WindWalkker www.wuolah.com/student/WindWalkker 141 Definiciones-para-el-examen-de-calculo-febrero-2020-.p df Definiciones cálculo 1º Cálculo Grado en Ingeniería Informática Escuela Superior de Ingeniería Universidad de Cádiz Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-2492206 Límite de una sucesión Se dice que L es el límite de la sucesión {an} si para TODO ε > 0 existe n0 ∈ N tal que: si n ≥ n0, |an − L| < ε. Teorema de Bolzano f(x0) = 0. Teorema de Rolle Si la función f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), siendo f(a) = f(b), existe, al menos, un x0 ∈ (a, b) tal que: f’(x0) = 0. Si el polinomio f(x) tuviera dos raíces r1 < r2 en el intervalo [−1, 0], aplicando el teorema de Rolle en [r1, r2] tendría f’(x) una raíz en dicho intervalo. Teorema Fundamental de los límites finitos A partir de cierto término, éstos son mayores que un número menor que el límite. Análogamente, son superados por un número mayor que el límite. Límite indeterminado Los límites indeterminados son aquéllos en que no basta conocer los límites de cada una de las sucesiones o funciones que los forman; para resolverlos es necesario conocer cada una de ellas en concreto. Logaritmo en base b Se llama logaritmo en base b de un número al exponente al que hay que elevar b para obtenerlo; así, dado x > 0, es: b(logb x) = x. Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y toma valores de signo contrario en los extremos del intervalo, existe, al menos, un x0 ∈ [a, b], y, con seguridad, un número impar, tal que: a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-2492206 Expresión decimal de un número irracional Teorema de Cauchy Si las funciones f(x) y g(b) son derivables en (a, b), y es: g(a) simultáneamente sus derivadas en hay, al menos, un punto x0 ∈ (a, 𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒈(𝒃)−𝒈(𝒂) 𝒇′(𝒙𝟎) = continuas en [a, b], ≠ g(b), y no se anulan ningún punto de (a, b), b) tal que: a < x0 < b. 𝒈′(𝒙𝟎) Teorema de Lagrange Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe, al menos, un x0 ∈ (a,b) tal que la tangente a la curva en x0 es paralela a la recta secante que une los puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir: f(b) − f(a) = f’(x0) * (b − a). Corolario 3.1 Si la derivada de una función es nula en (a, b), la función es contante. Corolario 3.2 Si dos funciones tienen la misma derivada en (a, b), se diferencian en una constante. Regla de L’Hopital Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo [a,b], derivables en (a,b) y sea c perteneciente a (a,b) tal que f(c) = g(c) = 0 y g'(x) ≠ 0 si x ≠ c. Si existe el límite L de límite de 𝑓 𝑔 𝑓′ 𝑔′ en c, entonces existe el (en c) y es igual a L. Por lo tanto, 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥) lim Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. La expresión decimal de un número irracional es infinita y no periódica. a64b0469ff35958ef4ab887a898bd50bdfbbe91a-2492206 Derivada en un punto La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se llama progresión geométrica a toda sucesión de números en la cual cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante, r, la cual recibe el nombre de razón de la progresión: an… an-1*r Infinitésimo Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir como: lim 𝑓 (𝑥 ) = 0 se dice que f es un infinitésimo en x = a 𝑥→𝑎 Reservados todos los derechos. No se permite la explotación económica ni la transformación de esta obra. Queda permitida la impresión en su totalidad. Progresión geométrica