Funciones crecientes y decrecientes. Máximos y mínimos Módulo 4 Cálculo 1 2023-1 Videoconferencia 05 Temario Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo. Puntos críticos, extremos relativos y absolutos. Cálculo de máximos y mínimos locales de una función. Criterio de la primera derivada. Motivación Distribución de productos Para distribuir sus productos de belleza, una empresa necesita elaborar cajas rectangulares menos costosas de 1000 𝑐𝑚3 cuyo largo es tres veces el ancho. Si el material para la parte inferior cuesta S/. 0.7 por 𝑐𝑚2 , los lados cuestan S/. 0.5 por 𝑐𝑚2 y la parte superior cuesta S/. 0.2 por 𝑐𝑚2 . Determinar las dimensiones de la caja. Adaptado de http://www.opentextbookstore.com/calc/3_5.pdf Saberes previos La función decrece en el intervalo de <-2;2> V F La derivada de la función solo es positiva en el intervalo de <2;+ ∞> V F El punto más bajo de la gráfica es para x=2 V F Para x=-2; x=2, la pendiente de la recta tangente es cero. V F Logro de aprendizaje Al finalizar la sesión el estudiante encuentra los máximos y mínimos relativos de una función, determinando sus puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento, haciendo correcto uso del criterio de la primera derivada de una función. Fuente: Freepik Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo Función creciente Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo. Se dice que f es creciente sobre el intervalo si: x1 < x2 entonces f (x1 ) < f (x2 ) y y = f(x) crece f (x2) f (x1) X1 crece X2 x Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo Función decreciente Sea f una función definida sobre un intervalo y sean x1 y x2 dos puntos de este intervalo. Se dice que f es decreciente sobre el intervalo si: x1 < x2 entonces f (x1 ) > f (x2 ) y f (x1) y = f(x) decrece f (x2) x X1 crece X2 Funciones crecientes y decrecientes en un intervalo Teorema 1: Sea la función 𝑦 = 𝑓 (𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y diferenciable en 𝑎; 𝑏 . a) Si 𝒇’(𝒙) < 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es decreciente en 𝑎; 𝑏 b) Si 𝒇’(𝒙) = 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es constante en 𝑎; 𝑏 c) Si 𝒇’(𝒙) > 𝟎, para todo x[a, b] entonces 𝒇 es creciente en 𝑎; 𝑏 constante f'(x) < 0 f'(x) =0 f'(x) > 0 Puntos críticos, extremos relativos y absolutos Valor máximo relativo La función 𝑓 tiene un máximo relativo en 𝑥1 , si existe un intervalo abierto 𝐼, donde 𝑥1 está contenido y 𝑓 definida, tal que se cumple 𝒇 𝒙𝟏 ≥ 𝒇 𝒙 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. Valor mínimo relativo La función 𝑓 tiene un mínimo relativo en 𝑥0 , si existe un intervalo abierto 𝐼, donde 𝑥0 está contenido y 𝑓 definida, tal que se cumple 𝒇 𝒙𝟎 ≤ 𝒇 𝒙 , ∀𝑥 ∈ 𝐼. Extremos relativos y absolutos Para hallar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua 𝑓 sobre un intervalo cerrado [𝑎; 𝑏]: 1. Reemplace los números críticos en la función f. 2. Reemplace los extremos del intervalo en la función 𝑓. 3. El valor más grande de los obtenidos en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el mas pequeño es el valor mínimo absoluto. Máximo global: El mayor de todos los máximos en todo el dominio de la función. Mínimo global: El menor de todos los mínimos en todo el dominio de la función. Puntos críticos de una función Sea 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), 𝑥0 es un número crítico de 𝑓, si 𝑓′(𝑥0 ) = 0 o 𝑓′(𝑥0 ) no existe Al par ordenado (𝑥0 ; 𝑓 𝑥0 ), donde 𝑥0 es un número crítico, se le denomina punto crítico de una función 𝑓. Puntos críticos de una función Ejemplo 1: Encuentre los puntos críticos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 Puntos críticos de una función Ejemplo 2: Halle los puntos críticos de la función 𝑔(𝑥) = 3𝑥 2 𝑥 − 5 1/3 Puntos críticos de una función Criterio de la primera derivada Sea c un punto crítico de una función f definida en un intervalo abierto < a, b> que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, entonces f (c) puede clasificarse así: Si f’(c) cambia de signo de negativo a positivo al pasar por un punto crítico entonces f(c) es un mínimo relativo. (-) (+) Si f’(c) cambia de signo de positivo a negativo al pasar por un punto crítico entonces f(c) es un máximo relativo. f ' (b) 0 f ' (a) 0 a (+) (-) (+) f ' (a) 0 Si f ‘(c) no cambia de signo al pasar por un punto crítico, entonces f(c) no es máximo ni mínimo relativo. b mínimo relativo f ' (b) 0 f ' (a) 0 f ' (b) 0 c (+) a c máximo relativo b a c b Ni máximo ni mínimo Criterio de la primera derivada f ´(d) A partir del gráfico responda: y ❑ ¿Cuáles son los puntos críticos? ❑ ¿En qué punto no existe derivada? ❑ ¿En qué punto no hay extremos relativos? f ´> 0 f ´(b) = 0 f ´< 0 f ´< 0 f ´< 0 f ´> 0 f ´(e) = 0 f ´(c) = 0 f ´(a) = 0 f ´> 0 ❑ Indique los máximos y mínimos relativos f ´< 0 a b c d g x e f ´(g) = 0 Criterio de la primera derivada Ejemplo 3: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 −2 utilizando el criterio de la primera derivada. Solución: Derivando, simplificando y factorizando: f´(x) = 2 ( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1) x3 Hallando los