatrices, de dimensión igual al grado de
multiplicidad, en la matriz general del sistema. Dichas submatrices tienen como
diagonal la raíz múltiple, siendo los elementos anteriores a éstos en las respectivas
columnas iguales a la unidad. La aparición de esta diagonal superior de unos representa
el acoplamiento existente en el sistema.
Finalmente ha de decirse que las raíces del polinomio característico pueden ser
también complejas conjugadas y que, si se introducen éstas en las relaciones
correspondientes de la forma canónica de Jordan, aparecerán en las ecuaciones de
20
estado coeficientes complejos conjugados; con lo que las variables de estado serán
también complejas conjugadas. Tal hecho no resta, sin embargo, importancia al método
expuesto para obtener las ecuaciones de estado.
4. Sistemas lineales con parámetros variables
Los procedimientos utilizados hasta ahora para obtener las ecuaciones de estado
de sistemas lineales invariantes con el tiempo, pueden ser generalizados para su
aplicación a sistemas lineales con parámetros variables en función del tiempo. Sea un
sistema cuyo comportamiento dinámico viene caracterizado por la ecuación diferencial
(𝑛 − 1)
(𝑛)
(𝑛)
(𝑛 − 1)
+ 𝑎𝑛−1 (𝑡)
+ … 𝑎1 (𝑡)𝑦̇ + 𝑎0 (𝑡)𝑦 = 𝑏𝑛 (𝑡)
+ 𝑏𝑛−1 (𝑡)
+ … + 𝑏1 (𝑡)𝑢̇ + 𝑏0 (𝑡)𝑢
𝑦
𝑦
𝑢
𝑢
(3.73)
Definiendo las variables de estado del sistema en la forma
𝑦 = 𝑥1 + 𝐵0 (𝑡)𝑢
𝑥̇ 1 = 𝑥2 + 𝐵1 (𝑡)𝑢
𝑥̇ 2 = 𝑥3 + 𝐵2 (𝑡)𝑢
(3.74)
−−−−−−−−−
𝑥̇ 𝑛−1 = 𝑥𝑛 + 𝐵𝑛−1 (𝑡)𝑢
𝑥̇ 𝑛 = −𝑎0 (𝑡)𝑥1 − 𝑎1 (𝑡)𝑥2 … − 𝑎𝑛−2 (𝑡)𝑥𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 (𝑡)𝑥𝑛 + 𝐵𝑛 (𝑡)𝑢
Se puede representar la ecuación diferencial original (3.73) por las ecuaciones de estado
y de salida siguientes
0
⎡ 0
⎢
𝑥̇ (𝑡) = ⎢ ⋮
⎢ 0
⎣−𝑎0 (𝑡)
1
0
0
1
⋮
⋮
0
⋮
−𝑎1 (𝑡) −𝑎2 (𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0
…
…
…
0 … 0
𝐵 (𝑡)
⎡ 1
⎤
⎤
(𝑡)
⎢ 𝐵2
⎥
⎥
⎥ 𝑥(𝑡) + ⎢ ⋮ ⎥ 𝑢(𝑡) (3.75)
1
⎥
⎢𝐵𝑛−1 (𝑡)⎥
−𝑎𝑛−1 (𝑡)⎦
⎣ 𝐵𝑛 (𝑡) ⎦
0
0
0]𝑥(𝑡) + 𝐵0 (𝑡)𝑢(𝑡)
(3.76)
Los coeficientes 𝐵𝑖 (𝑡) son función de los coeficientes 𝑎𝑖 (𝑡), 𝑏𝑗 (𝑡) y de sus derivadas
con respecto al tiempo; pueden obtenerse por eliminación sucesiva de las variables e
estado 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 de las ecuaciones (3.74) y luego comparando con la ecuación
original (3.73). Las fórmulas generales que resultan son:
𝐵0 (𝑡) = 𝑏𝑛 (𝑡)
21
𝑖−1 𝑖−𝑘
𝐵𝑖 (𝑡) = 𝑏𝑖 (𝑡) − � �
𝑘=0 𝑗=0
(𝑛 + 𝑗 − 𝑖)!
