ESTUDIO DIDÁCTICO DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN Mirta Hanfling En ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. Coord. Graciela Chemello. ÍNDICE 1. INTRODUCCION 2. LA NOCION DE FUNCION A TRAVÉS DEL TIEMPO 3. LA NOCION DE FUNCION EN LOS CONTENIDOS CURRICULARES Y LOS LIBROS DE TEXTO . 4. CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO DE LA NOCION DE FUNCIÓN 5. ALGUNAS ACTIVIDADES PARA LA ENSEÑANZA DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN. 5.1. CONSTRUCCIÓN DE ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA - Variación del área de un rectángulo 5.2. ANÁLISIS DE REGISTROS DE CLASES - El costo de las llamadas telefónicas 6. BIBLIOGRAFIA 1 1. INTRODUCCION En este capítulo, abordaremos el concepto de función, desde la perspectiva del análisis didáctico. Consideraremos, en primer lugar, cómo ha evolucionado el concepto de función a lo largo de la historia, cuáles han sido las necesidades que han conducido hacia esa evolución, qué concepciones se han configurado históricamente como obstáculos epistemológicos y qué elementos de este análisis histórico pueden servir como recursos para el desarrollo de situaciones de aprendizaje. También intentaremos establecer criterios para identificar las concepciones de la noción de función que se pueden inferir de los programas actuales, de los contenidos básicos para EGB y para la educación polimodal y de algunos textos escolares, así como de los presupuestos didácticos que sustentan tales propuestas. Por último, teniendo en cuenta que la resolución de problemas es un proceso fundamental en el aprendizaje, analizaremos un conjunto de situaciones que permiten el abordaje de aspectos relevantes del concepto de función. Si bien los problemas que presentaremos pueden ser trabajados en el aula, no pretendemos proporcionar una “secuencia de aprendizaje”, sino que constituyen un elemento de análisis que permite poner en evidencia algunos aspectos teóricos que fundamentan la propuesta de este curso. 2. LA NOCION DE FUNCION A TRAVÉS DEL TIEMPO El concepto de función, tal y como es definido actualmente en Matemática, ha ido evolucionando a lo largo de más de 2000 años. En ese período de tiempo, el concepto ha sido objeto de numerosas precisiones y generalizaciones así como también ha sido influenciado por concepciones que históricamente se han configurado como resistentes a su evolución (obstáculos epistemológicos). Luisa Ruiz Higueras en su Tesis de Doctorado “La noción de función: análisis epistemológico y didáctico”, publicada por la Universidad de Jaén, España, (1998) organizó el análisis histórico y posteriormente identifica las concepciones predominantes en distintos períodos de. La evolución de esta noción. Ellas son: 2 • La función como variación Matemáticos y astrónomos babilónicos, en su intento por aritmetizar las observaciones que eran difícilmente medibles, profundizaron métodos cuantitativos tabulando datos, interpolando y extrapolando, en busca de regularidades. Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y los efectos: los fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia, la velocidad, etc., pueden poseer distintos grados de intensidad y cambiar continuamente entre ciertos límites dados. Estas magnitudes variables encierran la presencia potencial de medidas. Varios investigadores consideran que los matemáticos babilonios poseyeron un verdadero instinto de funcionalidad, dado que en las tablas de cálculo que construyeron está presente una relación general por la que se asocian elementos de dos conjuntos. Sin embargo, .... existe una distancia muy grande entre “instinto de funcionalidad” y la noción de función. (Ruiz Higueras, 1998, p.107). La función como variación es la concepción predominante en este período, concepción que perdura por largo tiempo. • La función como proporción Si bien las ideas de cambio y de cantidad variable estaban presentes en el pensamiento griego, se situaba al cambio y al movimiento como algo externo a la matemática. El considerar los entes matemáticos como algo estático llevó a los matemáticos de esta época a expresarse en términos de inecuaciones y proporciones más que en términos de variables. La búsqueda de proporcionalidad era la relación privilegiada entre magnitudes variables, es decir, la variabilidad atada a las magnitudes físicas, las cuales se consideran diferentes a las matemáticas. Dado el significado geométrico que tenían para los griegos las magnitudes variables, sólo establecían en forma homogénea sus proporciones: comparaban longitudes con longitudes, áreas con áreas, volúmenes con volúmenes. Según René de Cotret (1985) la homogeneidad que conducía a comparar siempre magnitudes de la misma naturaleza pudo ser un obstáculo al desarrollo de la noción de función puesto que impedía encontrar de forma significativa, dependencias entre variables de diferentes magnitudes, germen de toda relación funcional. 