CAPÍTULO 1 EL CAMPO ELECTROSTÁTICO CONTENIDOS 1. CARGA ELÉCTRICA. 2.LEY DE COULOMB. 3.CAMPO ELECTROSTÁTICO. 4.POTENCIAL ELECTROSTÁTICO. 5.TEOREMA DE GAUSS. 6.DIPOLO ELÉCTRICO. 7.ACCIONES DE UN CAMPO EXTERIOR SOBRE UN DIPOLO. BIBLIOGRAFÍA -MANGLANO. LECCIONES DE FÍSICA. TOMO III -URCHUEGUÍA. ELECTROMAGNETISMO PARA LA INGENIERÍA -LORRAIN-CORSON. CAMPOS Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICOS. -ALONSO-FINN. FÍSICA. -CATALÀ. FÍSICA GENERAL. 1. CARGA ELÉCTRICA. a) b) c) d) e) f) g) En la Naturaleza existen partículas elementales y sistemas. Aunque se conocen más de una treintena de partículas elementales, las más comunes son el protón y el electrón. Se suele denominar micropartículas a los átomos y moléculas, cuya característica más importante es la ley de interacción. Existen tres tipos de interacción: Electromagnética; gravitatoria y nuclear. En cuanto a la electromagnética, el caso más simple, es la de partículas en reposo relativo tal que la fuerza de interacción depende de la distancia entre micropartículas y su característica carga eléctrica. La unidad elemental de carga es la del electrón. Se cumple la Ley de Conservación de la Carga En los procesos, la suma algebraica de las cargas no varia. Para la descripción matemática es conveniente sustituir la verdadera distribución de cargas puntuales por una distribución continua ficticia. Se utiliza el concepto de densidad de cargas en volumen La función continua de la densidad de carga se puede establecer mediante la función- Kronecker sustituyendo este valor, se obtiene 𝜌 𝑟 𝑑𝑉 = 𝑞𝑖 𝛿 𝑟 − 𝑟𝑖 𝑑𝑉 = 𝑞𝑖 𝑖 En particular, la densidad de carga que corresponde una carga situada en el punto O, se puede representar en la forma, 𝜌 𝑟 = 𝑞𝛿 𝑟 − 𝑟𝑜 La introducción de una densidad continua de carga permite describir mediante funciones de punto continuas tanto el propio campo, como la distribución de cargas. 2. LEY DE COULOMB z j i y x Se cumple: -Cuando las dimensiones de las cargas son muy pequeñas en comparación con la distancia que las separa. - Cuando las cargas están en reposo relativo. - Se aplica en interacciones de partículas elementales. - El Principio de Superposición. Ejemplo 1. ¿Con qué fuerza actuarían mutuamente dos cargas puntuales de un culombio, situadas a una distancia de 1 km una de otra? Ejemplo 2. Comparar las fuerzas de atracción gravitatoria y eléctrica entre un electrón y un protón. 3. CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR LAS CARGAS ELÉCTRICAS EN REPOSO, INTERPRETÁNDOSE LA ACCIÓN ENTRE CARGAS POR LA CONSIDERACIÓN DE QUE LA REGIÓN DEL ESPACIO QUE RODEA LAS CARGAS ADQUIERE UNAS PROPIEDADES ESPECIALES DEBIDO A LA PRESENCIA DE CARGAS ELÉCTRICAS. CONCEPTO DE CAMPO: SE PUEDE DEFINIR EL CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR UNA DETERMINADA CARGA, COMO LA REGIÓN DEL ESPACIO DONDE SE MANIFIESTA UNA FUERZA SOBRE CUALQUIER CARGA EN REPOSO INTRODUCIDA EN ÉL. LA RELACIÓN CAMPO ELÉCTRICO-FUERZA ES, NOS SIRVE PARA CUANDO NO SE CONOCE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS QUE CREA