TEORIA RESUMEN Elementos de Análisis Matemático

Conjuntos numéricos. Números Reales.Intervalos
Unidad 1. Funciones Reales Números reales. Intervalos. Valor absoluto. Nociones generales de
función. Clasificación. Función inversa. Composición.
Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales
x, a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor de x.
Notación Simbólica para nuestra definición: f : X  Y será función de X en Y si la ley o regla asigna
a los elementos de X ,elementos de Y debiendo cumplirse lo siguiente:
El conjunto X de los números reales indicado anteriormente es el dominio de la función y el
conjunto Y es el codominio de la función.
El conjunto de los valores de y asignados a los de x determinan la imagen de la función.
Función real:
Una función f de un conjunto A  R en otro B  R es una correspondencia que asigna a cada
elemento x de A un y sólo un elemento y de B.
Se denota f: AB
X se denomina variable independiente e y variable dependiente
Dominio de una función:
El dominio de f es el conjunto A. Se denota Dom f = A
Si el dominio está implícito, hay que determinar el mayor conjunto de los números reales para los
que está definida la ecuación (dominio natural).
Codominio de una función:
Sea f : AB. El codominio de f es B y se escribe Codom f = B
Observación: Si el codominio es implícito entonces es R.
Imagen de una función:
Im f = {yB; xA / f (x) = y}
Observación: Im f  Codom f
Ceros o raíces de una función
Los ceros o raíces de una función son los valores de x que anulan a la función x  a es cero de la
función f (x) si y solo si f (a)  0 Para calcular las raíces de una función se iguala a cero la función, f
(x)  0 y se resuelve la ecuación resultante para x.
El conjunto de las raíces o ceros de una función se indica: C0.
Si las raíces de una función son números complejos, la curva de la función no corta al eje de
abscisas.
Conjunto de ceros o raíces (intersección con el eje de abcisas x): C° = {xDom f / f(x) = 0}
Intersección de la curva de una función con el eje de ordenadas
Para hallar la intersección de la curva de una función con el eje de ordenadas se asigna a la
variable x el valor cero y se obtiene el valor de y  f (0).
Conjunto de positividad y negatividad
El conjunto de positividad es el subconjunto del dominio de una función cuyas imágenes son
números positivos. Se indica: C+.
C + = {x ϵ R/ f(x) >0}.
El conjunto de negatividad es el subconjunto del dominio de una función cuyas imágenes son
números negativos. Se indica: CC - = {x ϵ R/ f(x) < 0 }
Conjunto de positividad: C+ = {xDom f / f(x) > 0}
Conjunto de negatividad: C- = {xDom f / f(x) < 0}
Ordenada al origen (intersección con el eje de ordenadas y): Si 0Dom f y = f(0)
Valor Máximo: Si 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) para cualquier valor 𝑥 del dominio de la función,
decimos que el valor 𝑓(𝑎) es el máximo función y dicho máximo se alcanza en la abscisa 𝑎.
Valor Mínimo: Si 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 y 𝑓(𝑏) ≤ 𝑓(𝑥) para cualquier valor 𝑥 del dominio de la función, decimos
que el valor 𝑓(𝑏) es el mínimo de la función y dicho mínimo se alcanza en la abscisa 𝑏.
Funciones Crecientes y decrecientes
Función acotada
Una función f (x) es acotada superiormente si y solo si existe un valor M real tal que los valores
que toma la función sean menores o iguales que M.
f (x) es acotada superiormente   M / f (x)  M.
Una función f (x) es acotada inferiormente si y solo si existe un valor N real tal que los valores que
toma la función sean mayores o iguales que N.
f (x) es acotada inferiormente   N / f (x)  N.
Una función es acotada si es acotada superiormente e inferiormente.
FUNCIONES ECONOMICAS
Función demanda: indica la cantidad de un bien que será requerida por uno o más consumidores.
En los mercados de competencia perfecta:
D = f(p) donde p: precio (v. independiente)
Función oferta: indica la cantidad que ofrece el mercado para cada precio.
Of = f(p)
Equilibrio: ocurre cuando la cantidad ofrecida coincide con la demandada.
D = Of
Función costo: siendo x la cantidad producida:
Costo Total = Costo Fijo + Costo Variable
CT = f(x)
Costo medio: CM = CT(x)/X
(costo unitario)
Función ingreso: el ingreso total es el producto entre la cantidad vendida y el precio unitario.
Ingreso T (x, p) = x. p = x. f(x) donde x es la cantidad demandada.
Ingreso medio: Ingreso M = x. f (x) /x = f(x) (función demanda)
Función Beneficio: B(x) = Ingreso T(x). CT(x)
Beneficio medio: beneficio obtenido por unidad de producto vendido: BM = B(x)/x
Operaciones con funciones: Sean f (x) y g(x). Entonces:
•
Suma: (f +g)(x) = f (x) + g(x)
Dom (f +g) = Dom f Dom g
•
Producto: (f.g)(x) = f (x) . g(x)
Dom (f.g) = Dom f Dom g
•
Cociente: (f /g)(x) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
Dom (f /g) =
= [DomfDomg] – {xDom g / g(x) = 0}
En cada caso el dominio da la función resultante consta de aquellos valores de x comunes a los
dominios de f y g con el requerimiento adicional en el caso de la división de que se excluyan los
valores de x para los cuales gx  0
Composición:
- (f ○ g)(x) = f (g(x))
Dom (f ○ g) = {x / x  Dom g  g(x)  Dom f }
- (g ○ f )(x) = g(f (x))
Dom (g ○ f ) = {x / x  Dom f  f (x)  Dom g}
El dominio de f  g es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales que gx está en el
dominio de f . Esta definición indica que cuando se calcula  f  gx primero se aplica g a x y
después se aplica f a gx
Definición de Función Par y Función Impar
i)
Una función f es una función par si para cada x del dominio de f
f  x  f x
Su gráfica es simétrica con respecto al eje y (significado geométrico)
ii)
Una función f es una función impar si para cada x del dominio de f
f  x   f x
Clasificación de funciones: Sea f: AB
 f es inyectiva sii
x1∈A, x2∈A; x1  x2 
 f es sobreyectiva sii
f(x1)  f(x2)
y∈B, x∈A / f(x) = y
f es biyectiva sii f es inyectiva y sobreyectiva
Función Inyectiva Una función es inyectiva si y solo sí a elementos distintos del dominio le
corresponden imágenes distintas. Serán inyectivas si y solo si nunca llega a un mismo elemento del
segundo conjunto más de una flecha.
Función inyectiva. Las rectas horizontales cortan a la curva de la función en un solo punto. Los
valores de la imagen no se repiten.
Función no inyectiva: Las rectas horizontales cortan a la curva de la función en dos puntos. Los
valores de la imagen se repiten.