3 Este período está marcado por el predominio de una concepción estática: la función como proporción, concepción que se ha mantenido en matemáticos tales como Oresme o Galileo. Galileo(1564-1642) estudió el movimiento y contribuyó a buscar resultados y relaciones que provienen de la experiencia más que de la abstracción. En esto reside la diferencia con Oresme, centrado en la teoría y sobre el que volveremos a continuación. • La función como gráfica El cambio más significativo ocurrido durante la Edad Media estuvo dado por el acercamiento entre la matemática y las ciencias de la naturaleza, y los principales núcleos de desarrollo fueron las escuelas de Oxford y París. El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme, quien ya en el S. XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así describirlos y compararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Estas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones. Oresme traza un segmento horizontal cuyos puntos representan los sucesivos instantes y para cada instante traza una segmento perpendicular cuya longitud representa la velocidad en ese instante. tiempo v e l o c i d a d v T tiempo La dependencia se representaba globalmente por toda la figura, predominando entonces la concepción de función como gráfica(visión sintética). Durante el período que abarca los siglos XV – XVI se distinguen dos direcciones fundamentales de desarrollo de la matemática: un perfeccionamiento del simbolismo algebraico y la formación de la trigonometría como una rama particular. Si bien no se produjeron grandes transformaciones científicas, estos adelantos favorecieron el desarrollo del concepto de función. 4 • La función como curva A principios del S.XVII, Fermat y Descartes descubren el mundo de la representación analítica al conectar los problemas de dos ramas de la matemática: la Geometría y el Álgebra. Comienza a formarse la geometría analítica como un método de expresión de la relaciones numéricas establecidas entre determinadas propiedades de objetos geométricos, utilizando esencialmente el método de las coordenadas. Se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la dependencia entre dos cantidades variables. Citamos a Descartes: Cuando una ecuación contiene dos cantidades desconocidas, hay un lugar correspondiente, y el punto extremo de una de estas cantidades describe una línea recta o una línea curva. La concepción dominante, la función como curva, hace que surja el segundo obstáculo en la evolución de la noción de función, cuando se asocia la gráfica con la trayectoria de puntos en movimiento y no con conjuntos de puntos que satisfacen condiciones en una relación funcional. • La función como expresión analítica Esta concepción de función como expresión analítica nace en el S. XVII y continúa con Euler y Lagrange en el S. XVIII. Se pensaba que las únicas funciones dignas de estudio eran las que podían ser descriptas por medio de expresiones algebraicas. Se intentaron resolver problemas de la Física. Permanece aún la idea de asignar la variación a las “cantidades”. Aparece la idea de función no-continua. Leibniz habla de “función f(x)”. Euler generaliza como expresión analítica: f(x) = a0 + a1 z + ... + an zn + ... , donde z, en términos generales era complejo. En la definición que propone Euler del concepto de función, reemplaza el término cantidad utilizado hasta ese momento por el de expresión analítica: Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma que sea, de esta cantidad y de números o cantidades constantes.(Euler, cit por D´Hombres, cit. Por Ruiz Higueras, 1998) Posteriormente, Lagrange amplía la noción de función a toda expresión de cálculo. Esta concepción se constituye en obstáculo para la evolución de la noción de función en relación con sus ideas de dependencia y variabilidad. El punto de vista que predominó fue el aspecto puramente formal más que de relación entre variables; se entiende que una función es una combinación de operaciones dada por una expresión analítica. 5 • La función como correspondencia arbitraria: aplicación. Esta concepción de función como aplicación aparece con los últimos trabajos de Euler sobre “funciones arbitrarias”, (S.XVIII), continuando en el siglo XIX con los de Fourier sobre series trigonométricas y los de Cauchy, Dedekind y otros sobre números reales. A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de correspondencia general: se dice que “una cantidad es función de otra u otras”, aunque no se conozca por qué operaciones atravesar para llegar de una a la otra. Más tarde, Euler se ve en la necesidad de considerar funciones más generales que las funciones analíticas: las funciones arbitrarias en las cuales si x designa una cantidad variable, entonces todas las otras cantidades que dependen de x, no importa de qué manera, son llamadas funciones de x (Euler, cit. Por Ruiz Higueras, 1998, p.129) El término función se corresponde con la expresión f(x), y más tarde se representará como f: X→Y, o x → f(x). Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva representación: los diagramas de Venn. • La función como terna A finales del siglo XIX y principios del siglo XX se llama función a la terna f = (A, B, G) en donde A, B, G son conjuntos con las siguientes condiciones G ⊂ AxB, x∈A, y∈B tal que (x,y) ∈ G. Las representaciones utilizadas son las de la teoría conjuntista y se concibe que: una relación funcional está formada por pares de elementos así como un conjunto está formado por elementos individuales. En esta descripción, clara, precisa y estática ya no hay la menor sugerencia a las cantidades que fluyen engendrando magnitudes variables, ni la menor referencia a puntos moviéndose sobre curvas, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad. La concepción dominante es entonces la de función como terna, que es considerada como un obstáculo ya que, en la intención de lograr mayor precisión y rigor matemático, se pone de relieve una concepción estática: una función es una colección de pares ordenados que pertenecen a una relación. Se oculta el carácter dinámico de la asignación entre variables. Luisa Ruiz Higueras manifiesta que la constante evolución hacia definiciones cada vez más abstractas evidencia una transformación progresiva de esta noción, tanto en la forma (las diferentes definiciones) como en el fondo (los conceptos y elementos a los que modeliza). En cuanto a la forma, es interesante constatar que en las primeras definiciones del concepto de función las nociones centrales eran la variación y la dependencia; la correspondencia estaba presente pero de forma implícita. Después, cuando nos aproximamos a las definiciones modernas, 6 vemos cómo desaparece gradualmente la variación, y después la dependencia, conduciéndonos finalmente a una pura correspondencia. Veamos como ejemplo la siguiente definición: Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función f definida en un conjunto X y con valores en Y es una ley mediante la cual se hace corresponder a cada elemento de X un elemento de Y. Se dice también que X es una aplicación de X en Y. En cuanto al fondo, es evidente también que existen diferencias significativas entre las definiciones surgidas, pues no todas permiten resolver la misma clase de problemas. Las primeras concepciones de función surgieron de una visión cualitativa de problemas relacionados con el movimiento de los cuerpos y todos tenían como variable independiente el tiempo. Más tarde estos mismos problemas se estudiaron de forma cuantitativa y tomaron un status más significativo con el cálculo diferencial. Luego aparece la noción de función como expresión analítica y los problemas que se presentan están vinculados con la posibilidad de expresar todo tipo de funciones por medio de desarrollos en series. Vemos que los problemas han pasado de un plano ligado a fenómenos de la realidad, a un plano estrictamente matemático, sin permanecer necesariamente dentro de éste. El análisis desarrollado nos permite ver que detrás de la definición conjuntista, se “oculta” todo un proceso que se torna un elemento de análisis importante para la didáctica. El objetivo de realizar el análisis anterior es comprender las formas bajo las cuales este concepto se ha manifestado y los mecanismos de producción de este saber, así como acceder a las diferentes significaciones que fue adquiriendo en relación con los problemas que permitía resolver. Asimismo, este análisis permite comprender algo que muchos hemos escuchado reiteradamente: la matemática se han construido como respuesta a preguntas que han sido traducidas en otros tantos problemas; la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de esta ciencia. Para que una teoría alcance un estado acabado, ha sido necesario que haya previamente funcionado como tal en la resolución de problemas. 3. LA NOCION DE FUNCION EN LOS CONTENIDOS CURRICULARES Y LOS LIBROS DE TEXTO. El análisis de los contenidos curriculares y de los libros de texto nos permite identificar las concepciones del concepto de función que subyace y que, de alguna manera, contribuyen a la formación de las concepciones de los alumnos. 