EL CAMPO E INCLUSO CUANDO LAS CARGAS GENERADORAS DEL CAMPO Qi ESTÁN EN MOVIMIENTO, Y TIENE EL INCONVENIENTE DE QUE PARA MEDIR EL CAMPO ELÉCTRICO ES NECESARIO INTRODUCIR LA CARGA DE PRUEBA Q QUE AUNQUE SEA MUY PEQUEÑA SIEMPRE PERTURBARÁ ALGO EL CAMPO EXISTENTE ANTES DE INTRODUCIRLA. DIRECCIÓN DEL CAMPO: LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA QUE ACTÚA SOBRE UNA CARGA POSITIVA SITUADA EN UN PUNTO. SENTIDO DEL CAMPO: SALIENTE DE LA CARGA POSITIVA Y ENTRANTE EN LA NEGATIVA. PROPIEDADES: a. Cumple el Principio de Superposición. b. Tiene existencia real (posee energía, impulso,…etc) c. No existe interacción a distancia entre dos partículas. Se produce mediante la Teoría de la acción contigua, la cual implica sucesivas perturbaciones en la región del espacio desde la primera carga hasta la carga de destino. d. El trabajo realizado por el campo sobre la partícula de prueba cuando ésta se desplaza desde el punto 1 al punto 2, no depende del camino seguido. Esto significa que el trabajo de desplazamiento a lo largo de un contorno cerrado es cero. 3. CAMPO ELECTROSTÁTICO El resultado anterior conduce a, 𝐸 𝑑𝑙 = 0 El campo electrostático es conservativo. Se puede deducir del hecho de ser central la fuerza culombiana. Si el campo eléctrico está producido por una distribución de cargas fijas, las intergrales correspondientes a cada carga individual de la distribución son todas nulas. Es un resultado general para toda distribución de cargas fijas. Como la circulación del campo electrostático a lo largo de una trayectoria cerrada es cero, al aplicar el Teorema de Stokes, 𝐸 𝑑𝑙 = ∇ ∧ E 𝑑𝑆 = 0 𝐶 𝑆 La superficie S es arbitraria y limitada por la línea de integración C. Entonces, se deduce que, ∇∧𝐸 =0 El campo electrostático carece de vórtices. Las líneas de campo son abiertas, existiendo fuentes de campo (cargas positivas) y sumideros (cargas negativas) CAMPO ELÉCTRICO CALCULADO EN FUNCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS PUNTUALES, VOLUMÉTRICA, SUPERFICIAL Y LINEAL QUE LO CREAN SI TENEMOS UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES, UNA DISTRIBUCIÓN VOLUMÉTRICA DE CARGA DEFINIDA POR (r), UNA DISTRIBUCIÓN SUPERFICIAL DEFINIDA POR (r), Y UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL DEFINIDA POR (r), EL CAMPO EN UN PUNTO, EN VIRTUD DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN ES, 𝐸 𝑟 = 𝐾𝑜 𝑄𝑖 𝑟𝑖 + 𝑟𝑖3 𝑉 𝜌 𝑟 𝑑𝑉 + 𝑟3 𝑆 𝜎 𝑟 𝑑𝑆 + 𝑟3 ℓ 𝜆 𝑟 𝑑ℓ 𝑟3 DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO POR INTEGRACIÓN Dado un hilo conductor semicircular adosado a otro conductor rectilíneo, como indica la figura, cargados con una densidad de carga lineal uniforme , se pide calcular el campo eléctrico en el punto O (centro de la semicircunferencia de radio R). SOLUCIÓN Tramo 1. El campo eléctrico creado por el tramo 1 en O es: dE1 = −dE ⋅ j 1 dq dE = 4⋅π⋅ε ⋅ y 2 0 λ dE1 = − 4⋅π⋅ε ⋅ 0 dℓ ℓ+R 2 ⋅j dq = λ ⋅ dℓ y=ℓ+R Integrando: λ E1 = − 4⋅π⋅ε ⋅ 0 ∞ dℓ R ℓ+R 2 λ ⋅ j = − 4⋅π⋅ε ⋅ 0 −1 ∞ ℓ+R R λ ⋅ j = − 8⋅π⋅ε 0 ⋅R ⋅j Tramo 2. El campo eléctrico creado por