Para que la función sea inyectiva debemos restringir el dominio.
Función sobreyectiva o suryectiva
Una función es suryectiva si todos los elementos del codominio tienen preimagen.
Reconocimiento en un diagrama Una función representada por un diagrama de flechas será
sobreyectiva si y solo si a todo elemento del codominio llega por lo menos una flecha.
Verificación que una función es sobreyectiva  Debemos plantear y resolver la ecuación f x  y ,
es decir encontrar algún x que sea su solución.
Función suryectiva: Las rectas horizontales cortan siempre a la curva de la función.
Función no suryectiva: Las rectas horizontales no cortan siempre a la curva de la función.
Para que la función sea suryectiva debemos restringir o redefinir el codominio de g.
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva. Una función representada mediante un
diagrama de flechas, es biyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le llega una y sola una
flecha.
Dada la función g : R  R / g (x) = x² - 2 se restringió el dominio para que sea inyectiva y el
codominio para que sea sobreyectiva.
Función Inversa
Una función biyectiva f : A  B establece una correspondencia biunívoca entre su dominio y su
imagen con lo cual podemos definir una nueva función g : B  A llamada función inversa de f
f : A  B tiene inversa solo si f es biyectiva
Función inversa: Una función g es la inversa de una función f si:
(g ○ f )(x) = g(f (x)) = x
y
(f ○ g)(x) = f (g(x)) = x
Se denota g como f -1 (f -1 es la inversa de f )
Condición de existencia de la función inversa:
Una función f tiene inversa, si f es biyectiva
Observaciones:
•
Si f -1 es la inversa de f entonces f es la inversa de f -1.
•
El dominio de f es la imagen de f -1 y la imagen de f es el dominio de f -1.
•
Si una función tiene inversa, entonces es única.
Procedimiento para encontrar la fórmula correspondiente a una función inversa
1) Despejar x de la ecuación f x  y
2) Como f es una función con variable independiente x expresamos f -1 con la misma
variable es decir f -1 x,para ello debemos intercambiar variables
Desplazamientos verticales y horizontales o Traslaciones: c >0
g(x)  f (x)  c desplazamiento vertical hacia arriba de c unidades.
g(x)  f (x)  c desplazamiento vertical hacia abajo de c unidades.
g(x)  f (x  c) desplazamiento horizontal hacia la izquierda c unidades.
g(x)  f (x  c) desplazamiento horizontal hacia la derecha c unidades.
Estiramientos y compresiones verticales y horizontales o Dilataciones: c > 1
g(x)  c. f (x) Estiramiento vertical según el factor c.
g(x) = 1/c . f(x) Compresión vertical según el factor c.
g(x)  f (c.x) Compresión horizontal según el factor c.
g(x) = f ( 1/c . x) Estiramiento horizontal según el factor c
Función Valor Absoluto
Valor absoluto de un número real: Sea a un número real. Su valor absoluto es:
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
|𝑎| = {
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Propiedades del valor absoluto:
Sean a y b números reales; c≥ 0 y n entero:
1)
|𝑎| ≥ 0
2)
|𝑎| = 0  𝑎 = 0
3)
|𝑎| = |−𝑎|
4)
|𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|
5)
|𝑏 | = |𝑏| ; 𝑏 ≠ 0
6)
|𝑎𝑛 | = |𝑎|𝑛
7)
Si n ℤ+, entonces
𝑎
|𝑎|
|𝑎|
√𝑎𝑛 = {
𝑎
𝑛

𝑎 = 𝑐  𝑎 = −𝑐
8)
|𝑎| = 𝑐
9)
a) |𝑎| < 𝑐

−𝑐 < 𝑎 < 𝑐
b) |𝑎| ≤ 𝑐

−𝑐 ≤𝑎 ≤𝑐
a) |𝑎| > 𝑐

𝑎 > 𝑐  𝑎 < −𝑐
b) |𝑎| ≥ 𝑐

𝑎 ≥ 𝑐  𝑎 ≤ −𝑐
10)
si 𝑛 es par
si 𝑛 es impar
FUNCION VALOR ABSOLUTO
 x si x  0
f : R  R dada por f ( x)  x  
 x si x  0
TIPOS DE FUNCIONES
FUNCIÓN LINEAL Llamamos función lineal a todo polinomio de grado menor o igual a 1; f (x)  mx
 b donde m y b son los parámetros que caracterizan a esta función La representación gráfica de la
función lineal es la recta cuya expresión puede tomar distintas formas:
1) Forma explícita: y  mx  b Donde m es la pendiente y b su ordenada al origen
Si b=0, la recta pasa por el origen de coordenadas: y  mx
Si m  0 la recta es paralela al eje x, por lo cual queda definida una función constante: y  b
2) Forma General o Implícita: Ax  By  C  0
Casos particulares:
a) Si C=0 la recta pasa por el origen de coordenadas Ax  By  0  y = - A/B .x
b) Si B=0 la recta es paralela al eje y Ax  C  0  x   C/A
c) Si A=0 la recta es paralela al eje x By  C  0  y   C/B
3) Forma Segmentaria: Para obtenerla se parte de la forma general:
Condición de Paralelismo entre rectas
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus pendientes sean
iguales (las rectas no deben ser paralelas al eje y)
Condición de perpendicularidad entre rectas
La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares, es que sus
pendientes sean inversas y de signo contrario
B) FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es una función polinómica que puede expresarse de la forma:
1) Polinómica
2) Factorizada
3) Canónica
- Forma polinómica: f x  ax²  bx  c con a, b , c  y a  0
a es el coeficiente cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el independiente.
Si b  0 la función cuadrática es: f x  ax²  c
Si c  0 la función cuadrática es: f x  ax²  bx
Si b  0 y c  0 la función cuadrática es: f (x)  ax²
En todos los casos: Dom( f )  
La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada: parábola
Las parábolas tienen un eje de simetría. Cada punto de la curva tiene su simétrico con respecto al
eje de simetría. Las parábolas tienen un punto llamado vértice, de coordenadas V: ( Xv ; Yv).
Las coordenadas del vértice se calculan mediante las expresiones:
Si a  0 la parábola es cóncava hacia arriba.
Si a  0 la parábola es cóncava hacia abajo.
Para hallar las raíces de una función cuadrática, se iguala a cero la función y se aplica la expresión
llamada resolvente de segundo grado:
Si los coeficientes b o c son ceros puede resolverse la ecuación despejando la variable x.