7 Tanto los libros de texto como los programas oficiales adaptan los objetos matemáticos a ciertas exigencias que precisa todo saber que se desea incluir en el sistema de enseñanza, las que le provocan transformaciones. Algunas de las exigencias a las que nos referimos son las siguientes(Ruiz Higueras, 1998): - dividirlo en campos de saber delimitados, dando lugar a un fraccionamiento y autonomización de los saberes parciales; - definir una progresión ordenada en el tiempo, lo que implica una programación de los aprendizajes; - verificar la conformidad entre la progresión y los conocimientos de los alumnos, lo que se expresa en objetivos o expectativas de logro y que implica la necesidad de evaluación; - la explicitación de algunas nociones matemáticas que se emplearán como herramientas para resolver problemas, lo que implica su introducción como objetos de estudio. En varios libros de texto, el concepto de función aparece como caso particular del concepto de relación y éste es definido a partir de algunos conceptos elementales de la teoría de conjuntos. Para los impulsores de esta ideología conjuntista el verdadero problema de la enseñanza de la matemática es el del rigor y la formalización. Así, en muchos de los libros de texto el concepto de función aparece como un objeto estático y acabado. Vemos también que, en muchos casos, primero se formaliza el conocimiento a enseñar y luego se lo aplica en la resolución de ejercicios que, en general, están construidos exclusivamente para la aplicación directa del concepto aprendido, sin ningún tipo de transformación. En la mayoría de los libros de texto de fines del siglo XIX y comienzos de siglo XX, las definiciones de función que aparecen mencionan la “cantidad de una magnitud” identificada con la variable independiente. Esta noción de función, en la que se presentan cantidades variables de ciertas magnitudes que dependen entre sí desaparece de los textos del nivel secundario con la influencia de la llamada Matemática Moderna y se propone la definición de función de variable real como subconjunto de R x R. Se presenta ya una definición en la que no existe la menor sugerencia a la dependencia entre magnitudes, ni aparece la vieja y sugestiva idea de variabilidad. Es evidente que la noción de función presentada por los textos anteriores a esta “introducción moderna” era mucho más intuitiva, la actual tiene un alto grado de formalización que la hace más abstracta. (Ruiz Higueras, op. cit . p. 169) Íntimamente ligado al concepto de función de variable real, encontramos, tanto en algunos programas como en textos escolares actuales, las definiciones formales de dominio e imagen de una función, seguidas de una serie de ejercicios para determinar dominio e imagen, no obstante, 8 por el tipo de actividad que se propone parece ignorarse porqué y para qué es necesario calcular el dominio y la imagen de una función. Las funciones con las que los alumnos trabajan para determinar su dominio se representan en muy pocas ocasiones y la representación gráfica de la función aparece como un fin en sí misma y no como una herramienta del trabajo matemático del alumno. Se representan en principio, funciones afines, cuadráticas y a trozos. La justificación de las representaciones gráficas a trozos aparece ligada a la necesidad de dar, en el futuro, un cierto grado de significación a conceptos matemáticos tales como límites laterales, continuidad, crecimiento o derivabilidad. El gráfico se constituye por lo tanto en una herramienta ostensiva del docente, para salvar la distancia entre rigor e intuición dar significación a objetos matemáticos definidos formalmente y de forma totalmente descontextualizada. Posteriormente, aparecen trabajos vinculados con operaciones entre funciones, apoyados en general sobre diagramas de Venn, como un intento de dar “algo” de significación a estas nociones, pero la distancia entre los ejemplos y los ejercicios a los que posteriormente el alumno se ve enfrentado, es muy grande. Quedan fuera de esta línea de trabajo los diferentes significados del concepto de función, el campo de problemas que permite poner en juego esos significados y el potencial modelizador de esta noción. Uno de los conceptos constitutivos de la noción de función entendida como herramienta apta para modelizar fenómenos de cambio es, como ya dijimos, la noción de dependencia. La noción de dependencia implica la existencia de un vínculo entre cantidades y conlleva la idea de que un cambio en una de las cantidades tendrá efecto sobre las otras. Pero la noción de dependencia es difícilmente identificable sin otra noción que constituye, desde nuestro punto de vista, el verdadero punto de partida del concepto de función: la variabilidad. En efecto, el único medio de percibir que una cosa depende de otra es hacer variar cada una por vez y constatar el efecto de la variación. Los principales elementos que integran la noción de función son, entonces, la variación, la dependencia, la correspondencia, la simbolización y expresión de la dependencia y las distintas formas de representación, sea ella algebraica, gráfica u otra. Veamos cómo aparece el concepto de función en los contenidos básicos para la EGB y para la educación polimodal. De la síntesis explicativa correspondiente al bloque 3 “Lenguaje gráfico y algebraico” 1 se desprende una concepción un tanto diferente a las propuestas por las currículas anteriores: 1 Contenidos Básicos Comunes para la Educación General Básica. Ministerio de Cultura y Educación,1995. 