el tramo 2 en O es: dE2 = dEx ⋅ i − dEy ⋅ j dEx = sen θ ⋅ dE ; dEy = cos θ ⋅ d Sustituyendo, se tiene: dE2 = dE ⋅ sen θ ⋅ i − cos θ ⋅ j dl λ dE = 4⋅π⋅ε ⋅ R 2 0 ; dl = R ⋅ dθ λ E2 = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R π π cos θ ⋅ dθ ⋅ j = sen θ ⋅ dθ ⋅ i − 0 0 λ ⋅i 2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R Tramo 3. Análogamente a como se ha operado en el tramo 1, pero con sentido opuesto, es decir: E3 = λ ⋅j 8 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R El campo eléctrico total resultante en el punto O es: ET = E1 + E2 + E3 = λ ⋅i 2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ R 3. CAMPO ELECTROSTÁTICO LÍNEAS DE FUERZA SE HA DEFINIDO EL CAMPO ELÉCTRICO ASIGNANDO UN VALOR A CIERTA VARIABLE FÍSICA EN TODOS LOS PUNTOS DEL ESPACIO. EL CAMPO ES VECTORIAL Y SE PUEDE ESCRIBIR EN COORDENADAS CARTESIANAS 𝐸 = 𝐸𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑖 + 𝐸𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑗 + 𝐸𝑍 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑘 LAS LÍNEAS DE FUERZA SON LAS TRAYECTORIAS QUE SEGUIRÍA UNA CARGA POSITIVA, SOMETIDA A LA INFLUENCIA DEL CAMPO, EN UNA SUCESIÓN DE CAMINOS ELEMENTALES, PARTIENDO, EN TODOS ELLOS, DEL REPOSO. EL CONCEPTO BÁSICO DE CAMPO FUE DESARROLLADO POR MICHAEL FARADAY (17911867) Y UTILIZÓ LAS LÍNEAS DE CAMPO O LÍNEAS DE FUERZA PARA HACER UNA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUERZAS ELÉCTRICAS QUE ACTÚAN EN EL ESPACIO QUE RODEA UN CUERPO CARGADO. EL CONCEPTO MATEMÁTICO ACTUAL DE CAMPO FUE UNA ABSTRACCIÓN POSTERIOR DE SU PROPIA REPRESENTACIÓN GRÁFICA. IMAGINEMOS UNA CARGA POSITIVA QUE ABANDONAMOS EN UN CAMPO ELÉCTRICO. COMENZARÁ A MOVERSE POR LA INFLUENCIA DEL CAMPO. EN CUANTO HA INICIADO SU MOVIMIENTO LA DETENEMOS, VOLVIENDO A ABANDONARLA DE NUEVO Y A DETENERLA. DE ESTA FORMA DESCRIBIRÍA UNA TRAYECTORIA – SUCESIÓN INDEFINIDA DE ESPACIOS ELEMENTALES – QUE SE LLAMA LÍNEA DE FUERZA. EL VECTOR INTENSIDAD DEL CAMPO ES SIEMPRE TANGENTE A LAS LÍNEAS DE FUERZA. LAS LÍNEAS DE FUERZA VAN DE LAS CARGAS POSITIVAS A LAS NEGATIVAS. PARA DAR UNA IDEA GRÁFICA DEL CAMPO ELÉCTRICO SE CONVIENE EN REPRESENTAR SU VALOR EN UN PUNTO POR EL NÚMERO DE LÍNEAS DE FUERZA QUE ATRAVIESAN NORMALMENTE A LA UNIDAD DE SUPERFICIE LOCALIZADA EN DICHO PUNTO. REALMENTE EL NÚMERO DE LÍNEAS DE FUERZA QUE ATRAVIESA NORMALMENTE A CUALQUIER SUPERFICIE ES INFINITO. ESTE ARTIFICIO NO ES MÁS QUE UN SISTEMA DE REPRESENTACIÓN. EN UN CAMPO UNIFORME, LAS LÍNEAS DE FUERZA SON PARALELAS Y SE DIBUJAN EQUIDISTANTES. 3. CAMPO ELECTROSTÁTICO LA PROPIEDAD DE QUE UNA LÍNEA DE CAMPO, SEA SIEMPRE TANGENTE AL VECTOR INTENSIDAD ELÉCTRICO, PODEMOS EXPRESARLA, 𝐸 ∧ 𝑑𝑟 = 0 EXPRESIÓN QUE NOS PROPORCIONA UN PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA ECUACIÓN DE LAS LÍNEAS DE CAMPO. EN GENERAL ES COMPLICADO, SIMPLIFICÁNDOSE EN EL CASO DEL PLANO, E X dy EY dx 0 dy E X f x, y dx EY EL PROBLEMA SE REDUCE ASÍ A LA RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN, QUE EN MUCHAS OCASIONES ES TAMBIÉN COMPLICADA. Ejemplo: Hallar la ecuación de las líneas de campo que surgen de una carga puntual positiva. SUPONGAMOS COLOCADA LA CARGA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS. EL CAMPO ELECTROSTÁTICO PRODUCIDO POR ELLA EN UN PUNTO P(x,y) ES, 𝐸 𝑃 = 𝐾𝑜 𝑄 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑟3 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 + 𝑑𝑦𝑗 𝐸 ∧ 𝑑𝑟 = 𝐾𝑜 xdy ydx 0 𝑄 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝑘 = 0 𝑟3 dy dx y x ln y ln x C y eC x ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR EL ORIGEN CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO 𝐸 = 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 OPERADOR NABLA ∇= δ δ δ 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 δx δy δz ROTACIONAL 𝑖 δ ∇∧E= δx x 𝑗 𝑘 δ δ =0 δy δz y 0 CIRCULACIÓN DEL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA Y (1,1) (0,1) (0,0) X (1,0) (1,1) 𝐸 𝑑𝑟 = 𝐶 (0,1) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 + (1,0) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 (1,1) (0,0) + (1,0) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 + (0,1) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 (0,0) 1er término del segundo miembro: dx = 0 resultado = Eo/2 2º término del segundo miembro: dy = 0 resultado = -Eo/2 3er término del segundo miembro: dx = 0 resultado = -Eo/2 4º término del segundo miembro: dy = 0 resultado = Eo/2 TEOREMA DE STOKES 𝐸 𝑑𝑟 = 𝐶 ∇ ∧ E 𝑑𝑆 𝑆 Siendo 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘 . Es evidente que se cumple. CAMPO VECTORIAL NO CONSERVATIVO 𝐸 = 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 ROTACIONAL 𝑖 𝑗 𝑘 δ δ δ ∇∧E= =y𝑘 δx δy δz x xy 0 CIRCULACIÓN DEL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA Y (1,1) (0,1) (0,0) X (1,0) (1,1) 𝐸 𝑑𝑟 = 𝐶 (0,1) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 + (1,0) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 (1,1) (0,0) + (1,0) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 + (0,1) 𝐸𝑜 𝑥𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 𝑑𝑥𝑖 + dy𝑗 (0,0) 1er término del segundo miembro: dx = 0 resultado = Eo/2 2º término del segundo miembro: dy = 0 resultado = Eo/2 3er término del segundo miembro: dx = 0 resultado = 0 4º término del segundo miembro: dy = 0 resultado = Eo/2 TEOREMA DE STOKES 𝐸 𝑑𝑟 = ∇ ∧ E 𝑑𝑆 𝐶 𝑆 Siendo 𝑑𝑆 = 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘 ∇ ∧ E 𝑑𝑆 = 𝑆 𝑆 𝐶 3 𝑦 𝑘 · 𝑑𝑥 · 𝑑𝑦 𝑘 = 𝐸𝑜 2 3 𝐸 𝑑𝑟 = 𝐸𝑜 2 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO ESTUDIEMOS LAS CARACTERÍSTICAS DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL “Q” SITUADA EN EL VACÍO. EL TRABAJO ELEMENTAL POR UNIDAD DE CARGA CONTRA LAS FUERZAS DEL CAMPO. FUERZA DEL CAMPO 𝐹 = 𝐾𝑜 𝑄𝑞 𝑟 𝑟3 𝑑𝑊 𝑄 𝑟 𝑄 𝑑𝑟 = −𝐸 𝑑𝑟 = − 𝑑𝑟 = − = 𝑑𝑉 𝑞 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 3 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 2 − SE ORIGINA UNA FUNCIÓN ESCALAR V(X,Y,Z) DENOMINADA POTENCIAL QUE DESCRIBE COMPLETAMENTE EL CAMPO ELECTROSTÁTICO. INTEGRANDO POTENCIAL. ENTRE 𝐵 − 𝐴 DOS PUNTOS 𝑄 𝐹 𝑑𝑟 = − 4𝜋𝜀𝑜 𝐵 𝐴 DETERMINAMOS LA DIFERENCIA DE 𝑑𝑟 𝑄 1 1 = − = 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 𝑟 2 4𝜋𝜀𝑜 𝑟𝐵 𝑟𝐴 LA FUNCIÓN POTENCIAL NO ESTÁ UNÍVOCAMENTE DEFINIDA. SE LE PUEDE AÑADIR CUALQUIER CONSTANTE SIN AFECTAR EN EL VALOR DEL CAMPO. SE ESTABLECE UN ORIGEN DE POTENCIALES: V=0 EN EL INFINITO. 