La función cuadrática puede tener:
 Dos raíces reales y distintas
 Una raíz real doble
 Dos raíces complejas
LIMITE DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD (u2)
Idea intuitiva de límite en un punto:
Consideremos la función:
𝑓: ℝ − {2} → ℝ;
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑓(𝑥) =
𝑥−2
Cuya presentación gráfica es:
Si bien la función no está definida en x = 2, de la gráfica puede observarse que cuando x toma
valores muy cercanos a 2 (tanto con valores mayores como menores a 2), la función se aproxima a
3.
A ese valor 3 lo llamamos el límite de la función cuando x tiende a 2.
Y lo escribimos como:
lím f ( x)  3
x 2
Definición:
Llamamos límite de una función f (x) cuando x tiende a un valor a, al valor L al que se acerca f (x)
cuando x toma valores cada vez más cercanos a a.
lím f ( x)  L
x a
¿En qué valores podemos calcular límite?
Los límites se definen para puntos de acumulación del dominio (puntos próximos al dominio o que
pueden estar en el dominio.
Ejemplos: f : Aℝcon A ℝ
•
Si A = [-2;3), entonces [-2;3] es el conjunto de todos los puntos de acumulación de A.
•
Si A = (-2;+∞), entonces [-2;+∞) es el conjunto de todos los puntos de acumulación de A.
•
Si A = ℝ -{-2}, entonces ℝ es el conjunto de todos los puntos de acumulación de A.
Definición formal de límite:
Sea f : Aℝcon A ℝ
Sea a un punto de acumulación de A.
lím f ( x)  L 
x a
  0,   0 / 0  x  a    f ( x)  L  
Gráficamente:
Observación:
En la definición de límite no interesa el valor de la función en a, sino que sólo interesa el
comportamiento de la función en las cercanías de a.
Propiedades
Sean 𝑘 ∈ ℝ; 𝑛 ∈ ℕ; ∃ lím𝑥→𝑎 𝑓(𝑥); ∃ lím𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑘 = 𝑘
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑎𝑛
•
S𝑖 (𝑎 ≥ 0 Ù 𝑛 ∈ ℕ) (𝑎 < 0 Ù 𝑛 ∈ ℕ𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟)
𝑛
𝑛
Entonces lím𝑥→𝑎 √𝑥 = √𝑎
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 (𝑘. 𝑓(𝑥)) = 𝑘. 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
•
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 (𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)) = 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) . 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
•
𝑓(𝑥)
𝑙í𝑚
𝑓(𝑥)
𝑙í𝑚𝑥→𝑎 (𝑔(𝑥)) = 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
𝑠𝑖 𝑙í𝑚𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑎
Límites laterales
Sea f : Aℝcon Aℝ
Sea a punto de acumulación de A.
lím f ( x)  L sii lím f ( x)  lím f ( x)  L
x a
x a
x a
Siendo:
lím f (x)
x a 
lím f (x)
x a 
El límite de f (x) por la derecha de a
El límite de f (x) por la izquierda de a
Teoremas de límites:
Sea f : Aℝ con Aℝ
Sea a punto de acumulación de A.
- Si
lím f ( x)  L
x a
y
lím f ( x)  M
x a
entonces L= M
(Unicidad de límite)
Teorema de Intercalación o Teorema del Encaje o Teorema de la Compresión
Si una función está comprendida entre otras dos funciones en un entorno de un punto y estas
funciones tienen el mismo límite en dicho punto, entonces la función comprendida entre ellas
tiene el mismo límite
Si f (x)≤ g(x)≤ h(x) para cierto entorno reducido
De a y entonces
lím f ( x)  lím h( x)  L lím g ( x)  L
x a
x a
x a
Recordar que:
1.- El límite de una función en un punto es un número.
2.- El límite depende de la función y del punto x que se considere.
3.- El límite está determinado por los valores que toma la función en un entorno reducido del
punto y no importa lo que ocurra en el mismo, incluso puede no estar definido en él y tener límite.
4.- El límite puede ser un número positivo, negativo o cero.
5.- Hay funciones que no tienen límite en un punto.
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
1.- Unicidad: Si una función tiene límite en un punto, ese límite es único.
2.-Límite de una constante: Toda función constante f (x)  k tiene como límite ese mismo número
k.
3.- Límite de la función identidad: f (x)  x El límite de la función identidad para x tendiendo a es
a.
Casos de Indeterminación de Límites
Hasta ahora hemos establecido límites de operaciones con funciones, donde los resultados finitos
o infinitos se pueden anticipar. Pero hay ciertos casos, en los que no se puede establecer con
antelación si el límite del resultado es infinito, cero, o un número finito distinto de cero, por eso se
llaman casos de indeterminación, y se dan reglas para calcular en cada caso, el límite del resultado
Límites infinitos
Ejemplos
1)
lím
x  2
2) lím
x 1
1
3
x2
1
x 1
3) lím
x 0
1
x2
Límites infinitos
Si bien son límites que no existen, los límites infinitos permiten determinar el comportamiento de
la función.
Un límite en el que f (x) crece sin cota cuando x tiende a un a se llama Límite infinito. Sea f una
función definida sobre algún intervalo abierto que contiene al número a , excepto posiblemente
en a . Entonces:
ASÍNTOTAS
Definición: Es una recta tal que la distancia entre ella y la gráfica de la función tiende a cero si x
tiende a infinito, y tiende a infinito o ambas variables tienden a infinito.
Asíntota vertical de una función.
Por lo cual: Para hallar las Asíntotas Verticales se determinan los valores de x para los cuales los
valores de la función tienden a infinito
La recta x = a es asíntota vertical de una función f si se cumple por lo menos una de las siguientes
proposiciones:
lím f ( x)  
xa
lím f ( x)  
xa
lím f ( x)  
xa 
lím f ( x)  
xa 
lím f ( x)  
xa 
lím f ( x)  
xa 
Observación:
Una función puede tener infinitas asíntotas verticales.
Límites en el infinito
Los límites en el infinito permiten determinar el comportamiento de la función en intervalos
infinitos:
-
cuando la variable independiente crece indefinidamente (x → +∞)
-
cuando la variable independiente decrece indefinidamente (x → -∞)
Ejemplos
1)
f ( x) 
1
3
x2
Asíntota horizontal de una función.
Para determinar las asíntotas horizontales se calcula el límite de f (x) cuando x   y cuando x 
 . Si esos límites son números finitos dichos números dan las ordenadas de las Asíntotas
Horizontales
La recta y = L es asíntota horizontal de una función f sii:
lím f ( x)  L
x 
ó
lím f ( x)  L
x  
Observación:
Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales.
Continuidad en un punto
Decir que una función es continua significa que su gráfico no sufre interrupción en x  a que no
tiene saltos, ni huecos y que no se rompe.
Una función f se dice continua en x = a si se verifican las siguientes condiciones:
1 - Existe f (a )
2 - Existe lím f ( x)
xa
3 - f (a )  lím f ( x)
xa
Es decir que una función es continua en un punto, cuando la función está definida en el punto,
tiene límite para x tendiendo a dicho punto y coincide con el valor de la función en dicho punto.
Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en x = a se dice que la función f no es
continua en x = a o que f presenta una discontinuidad en x = a.
Discontinuidad de una función en un punto:
Si una o más de las tres condiciones de la definición de continuidad en x = a no se cumplen, se dice
que la función f no es continua en x = a o que f presenta una discontinuidad en x = a.
Tipos de discontinuidad:
Sea f una función discontinua en x = a.
-
Si la función puede redefinirse en x = a de manera que se vuelva continua en dicho punto,
lím f (x)
la discontinuidad se denomina evitable. Para que esto suceda, debe existir xa
.
Existe el límite de la función en un punto y la función está definida en dicho punto, pero
no coinciden. (no se cumple el ítem 3 de la definición)
-
Si la discontinuidad no es evitable, se denomina esencial. Existe el límite de la función en
un punto y la función no está definida en dicho punto. (no se cumple el ítem 1 de la
definición)
Para las discontinuidades evitables se redefine la función en el punto de discontinuidad
asignándole como verdadero valor de la función el valor del límite, transformándola así en
continua
Continuidad en un intervalo abierto
Una función f es continua en un intervalo abierto (a ; b), si lo es en todos los puntos de ese
intervalo.
Continuidad en un intervalo cerrado
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a ; b], si es continua en el intervalo abierto (a ;
b), y además
lím f ( x)  f (a)
x a 
y
lím f ( x)  f (b)
x b 
Las extensiones de estos conceptos a intervalos como (a,+∞), (-∞, b), (-∞,+∞),
∞,b], [a,+∞) se cumplen con definiciones análogas.
Propiedades de las funciones continúas:
Sean f y g funciones continuas en x = c; y sea k un número real. Entonces:
-
La función k.f (x) es continua en x = c
(a, b], [a,b), (-
-
La función f (x) + g(x) es continua en x = c
-
La función f (x) . g(x) es continua en x = c
-
f ( x)
Si g(c)  0, la función g ( x )
es continua en x = c
Continuidad de una función compuesta:
Si g es una función continua en x = c; y f es continua en g(c), entonces la función compuesta es
continua en x = c.
Si la función g es continua en a y la función f es continua en g(a) , entonces la función compuesta f
 g es continua en a.
Propiedad:
Las funciones elementales (polinómicas, racionales, irracionales, trigonométricas, valor absoluto,
exponenciales, logarítmicas) son continuas en su dominio natural.
Teorema del valor intermedio (Cauchy)
Si la función f es continua en el intervalo cerrado a;b y si f (a)  f (b) , entonces para cada valor w
entre f (a) y f (b) existe un número c entre a y b tal que f (c)  w
Si f es una función continua en [a ; b] y w un número real entre f (a) y f (b).
Entonces existe al menos un punto c  (a ; b) tal que f (c) = w
Teorema de los ceros (Bolzano)
Bolzano (1781-1848) matemático y filósofo. Estudió entre otras cosas las propiedades de las
funciones continuas. Si una función es continua en un intervalo y toma valores de signo contrario
en los extremos del mismo, existe, por lo menos un punto interior del intervalo en que la función
toma el valor cero.
El teorema expresa que por lo menos existe un valor interior del intervalo en el que se anula la
función, pero puede existir más de un valor que cumpla con las condiciones del teorema. Siempre
un número impar.
Si f una función continua en [a ; b] y sig(f (a)) ≠ sig(f (b)), entonces  c  (a ; b) tal que f (c) = 0
Teorema del valor extremo (Weirestrass)
a) Si f es una función continua en [a ; b] entonces es acotada en dicho intervalo. Es decir, existe
un número real M > 0 tal que para todo x del intervalo [a,b] se verifica que
–M ≤ f (x) ≤ M
b) Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b], alcanza en el mismo intervalo sus
valores máximo y mínimo absolutos.
1- El máximo y el mínimo absoluto de una función en un intervalo, o uno de ellos; pueden ser
positivos, negativos o nulos.
2.- Si la función es constante, toma valores iguales en todos los puntos del intervalo, en ese caso el
máximo y mínimo absoluto, se consideran coincidentes con el valor de la función.
El teorema del valor extremo al igual que el del valor intermedio es un teorema de existencia ya
que aseguran que existen valores máximos y mínimos pero no dice cómo hallarlos.
DERIVADAS (u3)
Sea A un conjunto incluido en R y f una función definida de A en R: A f : A   puede definirse
la derivada de la función : y = f(x) para todo xo , siendo xo un punto de acumulación de A.
Se designa con ∆x a un incremento (positivo o negativo) de la variable independiente de manera
que (xo +∆x) є A.
Se designa con ∆y al incremento de la función que se calcula: ∆y = f(xo +∆x) - f(xo ).
Se llama razón o cociente incremental a ∆y/∆x que denota el incremento medio de la función.
Si existe el límite de este cociente incremental para ∆x tendiendo a 0, tal límite se llama: derivada
de la función f(x) en el punto xo y se designa: f´( xo) o yo´ (Notación de Lagrange)
Si P (a; f (a)) es el punto de tangencia y Q (a+x; f (a +x)) es otro punto de la gráfica de f,
entonces la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:
msec 
y f (a  x)  f (a ) f (a  x)  f (a )


x
a  x  a
x
y
 x Se denomina cociente incremental.
Cuanto más cerca está Q de P, mejor es la aproximación de la pendiente de la recta tangente.
Definición de la pendiente de la recta tangente a una función f en el punto (a; f (a))
Si f está definida en un intervalo que contiene a a, entonces:
y
f (a  x)  f (a )
 lím
x 0 x
x 0
x
mtg  lím
(si existe el límite)
Derivada de una función en un punto de abscisa x = a (a Dom f )
f ´(a )  lím
x 0
y
f (a  x)  f (a )
 lím

x

0
x
x
(si existe el límite)
Otra forma de escribir la derivada en un punto de abscisa x = a.
Si llamamos x = a + x, entonces x = x – a. Además, si x→0, entonces x→a.
f ´(a )  lím
Por lo tanto
xa
f ( x)  f (a)
xa
, (si existe el límite).
Derivada de una función
f ´( x)  lím
x  0
f ( x  x )  f ( x )
x
, (si existe el límite)
Derivada de la función constante.