𝑑 𝑗 𝐵𝑘 (𝑡)
𝑎
(𝑡)
𝑗! (𝑛 − 𝑖)! 𝑖−𝑘−𝑗
𝑑𝑡𝑗
(3.77)
5. Obtención de la función de transferencia a partir de las ecuaciones de estado
La función o matriz de transferencia de un sistema lineal e invariante con el
tiempo, puede obtenerse a partir de las ecuaciones de estado del sistema aplicando la
transformada de Laplace. Así pues, dadas las ecuaciones generales para sistemas
multivariables lineales e invariantes con el tiempo
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)
(3.78)
𝑠𝑋(𝑠) = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)
(3.79)
si se aplica la transformada de Laplace, considerando condiciones iniciales nulas, se
tendrá:
𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)
Agrupando los términos en 𝑋(𝑠) de (3.79) resulta
�𝑠𝐼 − 𝐴�𝑋(𝑠) = 𝐵𝑈(𝑠)
Y premultiplicando por la matriz inversa de �𝑠𝐼 − 𝐴� se obtiene
−1
𝑋(𝑠) = �𝑠𝐼 − 𝐴� 𝐵𝑈(𝑠)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Introduciendo esta expresión en la ecuación de salida (3.80), se llega finalmente a la
ecuación
−1
𝑌(𝑠) = �𝐶�𝑠𝐼 − 𝐴� 𝐵 + 𝐷� 𝑈(𝑠)
(3.83)
El término entre corchetes representará a la matriz 𝐺(𝑠) de funciones de transferencia;
por tanto
−1
𝐺(𝑠) = 𝐶�𝑠𝐼 − 𝐴� 𝐵 + 𝐷
(3.84)
En forma semejante, se obtendría para un sistema con una entrada y una salida
−1
𝐺(𝑠) = 𝑐�𝑠𝐼 − 𝐴� 𝑏 + 𝑑
(3.85)
22
Teniendo en cuenta que la matriz inversa de �𝑠𝐼 − 𝐴� es su matriz adjunta dividida por
el determinante correspondiente, se obtiene que el polinomio característico del sistema
vendrá dado por dicho determinante
𝑃(𝑠) = 𝑑𝑒𝑡�𝑠𝐼 − 𝐴�
(3.86)
Por otra parte, siendo los valores propios de la matriz 𝐴 las soluciones de la ecuación
𝑑𝑒𝑡�𝑠𝐼 − 𝐴�
(3.87)
o sea, de la ecuación característica; resulta que dichos valores propios son los propios
del sistema.
5.1. Algoritmo de Leverrier
−1
La matriz �𝑠𝐼 − 𝐴� , denominada matriz resolvente, como se verá en apartados
posteriores aparece frecuentemente en las técnicas de análisis y diseño de sistemas de
regulación. El cálculo de dicha matriz, que no suele ser fácil, sobre todo para sistemas
de orden elevado, puede realizarse por diversos procedimientos. Uno de los más
conocidos y utilizados es el algoritmo de Leverrier, que permite realizar el cálculo
numérico de la matriz resolvente utilizando el computador.
Dada una matriz 𝐴 de coeficientes constantes y dimensión 𝑛 × 𝑛, con polinomio
característico
det�𝑠𝐼 − 𝐴� = 𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + … 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
(3.88)
la matriz resolvente de 𝐴 se puede expresar en la forma
�𝑠𝐼 − 𝐴�
−1
=
𝑠 𝑛−1 𝐹 1 + 𝑠 𝑛−2 𝐹 2 + 𝑠𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛
𝑠 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
(3.89)
donde𝐹 representa matrices de dimensión 𝑛 × 𝑛 de valor
𝐹 1 = 𝐼𝑎𝑛−1 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹 1 /1
𝐹 2 = 𝐴𝐹 1 + 𝑎𝑛−1 𝐼𝑎𝑛−2 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹 2 /2
------------------------------------------------------------------------- (3.90)
siendo
𝐹𝑛 = 𝐴𝐹𝑛−1 + 𝑎1 𝐼𝑎0 = −𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴𝐹𝑛 /𝑛
𝑛
𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝐴 = � 𝑎𝑖𝑖
𝑖=1
(3.91)
23
Como comprobación del método ha de obtenerse
𝐴𝐹𝑛 + 𝑎0 𝐼 = 0
(3.92)
𝐴𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝐴𝑛−1 + … + 𝑎1 𝐴 + 𝑎0 𝐼 = 0
(3.93)
Sustituyendo en esta ecuación los valores de 𝐹 dados en (3.90) resulta
Es decir que la matriz 𝐴 verifica su propia ecuación característica. Este resultado se
conoce como teorema de Cayley-Hamilton.