𝑃 𝑉𝑃 − 𝑉∞ = 𝑉𝑃 = − 𝐸 𝑑𝑟 = ∞ 𝑄 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 AUNQUE LAS EXPRESIONES ANTERIORES SIRVEN PARA EL CASO DE CAMPO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL “Q”, APLICANDO EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN, SE INFIERE SU VALIDEZ PARA CUALQUIER CAMPO ELECTROSTÁTICO. 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO UNIDAD DE POTENCIAL: EN EL S.I. SE LLAMA VOLTIO Y ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS TALES QUE AL DESPLAZARSE ENTRE ELLOS LA CARGA DE UN CULOMBIO, SE REALIZA UN TRABAJO DE UN JULIO. LA UNIDAD ELECTROSTÁTICA DE POTENCIAL ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS TALES QUE PARA TRASLADAR DE UNO A OTRO LA CARGA DE 1 UEE HAY QUE REALIZAR EL TRABAJO DE 1 ERGIO. LA RELACIÓN ENTRE LAS DOS UNIDADES ES: 1 UEE = 300 V EL ELECTRÓN-VOLTIO (eV) ES UNA UNIDAD DE ENERGÍA QUE SE DEFINE COMO LA ENERGÍA ADQUIRIDA POR UN ELECTRÓN AL SER ACELERADO POR UN CAMPO ELÉCTRICO ENTRE DOS PUNTOS CUYA DIFERENCIA DE POTENCIAL ES DE UN VOLTIO. 1 eV = 1.602·10-19 J SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL: ES EL LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS PUNTOS QUE ESTÁN AL MISMO POTENCIAL. V(X,Y,Z)=CTE. PARA UNA CARGA PUNTUAL SON ESFERAS E +Q LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES SE CORTAN NORMALMENTE CON LAS LÍNEAS DEL CAMPO. SON PROPIEDADES INMEDIATAS DE LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: 1) LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES NO SE CORTAN ( EL POTENCIAL EN UN PUNTO TIENE UN VALOR ÚNICO). 2) EN EL INTERIOR DE UNA SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL CERRADA DE POTENCIAL NO NULO EXISTE NECESARIAMENTE CARGA NETA NO NULA. 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO SI QUEREMOS CONSIDERAR EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO EN UN PUNTO DADO, DEBEMOS ELEGIR UN ORIGEN PARA LA FUNCIÓN POTENCIAL. LO MÁS CONVENIENTE ES TOMAR COMO ORIGEN DE POTENCIALES EL INFINITO, PERO SE PUEDE SEGUIR CUALQUIER OTRO CRITERIO. EL ADMITIR COMO SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL NULA LA SUPERFICIE ESFERICA DE RADIO INFINITO, SERÁ POSIBLE SIEMPRE Y CUANDO NO EXISTAN CARGAS EN EL INFINITO, COMO OCURRE EN EL CASO DE UNA DISTRIBUCIÓN INDEFINIDA DE CARGAS. POR LA TEORÍA DE CAMPOS SE PUEDEN DEDUCIR LAS SIGUIENTES PROPIEDADES DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO: A) EL DIFERENCIAL DEL POTENCIAL ES UNA DIFERENCIAL EXACTA. B) EL CAMPO ELECTROSTÁTICO ES IRROTACIONAL. C) SE VERIFICA LA IGUALDAD DE DERIVADAS CRUZADAS. D) EL TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO NO DEPENDE DEL CAMINO SEGUIDO SINO SÓLO DE LOS PUNTOS INICIAL Y FINAL. E) EL TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA CERRADA ES NULO. F) EL CAMPO DERIVA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL. 