9 aparecen resaltados elementos ligados a la noción de función tales como los de variable, dependencia y cambio, fundamentales para la adquisición de significaciones de dicho concepto. Las funciones son, en esta instancia, “herramientas que permiten modelizar fenómenos de la realidad” . En los contenidos básicos para la educación polimodal, la noción de función, sus diferentes representaciones y el estudio detallado del comportamiento de las funciones más utilizadas, adquieren mayor relevancia. Del análisis de los CBC para Polimodal se desprende que se pretende que los alumnos continúen el estudio de las funciones, correspondiendo a este nivel un tratamiento más sistemático y profundo de las nociones de variable, parámetro y dependencia; las variables discretas y continuas; las distintas formas de representación de funciones (coloquial, gráfica, analítica, por tablas, etc.); la caracterización de los dominios o conjuntos de definiciones; el uso de este concepto y sus limitaciones en la modelización de situaciones provenientes de la matemática y de otras áreas de conocimiento. Creemos que los diferentes elementos constitutivos del concepto que se mencionan en el párrafo anterior, así como algunas caracterizaciones, deberían aparecer en esta etapa de la escolaridad como recursos que permiten acceder a una mejor conceptualización de la noción de función, la que jugará el papel de instrumento para resolver problemas. Un deslizamiento del objeto de estudio hacia la algoritmización oculta el sentido de dependencia, de variación y de cambio que se tornan significativos en la resolución de problemas. Es en la resolución de problemas donde las fórmulas y los gráficos resultan realmente funcionales. 4. CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO DE LA NOCION DE FUNCIÓN. Varios especialistas han realizado investigaciones con el propósito fue identificar distintas concepciones relativas a la noción de función. Luisa Ruiz Higueras2 llevó a cabo una investigación para la cual aplicó un cuestionario a una muestra de alumnos de entre 14 y 18 años. En el mismo, se incluyeron situaciones de distinta naturaleza: algunas destinadas a que los alumnos propongan una descripción personal de la noción de función; otras relacionadas con representaciones simbólicas, gráficas y algebraicas; y otras que requieren de una modelización funcional. 2 Ruiz Higueras, L. (1998), La noción de función: Análisis epistemológico y didáctico, España: Editorial de la Universidad de Jaén 10 Entre las conclusiones de su investigación esta autora destaca que algunos aspectos de las concepciones locales de los alumnos pueden identificarse con concepciones asociadas a la evolución histórica de esta noción. La mayoría de las definiciones de función dadas por los encuestados incluye términos algebraicos: es una fórmula, es una ecuación, es una expresión con números y letras, etc. En el resto de las definiciones aparecen, fuertemente, términos que remiten a lo numérico o gráfico: es dar valores a una ecuación, es una operación entre números, es una tabla que podemos representar en un gráfico, etc. Es decir, las definiciones que desarrollaron los alumnos describen los usos que han hecho y muestran que conciben la función como un cierto procedimiento. En sus conclusiones sobre las definiciones Ruiz Higueras expresa: “Nuestros alumnos de secundaria manifiestan en general una concepción de la noción de función como un procedimiento algorítmico de cálculo...Podemos decir que sus definiciones no determinan el objeto función, sino las relaciones que han mantenido con él” En muy pocos casos los alumnos consideran la función como transformación de magnitudes variables. Sin embargo, las situaciones de variación que consideran los alumnos en tales casos corresponden al contexto geométrico, en el que las transformaciones o cambios de forma se aprecian de modo intuitivo. En el trabajo con los problemas que se les propusieron, en ningún caso, los alumnos hicieron mención a la necesidad de controlar el campo de variabilidad de las variables, aún cuando la relación establecida carece de sentido sin ese control. No hubo ningún alumno de los 244 consultados que admitiese que sólo