La derivada de una función constante es cero. Este resultado se verifica geométricamente, ya que
la gráfica de la función constante es una recta horizontal con pendiente nula
Otras notaciones:
f ' ( x) 
dy
 y´
dx
Derivadas de funciones:
Si f (x) = k, entonces f ´(x) = 0
Si f (x) = x, entonces f ´(x) = 1
Si f (x) = xn, entonces f ´(x) = n xn-1
Si f (x) = sen x, entonces f ´(x) = cos x
Si f (x) = cos x, entonces f ´(x) = -sen x
Si f (x) = ex, entonces f ´(x) = ex
1
Si f (x) = ln x, entonces f ´(x) = x
Si f (x) = tg x , entonces f ´(x) = sec²x
b. Logaritmo en base a
Propiedades de las derivadas:
Si existen f ´(x) y g´(x), entonces:
(f (x) + g(x))´ = f ´(x) + g´(x)
(c. f (x))´ = c. f ´(x)
(f (x).g(x))´ = f ´(x).g(x) + f (x).g´(x)
´
 f ( x) 
f ´( x).g ( x)  f ( x).g´( x)

 
g ( x)2
 g ( x) 
si g ( x)  0
La derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente como la
pendiente de la recta tangente a la curva representativa de la función en ese punto.
La pendiente de esta recta tangente es:
Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena)
Si h(x) = f (g(x)) tal que f (u) es una función derivable en el punto u = g(x) y además g(x) es
derivable en el punto x, entonces h(x) es una función derivable en x; y
h´(x) = [f (g(x))]´ = f ´(g(x)) . g´(x)
Derivadas laterales en un punto x = a
Si existen
f ' (a )  lím
f ( x)  f (a)
xa
f ' (a )  lím
f ( x)  f (a)
xa
xa
xa
Y además
Existe
f ' (a)  f ' (a)  M
; entonces
f ´(a )  M
Derivabilidad y continuidad
Si una función es derivable en un punto es continua en ese punto
Teorema
Si f es derivable en x = a, entonces es continua en x = a
Observaciones:
-
Si una función f no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a
-
Si una función f es continua en x = a, entonces puede o no ser derivable en
x=a
Continuidad y derivabilidad de funciones inversas
Teoremas:
Sea f una función que tiene inversa f -1
f -1 es continua en su dominio.
-
Si f es continua en su dominio, entonces
-
Si f es derivable en su dominio y f ´(c)  0, entonces f -1 es derivable f (c).
Derivación implícita
Derivadas de funciones implícitas La expresión y = f(x) es una ecuación escrita en forma explícita.
Ejemplos: y = x² +1 y = 2x y = 1/x y = 4x-5
Estas funciones pueden expresarse en forma implícita: y – x²-1 = 0 y -2 = 0 x.y =1 4x –y – 5 = 0
En estos casos para calcular las derivadas correspondientes se las expresa en forma explícita y se
aplican las reglas de derivación. En algunas funciones no es posible despejar la variable
dependiente y; en estos casos se aplica la derivación implícita.
Ejemplo: x² -2y³ + xy = -1
Es un procedimiento que presupone que y es función derivable de x. La derivación se realiza
respecto de x.
En los términos en los que aparezca y deberá aplicarse la regla de la cadena, pues se supone que y
está definida implícitamente como una función de x. Para el ejemplo anterior la derivación es:
Derivadas sucesivas.
Además de la derivada primera de una función, es posible calcular las derivadas sucesivas,
derivadas segunda, tercera, cuarta etc. La derivada segunda es la derivada de la derivada primera;
la tercera es la derivada de la segunda etc. Notaciones de derivadas sucesivas:
Lagrange: f´(x), f´´(x), f´´´(x)... o y´, y´´, y´´´...
Diferencial de una función.
La diferencial de una función f(x) es el producto de la derivada de la función por el incremento de
la variable independiente.
Derivada de la función inversa:
Si f es una función derivable en su dominio, y f tiene función inversa f -1 (f es biyectiva), entonces
f -1 es una función derivable en su dominio, siendo:
f
1

( x) ' 
1
f ' ( f 1 ( x))
1
si f ' ( f ( x))  0
Aplicaciones de la Derivada (u4)
Extremos absolutos de un intervalo (o simplemente extremos)
Sea f definida en un intervalo I que contiene a c.
-
f (c) es el mínimo absoluto (m), o simplemente mínimo, de f en I si
xI, f (c) ≤ f (x)
-
f (c) es el máximo absoluto (M), o simplemente máximo, de f en I si
xI, f (c) ≥ f (x)
Extremos relativos o locales de un intervalo
Sea f definida en un intervalo I que contiene a c.
-
Si existe un intervalo abierto en I en el que
f (c) es el mínimo absoluto, se dice que f (c) es un mínimo relativo de f.
-
Si existe un intervalo abierto en I en el que
f (c) es el máximo absoluto, se dice que f (c) es un máximo relativo de f.
Aplicaciones de la Derivada
Punto Crítico
Sea f una función definida en c.
Si f ’(c) = 0  ∄f ’ (c), entonces c es punto crítico de f.
Teorema
Si f tiene un extremo relativo en x = c, entonces c es un punto crítico de f.
Teorema
Sea f una función derivable en (a;b).
- Si ∀𝑥 ∈ (a;b), f ’(x) > 0, entonces f es estrictamente creciente en (a;b).
- Si ∀𝑥 ∈ (a;b), f ’(x) < 0, entonces f es estrictamente decreciente en (a;b).
- Si ∀𝑥 ∈ (a;b), f ’(x) = 0, entonces f es constante en (a;b).
Teorema: Criterio de la derivada primera para determinar extremos
Sea c un punto crítico de una función f continua en (a;b). Si f es derivable en c (excepto
quizá en c),
- Si f ’ cambia de positiva a negativa en c, entonces f (c) es un máximo relativo.
- Si f ’ cambia de negativa a positiva en c, entonces f (c) es un mínimo relativo.
- Si f ’ no cambia su signo en c, entonces f (c) no es extremo relativo.
Concavidad
•
Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo I si la gráfica de la función está
por arriba de todas sus rectas tangentes en I.
•
Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo I si la gráfica de la función está
por debajo de todas sus rectas tangentes en I.
Teorema: Criterio de concavidad
Sea f una función cuya derivada segunda existe en un intervalo abierto I.
- Si ∀𝑥 ∈ I , f ’’(x) > 0, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba.
- Si ∀𝑥 ∈ I , f ’’(x) < 0, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo
Observación.
Sea f una función derivable en un intervalo abierto I.
- f es cóncava hacia arriba en I si f’ es creciente en ese intervalo.
- f es cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en ese intervalo.
Punto de inflexión
Sea f una función definida en c. El punto (c; f (c)) es un punto de inflexión si la concavidad
de f cambia en ese punto.
Teorema: Punto de Inflexión
Si (c; f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces f ’’(c) = 0  f ’’ no está
definida en x = c.
Funciones Marginales
Ingreso Marginal: siendo x la cantidad producida (y demandad), definimos a éste como el
incremento del ingreso ante un pequeño aumento de la producción.