𝐸 = −∇V La ecuación del operador nabla en coordenadas cartesianas es, 𝐸=− 𝜕 𝜕 𝜕 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 ·𝑉 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 LA VARIACIÓN DEL POTENCIAL POR UNIDAD DE LONGITUD AL MOVERNOS EN UNA DETERMINADA DIRECCIÓN, ES IGUAL Y DE SIGNO CONTRARIO A LA COMPONENTE DEL CAMPO EN ESA MISMA DIRECCIÓN. LA VARIACIÓN MÁXIMA IMPLICA EL VALOR QUE CORRESPONDE AL GRADIENTE DEL POTENCIAL. PROBLEMA DE CÁLCULO DE CAMPO ELÉCTRICO APLICANDO EL GRADIENTE DE LA FUNCIÓN POTENCIAL Una corona circular metálica de radios R1 y R2 (R1 < R2), de espesor despreciable, está cargada con una densidad uniforme de (C/m2). Se pide calcular en un punto cualquiera P del eje perpendicular al plano de la corona: 1º.- Potencial electrostático VP. 2º.- Campo electrostático. Z P r z R SOLUCIÓN 1º.- Potencial VP. La carga dq situada en una corona circular de anchura ''dR'', produce un potencial VP en el punto P del eje situado a una distancia ''z'' del plano: 2RdR VP dVP 4 0 r S S corona circular dq dS 2RdR siendo r R 2 z 2 dV dq 4 0 r Integrando obtenemos: VP 2 0 R 2 2 z 2 R 12 z 2 VP 2 0 R2 R1 2º.- Campo electrostático. A partir del campo potencial hallado en el apartado anterior resulta: 𝐸 = −∇V = − dV d σ k=− R22 + z 2 − R21 + z 2 dz dz 2εo σ z z = − k 2εo R21 + z 2 R22 + z 2 R dR R 2 z2 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO 2 𝑊1→2 = 𝐹 𝑑𝑟 = 𝑈1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑈2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 1 LA DIFERENCIA DE LA ENERGÍA POTENCIAL OBEDECE AL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. LA ENERGÍA POTENCIAL ES UNA FUNCIÓN DE PUNTO TAL QUE LA DIFERENCIA ENTRE SUS VALORES EN LAS POSICIONES INICIAL Y FINAL ES IGUAL AL TRABAJO EFECTUADO POR LA FUERZA CONSERVATIVA DEL CAMPO AL SER DESPLAZADA LA PARTÍCULA DESDE LA POSICIÓN INICIAL A LA FINAL. EL TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA DELCAMPO ES IGUAL A MENOS EL INCREMENTO DE LA ENERGÍA POTENCIAL. EN FORMA DIFERENCIAL ES, 𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑𝑟 = −𝑑𝑈 𝐹 = −∇𝑈 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA DE UNA CARGA q SITUADA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR UNA CARGA Q 1 1 U1 U 2 K OQq r1 r2 EXPRESIÓN QUE NOS MIDE EL TRABAJO REALIZADO PARA TRASLADAR LA CARGA q DESDE UN PUNTO 1 AL PUNTO 2 DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO. NO SE PUEDE CALCULAR LA ENERGÍA POTENCIAL ABSOLUTA DE UNA CARGA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO. SIN EMBARGO, SI CONVENIMOS QUE EN UN PUNTO DEL ESPACIO LA ENERGÍA POTENCIAL SEA NULA, LLAMAREMOS ENERGÍA POTENCIAL EN UN PUNTO CUALQUIERA DEL CAMPO A LA DIFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL ENTRE EL PUNTO EN EL CUÁL SE ANULA Y EL PUNTO CONSIDERADO. LA HIPÓTESIS MÁS FRECUENTE ES SUPONER “U = 0” EN EL INFINITO. LA ENERGÍA POTENCIAL DE UNA CARGA q ES NULA, EN