6. Transformaciones lineales
Se dice que un operador 𝐴, que transforma un espacio vectorial 𝐸𝑛 en otro 𝑆𝑚 (o
sea, que unívocamente asigna a cada vector 𝑥 situado en 𝐸𝑛 un vector 𝑧 = 𝐴𝑥 situado
en 𝑆𝑚 ) es lineal, cuando para dos vectores cualesquiera 𝑥1 y 𝑥2 , pertenecientes a 𝐸𝑛 , se
verifica que
𝐴�𝑥1 + 𝑥2 � = 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥2
(3.94)
𝐴 𝛼 𝑥1 = 𝛼 𝐴𝑥1
siendo𝛼 un número cualquiera constante
La transformación lineal
𝑧 = 𝐴𝑥
que asigna el conjunto de variables 𝑧1 , 𝑧2 … 𝑧𝑚 al conjunto de variables 𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 ,
puede desarrollarse en la forma
𝑧1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + … 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
𝑧2 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + … 𝑎2𝑛 𝑥𝑛
(3.95)
-------------------------------------------------𝑧𝑚 = 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + … 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
La transformación lineal queda caracterizada por la matriz
𝑎11
𝑎21
𝐴=� ⋮
𝑎𝑚1
𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2
……
……
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ �
𝑎𝑚𝑛
(3.96)
denominada matriz de transformación. Normalmente, en el análisis de sistemas
dinámicos lineales, al vector 𝑥, de dimensión n, se le asigna un vector 𝑧 de la misma
24
dimensión; con lo que las matrices 𝐴 de transformación resultarán cuadradas y de
dimensión 𝑛 × 𝑛.
Como ya se indicó en capítulos anteriores, para un sistema dinámico
determinado el conjunto de variables de estado o vector de estado no es único, sino que
pueden existir diversos conjuntos de variables, definidos en forma diferente, que
caractericen perfectamente el comportamiento del sistema. Las diferentes maneras de
definir un vector de estado, pueden ser contempladas como transformaciones de
coordenadas del sistema. Esta circunstancia queda plenamente justificada si se tiene en
cuenta que la posición de un punto cualquiera, situado en un espacio vectorial
determinado, puede ser representada por las coordenadas del mismo respecto una base y
que, dado que ésta puede variar, igual sucederá con las mencionadas coordenadas.
Referido al espacio de estado, un punto o estado determinado puede representarse por
sus coordenadas respecto a una base elegida, lo que constituirá un primer conjunto de
variables de estado, o por sus coordenadas respecto a otras bases diferentes a la anterior,
lo que daría lugar a otros conjuntos de variables de estado perfectamente válidos, ya que
la posición del punto permanece fija en el espacio de estado, con independencia del
sistema de coordenadas utilizado.
En consecuencia y dado que el cambio de coordenadas de una base a otra
significa una aplicación lineal, que viene determinada por una matriz de transformación
no singular, representada por 𝑇, si 𝑥 constituye un vector de estado y se verifica que
𝑥 = 𝑇𝑥�𝑥� = 𝑇 −1 𝑥
(3.97)
el vector 𝑥� será también un vector de estado. Al tomar 𝑥� como nuevo vector de estado,
las ecuaciones de estado y de salida del sistema, evidentemente, serán diferentes. Así, si
el sistema viene inicialmente definido por las ecuaciones
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
𝑦̇ (𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)
(3.98)
(3.99)
para obtener sus ecuaciones de estado referidas al vector de estado 𝑥�, bastará con
sustituir (3.97) en (3.98) y (3.99), con lo que resulta
𝑇𝑥�(𝑡) = 𝐴𝑇𝑥�(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
(3.100)
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑇𝑥�(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)