Ingreso Mg = d IngresoT /dx
Costo Marginal: costo de producir un artículo más.
CM = dCT / dx
Demanda Marginal: D Mg = d (f(p)) /dp
Teorema de Rolle
Teorema del valor medio (lagrange)
Si f es una función continua en [a , b ] y derivable en (a , b ) , entonces existe c entre (a ; b)
tal que : f´( c ) = f(b) – f (a) / b – a
El Teorema del valor medio garantiza (si se cumplen las hipótesis) la existencia de al
menos una recta tangente a f en el intervalo (a ; b) que sea paralela a la recta que pasa
por los puntos (a ; f (a)) y (b ; f (b))
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Extremos de una función:
Sea f una función definida en un intervalo I que contiene a X0 :
1) f (x0) es el mínimo de f en I si f(x0) f (x) x  I
2) f (x0) es el máximo de f en I si f(x0)  f (x) x  I
El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos de la función en
ese intervalo. También se los llama Máximo Absoluto y Mínimo Absoluto de ese intervalo. Una
función no tiene necesariamente Máximo y mínimo en un intervalo
Teorema del Valor Extremo
Si f es continua en un intervalo cerrado a,b entonces tiene un máximo y también un mínimo en
ese intervalo Es un teorema de existencia es decir, asegura la existencia del máximo y mínimo
absolutos pero no dice como hallarlos.
Máximo Relativo: Si existe algún intervalo abierto en el que f (x0) sea el máximo valor se dice que f
(x0) es un máximo relativo de f
Mínimo Relativo: Si existe algún intervalo abierto en el que f (x0) sea el mínimo valor se dice que f
(x0) es un mínimo relativo de f
Aclaración: La curva de la función donde alcanza un máximo o mínimo relativo puede tener recta
tangente horizontal lo que significa que la función es derivable en ese punto o puede ser un punto
anguloso o filoso, lo que significa que la función no es derivable en ese punto.
Números Críticos
Si f está definida en x0 se dirá que x0 es un número crítico o punto crítico de f si f´(x0) = 0 o si f´(x)
no está definida en X0 .
INTEGRALES INDEFINIDAS (6)
Definición:
Se denomina a una función F una primitiva o antiderivada de la función f, si x  Dom f,
F ’(x) = f (x)
Teorema:
Sea F es una antiderivada de f en un intervalo I. G es una antiderivada de f en el intervalo
I si y sólo si G es de la forma:
G(x) = F(x) + c
x  I
Donde c es una constante
Observación: la gráfica de dos primitivas cualesquiera de f son traslaciones verticales una
de otra.
En general, se observa que, si una función tiene primitiva, ésta no es única, pues si a la función se
le suma una constante, tiene la misma primitiva. Entonces, se puede decir que: si una función f x
tiene una primitiva, tendrá infinitas primitivas, que se expresan de la siguiente manera Fx C
siendo C una constante indefinida.
Integral Indefinida
Su símbolo: 
Definición: Si F(x) es una primitiva de f (x) , al conjunto de las infinitas primitivas, que está
expresado como F(x)  C , se lo llama “integral indefinida” de la función f (x) .
Simbólicamente:  f (x)dx  F(x)  C / F´(x)  f (x)
Métodos de Integración. Para resolver integrales más complejas se aplican los métodos de
integración.
Teorema: Primitiva de una función compuesta (método de sustitución)
Sean f y g funciones tales que f○g son continuas en un intervalo I. Si F es una primitiva
de f en I, entonces:
 f g ( x) g´( x) dx  F g ( x)  c
Integración por sustitución  El método de sustitución consiste esencialmente en un cambio de
variables.
Sea calcular:  f (x)dx . Si a la variable x se la reemplaza por una función de otra variable u: x  g(u)
 dx  g´(u).du.
Entonces:  f (x)dx   f [g(u)].g´(u)du.
Esta integral puede calcularse de modo más simple que la original.
Ello depende de la elección adecuada de g. La función g elegida deberá tomarse siempre de
manera que cuando u varíe en un cierto intervalo [u0,u1] la x varíe en el intervalo [a,b] en el cual
la función está definida y es integrable; además g debe ser invertible, de modo que pueda
despejarse u como función de x y varíe en el intervalo indicado.
Estrategias para integrar por sustitución:
1) Elegimos una sustitución u  g(x) .Suele ser conveniente elegir la parte interna de
una función compuesta, tal como algo que esté elevado a una potencia
2) Hallamos du  g´(x)dx
3) Reescribimos la integral en términos de la variable u
4) Evaluamos la integral resultante en términos de u
5) Cambiamos u por g(x) para obtener la primitiva en términos de x .
Teorema: Integración por partes
Si u y v son funciones de x, que tienen derivadas continuas, entonces
 u dv  u v   v du
Integración por partes
Se aplica a una gran variedad de funciones y es particularmente útil para integrandos que
contienen un producto de funciones algebraicas o trascendentes. La integración por partes se basa
en la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. Si f y g son funciones
diferenciables, entonces:
Dx f (x)g(x) = f (x) g´(x) + g(x) f´(x)
Por lo cual: f (x)g´(x) = Dx f (x)g(x)- g(x) f´(x)
Al integrar cada miembro de esta igualdad se tiene:
 f (x) . g´ (x) dx =  Dx [ f (x) g (x)] dx -  g (x) f´(x) dx
y aplicando propiedades resulta:  f (x)g´(x)dx  f (x)g(x)  g(x) f´(x)dx
Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de integración por partes .
Para los propósitos de cálculo, una forma más conveniente de esta fórmula se obtiene al
considerar: u  f (x) y v  g(x).
Entonces: du  f´(x)dx y dv  g´(x)dx
de modo que la fórmula de integración por partes se transforma en :  udv  uv   vdu
Cuando se eligen las sustituciones para u y dv por lo general se considera que dv es el factor más
complejo del integrando y puede integrarse directamente, y que u es una función cuya derivada es
una función más simple.
Para elegir la función que será u(x) se debe tener en cuenta el siguiente orden:
1°…….Inversas
2°……Logarítmicas
3°……Potenciales
4°……Exponenciales
5°……Trigonométricas
La fórmula expresada nos lleva al cálculo de otra integral. Cuando esta integral resulta sencilla es
posible aplicar el método.
Propiedades :
1) La diferencial de una integral indefinida es igual al producto de la función
integrando, por la diferencial de la variable independiente.
 d f (x)dx  f (x)dx
2) La derivada de una integral indefinida, es igual a la función integrando.
D f (x)dx  f (x)
3) La integral indefinida del producto de una constante por una función, es igual a la
constante por la integral indefinida de la función. Esto significa que todo factor
constante puede sacarse fuera de la integral.