números críticos Hacemos: 𝒇′(𝒙) = 𝟎 Se tiene: 𝑥 = 1, 0; pero 0 no está en el dominio de f ; x0 Criterio de la primera derivada Criterio de la primera derivada - x -1 -1 x 0 0x1 1x Valor prueba x =-2 x = -1/2 x = 1/2 x=2 Signo de f ´(x) f ´(-2) 0 f ´(-1/2) 0 f ´(1/2) 0 f ´(2)0 Intervalo Conclusión f´(x) = decreciente 2 ( x 2 + 1) ( x − 1)( x + 1) x3 ; creciente decreciente x0 Mínimo relativo - 2 -1 Mínimo relativo 0 1 + creciente Criterio de la primera derivada Ejemplo 4: Determine los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función en base a su representación gráfica. Criterio de la primera derivada Ejemplo 5: Determine los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función en base a su representación gráfica. Criterio de la primera derivada Criterio de la primera derivada Ejemplo 6: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función utilizando el criterio de la primera derivada. 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 Criterio de la primera derivada Ejemplo 7: Determinar los extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 2/3 utilizando el criterio de la primera derivada. Solución a la Motivación Distribución de productos Para distribuir sus productos de belleza, una empresa necesita elaborar cajas rectangulares menos costosas de 1000 𝑐𝑚3 cuyo largo es tres veces el ancho. Si el material para la parte inferior cuesta S/. 0.7 por 𝑐𝑚2 , los lados cuestan S/. 0.5 por 𝑐𝑚2 y la parte superior cuesta S/. 0.2 por 𝑐𝑚2 . Determinar las dimensiones de la caja. Adaptado de http://www.opentextbookstore.com/calc/3_5.pdf Solución a la Motivación Consideremos las dimensiones de la caja 𝑥: ancho y: largo z: alto 𝑧 Nuestra función Costo sería: 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑥 𝑦 𝐶 = 0.7(á𝑟𝑒𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) + 0.5 𝑠𝑢𝑚𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 + 0.2(á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) 𝐶 = 0.7𝑥𝑦 + 0.5 2𝑦𝑧 + 2𝑥𝑧 + 0.2𝑥𝑦 Además, el volumen es de: 𝑥𝑦𝑧 = 1000 𝐶 = 0.9𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 Recuerden que el largo es tres veces el ancho: 𝑦 = 3𝑥 𝑥(3𝑥)𝑧 = 1000 𝑧 = 1000/3𝑥 2 𝐶 = 0.9𝑥(3𝑥) + (3𝑥)𝑧 + 𝑥𝑧 𝐶= 2.7𝑥 2 + 4𝑥𝑧 1000 𝑐𝑚3 Reemplazamos en la función costo y reducimos: 𝐶= 2.7𝑥 2 4000 + 3𝑥 Solución a la Motivación Derivamos la función costo: 𝐶 ′ 𝑥 = 5.4𝑥 − 4000 3𝑥 2 Que se define en todas partes excepto x = 0 (lo que produce una caja de volumen 0). Determinamos el punto critico igualando a cero la derivada y despejando el valor de x 3 𝑥= 4000 ≈ 6.27 16.2 Observamos que la función a la izquierda del punto critico es decreciente y a la derecha es creciente, por tanto existe un valor mínimo relativo (El costo es mínimo). Por tanto, las dimensiones de la caja serán: Ancho: 𝑥 = 6.27 𝑐𝑚 𝑧 𝑦 𝑥 Largo: 𝑦 = 3 6.27 = 18.81 𝑐𝑚 Alto: 𝑧 = 3 1000 6.27 2 = 8.48 𝑐𝑚 Conclusiones 1. Dada la función continua en el intervalo 𝐼 = 𝑎; 𝑏 y diferenciable en el intervalo abierto 𝑎; 𝑏 . Si 𝑓 ′ 𝑥0 > 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es creciente en 𝐼. Si 𝑓 ′ 𝑥0 < 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es decreciente en 𝐼. Si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 para 𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 , entonces 𝑓 es constante en 𝐼. Fuente: https://respuestas.tips/wpcontent/uploads/2018/12/5-7.jpg 2. Sea 𝑥0 en el dominio de 𝑓, si 𝑓 ′ 𝑥0 = 0 o 𝑓 ′ 𝑥0 no existe, entonces 𝑥0 es un número crítico de 𝑓. 3. Sea 𝑥0 un número crítico de 𝑓, que es continua en el intervalo abierto 𝐼, tal que 𝑥0 ∈ 𝐼, si 𝑓 es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en 𝑥0 , entonces: Si el signo de la derivada de 𝑓, cambia de negativa a positiva en 𝑥0 , entonces 𝑓 tiene un mínimo relativo en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )). Si el signo de la derivada de 𝑓, cambia de positiva a negativa en 𝑥0 , entonces 𝑓 tiene un máximo relativo en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )). Si el signo de la derivada de 𝑓, no cambia en ambos lados de 𝑥0 , entonces 𝑓 no tiene extremos relativos en (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )). Logro de aprendizaje Al finalizar la sesión el estudiante encuentra los máximos y mínimos relativos de una función, determinando sus puntos críticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento, haciendo correcto uso del criterio de la primera derivada de una función. Fuente: Freepik Referencias bibliográficas 1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University Press. 2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC. 3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. 4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (Vol. Séptima Edición). Mexico DF: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. Fuente: https://ulcerasfora.sergas.gal/Informacion/PublishingImages/190/Bibliograf%C3%ADa.png Consultas Realice consultas a través del chat o solicita al docente activar el micrófono para participar. También podrás enviar sus consultas por el Balckboard a través de Preguntas al docente o Mensajes y te responderé en 24 horas. GRACIAS