(3.101)
Multiplicando por la izquierda (3.100) por la matriz inversa de 𝑇, se tendrá
𝑥�(𝑡) = 𝑇 −1 𝐴𝑇𝑥�(𝑡) + 𝑇 −1 𝐵𝑢(𝑡)
(3.102)
Las nuevas ecuaciones del sistema, referidas al vector de estado 𝑥�, serán:
(3.103)
𝑥�(𝑡) = 𝐴̃𝑥�(𝑡) + 𝐵� 𝑢(𝑡)
25
donde
� 𝑢(𝑡)
𝑦�(𝑡) = 𝐶̃ 𝑥�(𝑡) + 𝐷
�= 𝐷
𝐶̃ = 𝐶𝑇𝐷
(3.104)
𝐴̃ = 𝑇 −1 𝐴𝑇𝐵� = 𝑇 −1 𝐵(3.105)
Propiedad importante de este tipo de transformaciones es que, los valores propios de las
matrices 𝐴 y 𝐴̃ son los mismos. Para demostrarlo, bastará con probar que los polinomios
característicos de ambas matrices son idénticos. Efectivamente, el polinomio
característico de 𝐴 es det(𝜆 𝐼 − 𝐴) y el de 𝐴̃ será
det�𝜆 𝐼 − 𝐴̃� = det�𝜆 𝐼 − 𝑇 −1 𝐴𝑇� = det�𝜆𝑇 −1 𝑇 − 𝑇 −1 𝐴𝑇� = det[ 𝑇 −1 �𝜆 𝐼 − 𝐴�𝑇 ]
y teniendo en cuenta que el determinante de un producto es el producto de los
determinantes, resulta
det�𝑇 −1 �𝜆 𝐼 − 𝐴�𝑇 � = det�𝑇 −1 � det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� det�𝑇�
= det�𝑇 −1 𝑇� det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� = det�𝜆 𝐼 − 𝐴�(3.106)
Una aplicación muy interesante, de la transformación lineal es la conversión de la
ecuación de estado de un sistema en otra expresada en la forma canónica de Jordan.
Entre las diferentes formas que puede representar la ecuación de estado de un
sistema lineal e invariante con el tiempo, la forma canónica de Jordan es una de las más
sencillas; ya que en ella la matriz del sistema es diagonal. Debido a tal circunstancia, las
operaciones con dicha matriz resultan muy sencillas y además las ecuaciones
diferenciales correspondientes están desacopladas; lo que permite resolverlas
aisladamente y de forma sucesiva.
Sin embargo, las variables de estado que se utilizan en la forma canónica de
Jordan suelen ser, frecuentemente, expresiones de tipo matemático, que no aparecen
como tales magnitudes en el sistema real, o que cuando menos no resultan accesibles.
Por el contrario, aquellas magnitudes que pueden ser medidas, suelen conducir a tipos
de ecuaciones que no presentan la forma canónica de Jordan. Utilizando una
transformación lineal del tipo anteriormente descrito, puede conseguirse simultanear las
ventajas de ambas concepciones; bastará con transformar el vector de estado medible 𝑥
en el vector 𝑥�, correspondiente a la forma canónica de Jordan. En el caso, bastante
frecuente, de que la matriz 𝐴 del sistema tenga valores propios 𝜆1 , 𝜆2 , … 𝜆𝑛 diferentes, la
matriz𝐴de la forma canónica de Jordan resultante será diagonal; en el caso de valores
propios repetidos, presenta otras características específicas que pueden encontrarse en la
literatura apropiada.
En el caso de un sistema representado por las ecuaciones
26
𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡)
(3.107)
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)
cuya matriz 𝐴 tenga todos sus valores propios diferentes, se puede calcular, de una
manera sencilla, la matriz de transformación 𝑇 que lleve al sistema a la forma canónica
de Jordan; donde la nueva matriz 𝐴̃ tendrá la forma
𝜆1
⎡
0
⎢
−1
̃
𝐴 = 𝑇 𝐴𝑇 = ⎢ 0
⎢⋮
⎣0
0
𝜆2
0
⋮
0
0
0
𝜆3
⋮
0
…
…
…
0
0⎤
⎥
0⎥=Λ
⋮⎥
𝜆𝑛 ⎦
(3.108)
La matriz de transformación 𝑇 se puede calcular considerando que si 𝑣𝑖 es el vector
propio correspondiente al valor propio 𝜆𝑖 , se tiene
𝐴𝑣1 = 𝜆1 𝑣1
------------------------
𝐴𝑣2 = 𝜆2 𝑣2
(3.109)
𝐴𝑣𝑛 = 𝜆𝑛 𝑣𝑛
Llamando 𝑇 a la matriz cuyas columnas sean los vectores propios
𝑇 = [𝑣1 , 𝑣2 , … 𝑣𝑛 ]
(3.110)
el conjunto de igualdades (3.109) se puede expresar en forma matricial como
𝐴𝑇 = 𝑇Λ
(3.111)
Multiplicando por la izquierda a esta igualdad por 𝑇 −1 , se obtiene la expresión (3.108).