4) La integral indefinida de la suma algebraica de un número finito de funciones es
igual a la suma algebraica de las integrales indefinidas de cada una de las funciones
 f (x)  g(x)  h(x) dx  f (x)dx   g(x)dx  h(x)dx
INTEGRAL DEFINIDA
Áreas e integrales
La integral definida como área de una región
Si f es continua y no negativa en un intervalo [a; b] entonces el área de la región limitada
por f, el eje x, y las rectas x = a y x = b está dada por:
𝑏
área = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Integral definida
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
En la cual f(x) es la función integrando; [a;b] el intervalo de integración; a el extremo inferior y b el
superior.
Propiedades de la integral definida:
Si f es integrable en [a; b] , entonces:
𝑎
•
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
•
∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
•
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
𝑏
con c[a; b]
Las propiedades de la integral indefinida también son propiedades de las definidas.
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN
Si la función f(x) es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b] entonces el área de la
región limitada por la curva de la función, el eje x y las rectas x = a, x = b está dada por:
Ejemplo: El área bajo la curva de la función:
en el intervalo [0,2] se calcula:
Si f(x) < 0 en el intervalo [a,b] (la curva de la función por debajo del eje x) la integral definida
resulta negativa. Para calcular el área bajo la curva debe considerarse el valor absoluto de la
integral definida o el valor opuesto del resultado de la integral.
ÁREA ENTRE CURVAS
Sea calcular el área de una zona limitada por las curvas que representan las funciones f(x) y g(x)
ambas positivas Los puntos de intersección entre las dos curvas tienen abscisas x0 y x1 con x0 < x1
y f(x) > g(x).
Cálculo del área encerrada entre dos curvas:
 Calcular los puntos de intersección de las curvas resolviendo el sistema: f(x) = g(x)
 En la diferencia f(x) – g(x) la función minuendo es la correspondiente a la curva que limita
superiormente a la zona a calcular
Luego resolver la integral definida:
En general: Si f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b] y f(x) > g(x) x [a,b], el área de
la región limitada por las curvas correspondientes a f y g entre las rectas verticales
Teorema fundamental del cálculo:
El teorema fundamental del cálculo proporciona la relación inversa entre la derivada y la integral.
Newton y Leibniz aprovecharon esta relación y la emplearon para convertir el cálculo en un
método matemático sistemático. El teorema permitía calcular áreas e integrales con suma
facilidad sin tener que emplear límites de sumas. Si f(x) es continua en [a;b] y F(x) es primitiva de
f(x)
Si f es una función continua en [a;b], entonces la función 𝐹(𝑥) definida de la forma
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
es derivable en el (a;b).
Además su derivada en cualquier punto x del intervalo (a;b) es f (x). Es decir,
∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏), : 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
La expresión se aplica aun cuando las curvas están por debajo del eje x, pero es necesario que
f(x) > g(x)
La expresión se aplica aún cuando las curvas de las funciones no tienen puntos de intersección
Si las curvas se cortan en más de un punto:
 Calcular todos los puntos de intersección entre las curvas.
 En cada intervalo identificar que curva limita superiormente al área correspondiente.
 Calcular cada área por separado.
 Sumar las áreas calculadas.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si f es continua en el intervalo cerrado [a;b], existe un número c en [a;b] tal que:
El valor de f(c) se llama Valor medio de f(x) en el intervalo [a;b].
El punto c puede no ser único. El teorema garantiza la existencia de por lo menos uno que cumple
con esa propiedad.
El cálculo del valor medio f(c) y el de c supone el cálculo de la integral definida de la función en el
intervalo [a;b].
Regla de Barrow (segundo teorema fundamental del cálculo)
Si f (x) es una función continua en [a;b] y F(x) es una primitiva de f (x)
𝑏
entonces ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Recordemos:
La integral definida como área de una región
Si f es continua y no negativa en un intervalo [a; b] entonces el área de la región limitada
por f, el eje x, y las rectas x = a y x = b está dada por:
𝑏
área = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Basta considerar la función g(x) no negativa tal que ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]: 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥)
𝑏
𝑏
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(−𝑓(𝑥))𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
En general, si f es una función continua en [a; b]:
𝑐
𝑑
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑐
𝑑
¿Cómo calcular el área comprendida entre dos funciones continuas?
Si se desea hallar el área comprendida entre los gráficos de dos funciones continuas tales
que ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), entonces basta efectuar la resta de las áreas
correspondientes:
𝑏
𝑏
𝑏
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
ECUACIONES DIFERENCIALES
Son aquellas ecuaciones que vinculan las derivadas o la diferencial de la función con la variable
independiente.
Resolver la ecuación diferencial es encontrar la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuyas derivadas satisfagan la
ecuación planteada.
Para poder hallar el valor de 𝑦debemos integrar. Al integrar se incluyen constantes de integración,
por lo tanto se obtienen infinitas soluciones.
La constante que aparece en la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) es indefinida, la solución se llama Solución
General de la ecuación diferencial.
En la mayoría de los problemas que se resuelven mediante estas ecuaciones se desea una solución
única que satisfaga ciertas condiciones. Estas condiciones determinan un solo valor numérico para
la constante y en consecuencia una única solución que se llama Solución Particular.
Para cada C se obtiene una curva que cumple con la ecuación diferencial; la recta tangente en
cada uno de sus puntos es igual al doble del valor de la abscisa del punto. (y´= 2x)
Si en cada punto del plano se traza un pequeño segmento incluido en la recta tangente a la curva
solución en dicho punto se obtiene el Campo de direcciones de la ecuación diferencial.
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación F ( x, y, y´)  0 que relaciona a la variable x, a la función incógnita y y a la derivada
primera y´ es una ecuación ordinaria de primer orden expresado en forma implícita; y si es posible
despejar y´ se obtiene la forma explícita de la ecuación: y´ F ( x, y)
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden de Variables Separables
Como el nombre lo expresa consiste en poder separar las variables en diferentes miembros de la
ecuación. (Aunque no siempre es posible) Dada una ecuación del tipo:
si el segundo
miembro puede expresarse como producto de dos funciones, una de x y otra de y es posible
separar las variables: Es decir que son ecuaciones de la forma: 𝑦´ = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑦)
Resolución:
Para resolver una ecuación de variables separables:
-
Se re-expresa la derivada en función de la diferencia
Se separan en un miembro las expresiones que dependen de y, y en el otro miembro las
que dependen de 𝑥.
Se integran ambos miembros.
Si es posible se expresa la solución 𝑦 en función de 𝑥 (forma explícita)
SUCESIONES
𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ; … ; 𝑎𝑛 ; …
Una lista infinita y ordenada de números reales define una sucesión
Ejemplo:
{2; 4; 6; 8; 10; … }
1 1 1 1
{ ; ; ; ;…}
2 3 4 5
Con 1 a como primer término, 2 a como segundo término…... n a enésimo término. Como se
trabaja con sucesiones infinitas cada término n a tiene su sucesor n1 a .