UN PUNTO LO SUFICIENTEMENTE ALEJADO PARA QUE PRÁCTICAMENTE NO EXISTA INFLUENCIA DEL CAMPO. ENTONCES, LA EXPRESIÓN QUE NOS MIDE EL TRABAJO QUE HA DE REALIZAR UNA FUERZA EXTERIOR PARA TRASLADAR LA CARGA q DESDE EL INFINITO AL PUNTO EN PRESENCIA DE Q, O BIEN EL TRABAJO QUE HARÍA LA FUERZA DEL CAMPO PARA TRASLADARLA DEL PUNTO AL INFINITO, ES, U KO Qq r LA ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA PUEDE SER POSITIVA O NEGATIVA DEPENDIENDO DE LOS SIGNOS DE LAS CARGAS. LA ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA SIEMPRE ES NEGATIVA. 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO MOVIMIENTO DE UNA CARGA EN UN CAMPO ELECTROSTÁTICO SUPONGAMOS QUE q SE MUEVE POR LA ACCIÓN DE FUERZAS ELECTROSTÁTICAS QUE Q PRODUCE. SEAN r1 Y r2 LAS DISTANCIAS DE Q AL PUNTO 1 Y 2 RESPECTIVAMENTE, ADEMÁS DE CONSIDERAR COMO ORIGEN DE ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA EL INFINITO. POR EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO CONSERVATIVO, SE TIENE, 1 Qq 1 Qq m v12 K O m v22 K O 2 r1 2 r2 APLICANDO LA SEGUNDA LEY DE NEWTON, 𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝑞𝐸 = 𝑚𝑎 ; 𝑠𝑖 𝐸 = 𝐾𝑜 𝑄 𝑄𝑞 𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝐾 𝑟 𝑜 𝑟3 𝑚𝑟 3 SI SE SUPONE UNA SUCESIÓN DE ESTADOS DE EQUILIBRIO, TAL QUE NO EXISTEN ACELERACIONES Y SE ANULA EL TÉRMINO DE ENERGÍA CINÉTICA, ENTONCES INTERVIENEN SÓLO LAS ENERGÍAS POTENCIALES, DE MODO QUE, TODO SISTEMA FÍSICO ABANDONADO A SÍ MISMO TENDERÁ HACIA EL MÍNIMO DE SU ENERGÍA POTENCIAL. U = q V q > 0 ESPONTÁNEO V < 0 q < 0 ESPONTÁNEO V > 0 -q SENTIDO POTENCIALES CRECIENTES SENTIDO POTENCIALES CRECIENTES -q +q +q - + SENTIDO POTENCIALES DECRECIENTES SENTIDO POTENCIALES DECRECIENTES PROBLEMA DE BALANCE DE ENERGÍA Sean dos esferas cargadas B y C con 1 C cada una, fijas en el espacio, aisladas y alejadas una distancia a = 10 m. A una distancia de 10 m, perpendicular al punto medio (M) entre las esferas, existe una partícula en reposo de masa 1 g y carga de 1 pC (punto A). Esta partícula debe moverse en línea recta hasta llegar al punto medio M. A d M B C a Calcular la velocidad inicial que se le debe comunicar a la partícula A para que llegue al punto M con velocidad cero. El campo electrostático es conservativo; por lo tanto, haciendo un balance de energías: 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 + 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝐴 = 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝑀 + 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝑀 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 = 𝑞 𝑄𝐵 𝑄𝐶 + 4𝜋𝜀𝑜 𝑑 𝑑 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝐴 = 1 𝑚𝑣 2 2 𝐴 ; 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 𝐸𝑁 𝐴 = ; 𝐸𝐶𝐼𝑁 𝐸𝑁 𝑀 = 0 𝑣𝐴 = 0,002 𝑚 · 𝑠 −1 𝑞 𝑄𝐵 𝑄𝐶 + 𝑎 4𝜋𝜀𝑜 𝑎 2 2 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO SE HA VISTO QUE LA ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA QUE POSEEN DOS CARGAS PUNTUALES ES, U KO q1q2 r12 SI LAS CARGAS SON DEL MISMO SIGNO, EL TRABAJO SE HA EFECTUADO SOBRE