Es importante destacar que, con esta transformación 𝑇, las nuevas matrices
𝐵� = 𝑇 −1 𝐵𝐶̃ = 𝐶𝑇
(3.112)
tomarán valores arbitrarios, a diferencia de las expresiones (3.62) y (3.63) obtenidas a
partir de la ecuación diferencial de sistemas monovariables.
Por otra parte, como los valores propios 𝜆𝑖 pueden ser complejos, (por ejemplo
en sistemas subamortiguados) los vectores propios correspondientes 𝑣𝑖 podrán ser
complejos y por ello tanto la matriz del sistema𝐴, como las matrices 𝐵 y 𝐶 podrán ser
igualmente de coeficientes complejos.
Veamos seguidamente un ejemplo. Sea el sistema representado en la figura 3.10,
en el cual puede considerarse que cada bloque representa un aparato real y que tanto la
27
señal de salida como los valores intermedios 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 puede medirse. Igualmente puede
suponerse que se desean obtener las ecuaciones de estado y de salida del sistema, en la
forma canónica de Jordan, para introducirlas en un computador y actuar sobre el
sistema.
Tomando como variables de estado 𝑥1 , 𝑥2 y 𝑥3 , se tendrían las siguientes
ecuaciones para el sistema.
𝑥̇ 1 = 𝑥2
𝑥̇ 2 = −𝑥2 + 𝑥3
𝑥̇ 3 = −2𝑥3 + 𝑢
(3.113)
𝑦 = 𝑥1
o expresadas en forma matricial
0
𝑥̇ (𝑡) = �0
0
1 0
0
�
𝑥(𝑡)
+
�
−1 1
0� 𝑢(𝑡)
0 2
1
𝑦(𝑡) = [1
(3.114)
0 0]𝑥(𝑡)
Los valores propios de la matriz 𝐴 se obtienen de la relación
resultando
𝜆
det� 𝜆 𝐼 − 𝐴� = �0
0
𝜆 (𝜆 + 1)(𝜆 + 2) = 0
Los vectores propios
𝑣𝑖1
𝑣𝑖 = �𝑣𝑖2 �
𝑣𝑖3
−1
𝜆+1
0
0
−1 � = 0
𝜆+2
𝜆1 = 0
𝜆2 = −1
(3.115)
𝜆3 = −2
𝑖 = 1,2,3
se obtienen de la ecuación vectorial (3.109), a la que corresponde la expresión
28
𝑣𝑖1
0 1 0 𝑣𝑖1
0
�0 −1 1� �𝑣𝑖2 � − 𝜆𝑖 �𝑣𝑖2 � = �0�
𝑣𝑖3
0 0 2 𝑣𝑖3
0
(3.116)
De ella resultan las siguientes ecuaciones
𝑣𝑖2 − 𝜆𝑖 𝑣𝑖1 = 0
− 𝑣𝑖2 + 𝑣𝑖3 − 𝜆𝑖 𝑣𝑖2 = 0
que desarrolladas para 𝑖 = 1, 2,3, dan
𝜆1 = 0
𝜆2 = −1 ∶
∶
𝑣23 = 0
𝑣11 = 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎
𝜆3 = −2
∶
𝑣22 = −𝑣32
− 2𝑣𝑖3 − 𝜆𝑖 𝑣𝑖3 = 0
𝑣12 = 0
(3.117)
𝑣13 = 0
(3.118)
𝑣33 = −𝑣32 𝑣32 = −2𝑣31
Tomando, por ejemplo, los valores arbitrarios
resulta
𝑣11 = 1
𝑣21 = 1
1
1
𝑇 = �𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 � = �0 −1
0
0
𝑣31 = 1
(3.119)
1
1 1/2
1
−1
−2� 𝑇 = �0 −1 −1�
0
0 1/2
2
(3.120)
Para las matrices de las ecuaciones de estado transformadas resulta
1/2
𝐵� = 𝑇 −1 𝐵 = � −1 � 𝐶̃ = 𝐶𝑇 = [1
1/2
1 1]
(3.121)
Finalmente, como ecuaciones canónicas de Jordan se tendrán las siguientes:
0
̇𝑥�(𝑡) = �0
0
1
0
0
2
−1
0� 𝑥�(𝑡) + �−1� 𝑢(𝑡)
1
0 −2
𝑦�(𝑡) = [1
2
1 1]𝑥�(𝑡)
(3.122)