Definición.
Una sucesión numérica infinita o simplemente sucesión, es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números naturales y el codominio el conjunto de los números reales.
𝑓: ℕ → ℝ, 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛
{𝑎𝑛 } = {𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 ; … }
𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 es el término general
𝑓(1) = 𝑎1 es el primer término de la sucesión,
𝑓(2) = 𝑎2 es el segundo término;
𝑓(3) = 𝑎3 es el tercer término;
Se representa por puntos en el plano cartesiano
Definición.
Una sucesión {𝑎𝑛 } se llama creciente si 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1.
Si para todo 𝑛 ≥ 1 es 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 , la sucesión es decreciente.
Una sucesión siempre creciente (o siempre decreciente) es monótona
Una sucesión {𝑎𝑛 } está acotada por arriba si existe M ∈ ℝ tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑀 para todo 𝑛 ≥ 1,
y está acotada por abajo si existe m ∈ ℝ tal que 𝑎𝑛 ≥ 𝑚 para todo 𝑛 ≥ 1.
Una sucesión es acotada si es acotada por arriba y por abajo.
Definición.
Una sucesión {𝑎𝑛 } tiene límite 𝐿 si los términos 𝑎𝑛 se acercan a 𝐿 tanto como queramos al hacer
𝑛 lo suficientemente grande.
Se expresa
lim 𝑎𝑛 = 𝐿
𝑛→∞
Una sucesión que tiene límite se dice que es convergente
Si lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = +∞ decimos que la sucesión es divergente
Consecuencia: Todas las técnicas para calcular límites de funciones se pueden usar para las
sucesiones y analizar si converge o no.
Propiedades de las Sucesiones  Las propiedades son análogas a las de límites de funciones:
Álgebra de Sucesiones: Sean:
las propiedades:
dos sucesiones convergentes se cumplen
Teorema del Valor Absoluto
Dada una sucesión
si el
entonces
SERIES
Si se suman acumulativamente los términos de la serie se obtiene lo que se denomina
sumas parciales
Los términos Sn son los términos generales de la sucesión de sumas parciales.
La sucesión de sumas parciales se representa por medio de puntos en un sistema de ejes
Cartesianos.
Convergencia de una serie
Condición necesaria para la convergencia de una serie:
Conclusiones:
Serie geométrica
Serie Armónica:
Propiedades de las series convergentes
Serie hiperarmónica o serie p Son las series cuya expresión es:
Series alternadas o alternantes
Una serie alternada es aquélla cuyos términos son positivos y negativos alternadamente.
FUNCIONES DE DOS VARIABLES
FUNCIONES DE N VARIABLES
Hasta ahora hemos trabajado en casos en que la variable dependiente solo es función de una
variable independiente, y  f (x).Sin embargo en la mayoría de las aplicaciones debemos afrontar
situaciones en que una cantidad depende no solo de una variable sino de varias variables.
Ejemplos:
a) Considere un rectángulo de longitud x y ancho y .Su área A es el producto de la
longitud y el ancho: A  x.y La variable A depende de las dos variables x e y
b) La demanda, o volumen de ventas total de un producto depende del precio a que se
ofrece en el mercado. Sin embargo en muchos casos el volumen de ventas también
depende de factores adicionales tales como la cantidad gastada por el productor en
promocionar el producto y los precios de los productos de la competencia
En estos casos necesitamos funciones de varias variables independientes. La variable dependiente,
por lo regular, se denotara con z y usamos la notación z  f (x, y) es decir z es funcion de x e y.
Una función de dos variables 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es toda relación 𝑅:𝑅²→ 𝑅 tal que a cada par de valores (𝑥,
𝑦)le hace corresponder un valor 𝑧 que es su imagen.
Dominio de una función de dos variables
Dada una función de dos variables el dominio de dicha función es el conjunto de puntos del plano,
es decir, el conjunto de pares de valores (𝑥, 𝑦) para los cuales la variable dependiente z es un
número real. Z=𝑓(𝑥, 𝑦) donde 𝑥 𝑒 𝑦 son las variables independientes, z la variable dependiente y se
lee: z es función del par ordenado (𝑥, 𝑦).
Condición de Unicidad: ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝑅 /𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
Funciones de n variables
Una función de n variables es aquella cuyo dominio consta de n-ordenadas (𝑥1, 𝑥2,.. 𝑥n) de
números reales y su imagen es un subconjunto de números reales.
Por ejemplo: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 es una función de tres variables cuyo dominio es el conjunto
de todas las ternas de números reales (𝑥, 𝑦, 𝑧) y su imagen es el conjunto de números reales.
El dominio de una función de n variables es el conjunto máximo de puntos de la forma (𝑥1,𝑥2,
𝑥3,….𝑥n) para los cuales la fórmula que define a dicha función tiene sentido.
Derivadas Parciales
La derivada parcial de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) respecto a 𝑥 denotada por
siempre que el limite exista.
De igual manera la derivada respecto a 𝑦 es
Derivadas Parciales de orden Superior
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función de dos variables, también
son funciones de las mismas
variables𝑥 𝑒 𝑦. Si a estas nuevas funciones las derivamos se obtienen las derivadas segundas
de𝑓(𝑥, 𝑦) y así podríamos continuar calculando las derivadas terceras, cuartas, etc.
Las notaciones son:
posteriormente respecto a𝑦.
Análogamente
respecto a 𝑥. Las notaciones:
significa que primero derivamos con respecto a 𝑥 y
significa que primero derivamos respecto a 𝑦, Y posteriormente
Punto Crítico
Se llaman puntos críticos de una función 𝑓(𝑥, 𝑦) los puntos donde se anulan todas sus derivadas
parciales, es decir si:
𝑓x (𝑎, 𝑏) = 0
𝑓y (𝑎, 𝑏) = 0
Un punto crítico puede ser máximo, mínimo o punto silla y se puede determinar de cuál se trata
con el criterio de la segunda derivada:
1) Se calculan todas las derivadas parciales Fxx, Fyy, Fxy.
2) Se construye la expresión 𝐷 = 𝑓xx𝑓yy-(Fxy)² llamado determinante hessiano.
3) Se evalúa el hessiano en el punto crítico (𝑎, 𝑏) y se decide de acuerdo al siguiente cuadro:
Ejemplo. Dada la función: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥² + 𝑦² − 7𝑥 − 2𝑦 + 𝑥𝑦 hallar los puntos críticos y analizar si es
un extremo local o punto silla.
𝑓x = 2𝑥 − 7 + 𝑦
𝑓y = 2𝑦 − 2 + 𝑥