controlando los valores de las variables se puede evitar el absurdo de algunos resultados. Los alumnos, al resolver los problemas intentan determinar cómo varía una situación sin analizar ni precisar qué varía en esa situación. ¿Por qué los alumnos no tienen en cuenta la importancia del dominio para otorgar significación a las expresiones algebraicas obtenidas, aún cuando han dedicado múltiples cálculos a la determinación de dominios? En este sentido, Freudenthal (1983) afirma: “el verdadero origen de las ideas puede quedar atascado por los automatismos” Ruiz Higueras(1998) concluye: “... tanto se ha descompuesto el objeto función en segmentos para su enseñanza que el alumnos no logra unificarlos dándoles una significación global. El alumno ha visto muchos objetos allí donde sólo debía existir uno” 11 Al proponer a los alumnos un problema en un contexto de proporcionalidad, la investigadora pudo comprobar que estos privilegiaron el uso de estrategias tales como la regla de tres, lo que no implica un pensamiento funcional, sino proporcional. La proporción se puede considerar como un obstáculo para el desarrollo de la noción de función, el aspecto funcional queda oculto por el carácter escalar de la proporción.(Ruiz Higueras, op. Cit.) La fórmulas algebraicas son visualizadas como conjunto de técnicas eficaces para encontrar el valor de las incógnitas, esta concepción elimina el sentido de variabilidad, movilizando incógnitas en lugar de variables. Teniendo en cuenta el análisis de las respuestas de los alumnos al conjunto de situaciones propuesta, la autora ha identificado distintos tipos de obstáculos, como por ejemplo: • Las técnicas algebraicas desarrolladas para traducir “en ecuación” los datos de determinados problemas a través de la movilización de “incógnitas” pueden constituir un obstáculo para el desarrollo de las nociones de variable y de variabilidad, elementos imprescindibles para el pensamiento funcional. • El tratamiento dado a fórmulas geométricas o físicas, tales como S = b . h, o bien e = v . t sólo se centra en su aspecto mostrativo (cómo se relacionan las variables) mientras no consideran el análisis del dominio de variabilidad (qué cambia). • Las técnicas asociadas a la proporcionalidad se pueden constituir en obstáculo para desarrollar el pensamiento funcional. • La economía que ofrecen los números naturales o enteros en el cálculo se puede constituir en obstáculo para el conocimiento de las funciones de variable real, restringiendo la noción de función exclusivamente a la de sucesión. • Otras. Ruiz Higueras concluye: “....existe en nuestros alumnos una diversidad de concepciones respecto de la noción de función...Algunas de estas concepciones tienen invariantes y representaciones análogas a diferentes concepciones identificadas en la génesis histórica de la noción de función, aunque sus situaciones de empleo no son coincidentes, ya que las concernientes a los alumnos están condicionadas por la epistemología escolar.... ... El sistema de enseñanza en el que se encuentran nuestros alumnos no promueve el estudio y análisis de la variabilidad de fenómenos sujetos a cambio, donde las funciones encontrarían una especial significación estrechamente ligada a sus orígenes epistemológicos. 12 Las situaciones ligadas a las diferentes concepciones de los alumnos se refieren al uso de rutinas y procedimientos algorítmicos: construir tablas, calcular dominios, representar funciones, etc. Todo lo anterior nos conduce a confirmar la hipótesis formulada en la investigación ya que el tratamiento dado por el sistema de enseñanza a la noción de función da lugar a la formación de concepciones muy limitadas, que no generan una concepción más completa de la noción de función... El conocimiento de las restricciones que impone el sistema didáctico a propósito del caso del objeto función es pertinente para poder identificar el dominio de las modificaciones que didácticamente son posibles de llevar a cabo para optimizar el aprendizaje de los alumnos...”(Ruiz Higueras, op.cit p.298-299). 6. BIBLIOGRAFIA • Alayo, Félix. Funciones y gráficas. En revista Suma vol. 4. España, 1989. • Azcárate C. Y Deulofeu Piquet, J. Funciones y Gráficas. Ed. Síntesis 1996 • Barallobres, Gustavo Funciones. Documento Curricular. MCBA 1998 • Chemello y Díaz. Matemática. Modelos didácticos. Prociencia, Conicet. 1996. • Documentos de actualización curricular en Matemática, n°1 y 4. Municipalidad de la Ciudad de Buenos Aires. (1996 – 1997). • Douady, R. Juegos de marcos y dialéctica instrumento-objeto en la enseñanza de la matemática. Universidad de París. 1984. • Grupo “Lycée” del I.R.E.M. de Clermont-Ferrand. Introducción a la noción de función en seconde. 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