EL SISTEMA Y POR TANTO ES POSITIVA LA ENERGÍA. LA ENERGÍA POTENCIAL SERÍA NEGATIVA SI LAS CARGAS FUESEN DE DISTINTO SIGNO, LO QUE QUIERE DECIR QUE EN ESTE CASO ES EL CAMPO ELÉCTRICO EL QUE REALIZA UN TRABAJO POSITIVO. SUPONGAMOS AHORA UNA DISTRIBUCIÓN DE TRES CARGAS. LA ENERGÍA QUE POSEE EL SISTEMA SERÁ EL TRABAJO NECESARIO PARA FORMAR DICHA CONFIGURACIÓN. SI PARTIMOS DE LA EXISTENCIA DE DOS CARGAS 1 Y 2 AL ACERCAR LA CARGA 3 EL TRABAJO SERÁ, q q q q U 3 KO 1 2 2 3 r23 r12 ENTONCES EL TRABAJO TOTAL O ENERGÍA DEL SISTEMA ES, U KO qq qq q1q2 KO 1 3 KO 2 3 r12 r13 r23 GENERALIZANDO PARA UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGAS PUNTUALES SE DEBE DIVIDIR POR DOS, PORQUE LOS PRODUCTOS BINARIOS APARECEN DOS VECES, U K O i j 1 qi q j 2 rij i j SE PUEDE ESCRIBIR DEL SIGUIENTE MODO, U qj 1 qi K O 2 i j rij (i j ) ; U PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA, U 1 Vdv 2 VOL 1 qi Vi 2 i 4. EL POTENCIAL ELECTROSTÁTICO DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELECTROSTÁTICO LA DIFERENCIAL DE LA EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ASOCIADA A UNA DISTRIBUCIÓN DE VOLUMEN DE CARGA ES, 1 dU V dv 2 dU 1 V dv 2 LA CUAL NOS INDICA UNA PROPIEDAD LOCAL DEL CAMPO POR LA QUE PODEMOS ASOCIAR A CADA PUNTO DE ÉL UNA MAGNITUD ESCALAR, QUE NOS REPRESENTA UNA DENSIDAD DE ENERGÍA (ENERGÍA POR UNIDAD DE VOLUMEN). TENIENDO EN CUENTA LA ECUACIÓN DE POISSON QUE SE CUMPLE PARA TODOS LOS PUNTOS DEL CAMPO Y SUSTITUYENDO LA DENSIDAD EN LA ECUACIÓN ANTERIOR, ∇2 𝑉 = − 𝜌 𝜀𝑜 1 U O E 2 dv 2 v SE TRANSFORMA EN DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADO A UN CAMPO ELÉCTRICO u dU 1 O E2 dv 2 v EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN NO SE CUMPLE CON LA ENERGÍA. SI POR EJEMPLO, EL CAMPO 1 (CON INTENSIDAD E1) POSEE UNA ENERGÍA U1 Y EL CAMPO 2, UNA ENERGÍA U2, AL EXISTIR LOS DOS CAMPO SIMULTÁNEAMENTE, LA ENERGÍA SERÁ IGUAL A, 𝑈𝑇 = 𝜀𝑜 𝐸1 + 𝐸2 𝑣 2 𝑑𝑣 = 1 2 𝜀𝑜 𝐸12 𝑑𝑣 + 𝑣 1 2 𝜀𝑜 𝐸22 𝑑𝑣 + 𝑣 𝜀𝑜 𝐸1 𝐸2 𝑑𝑣 𝑣 EN DONDE EL TERCER TÉRMINO DEL SEGUNDO MIEMBRO SE DENOMINA ENERGÍA MUTUA DE AMBOS CAMPOS. PROBLEMA DE ESTABILIDAD Analizar la estabilidad de la carga “q” en el punto de equilibrio M del problema anterior. Posición genérica de la carga “q” entre QB y QC q B C x a-x a Energía potencial electrostática de la carga “q” en el punto M. 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝐸𝐿𝐸𝐶𝑇 = 𝑞 𝑄𝐵 𝑄𝐶 + 4𝜋𝜀𝑜 𝑥 𝑎−𝑥 El punto de equilibrio se obtiene derivando e igualando a cero 𝑑𝐸𝑃𝑂𝑇 𝑞 −𝑄𝐵 𝑄𝐶 = + 2 𝑑𝑥 4𝜋𝜀𝑜 𝑥 𝑎−𝑥 2 =0 → 𝑥= 𝑎 2 La estabilidad se estudia haciendo la segunda derivada y sustituyendo la raíz obtenida, 𝑑 2 𝐸𝑃𝑂𝑇 𝑞 2𝑥𝑄𝐵 2 𝑎 − 𝑥 𝑄𝐶 = + 𝑑𝑥 2 4𝜋𝜀𝑜 𝑥 4 𝑎−𝑥 4 → 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑎 𝑑 2 𝐸𝑃𝑂𝑇 → >0 2 𝑑𝑥 2 En consecuencia es un mínimo de la energía potencial, lo cual implica que el punto M es estable. 5. TEOREMA DE GAUSS SUPONGAMOS UNA CARGA “Q” QUE CREA UN CAMPO ELECTROSTÁTICO, Y UNA SUPERFICIE “S” QUE ENCIERRE A DICHA CARGA. CALCULEMOS EL FLUJO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE “dS” 𝑑𝜙 = 𝐸 𝑑𝑆 = 𝑄 𝑢𝑑𝑆 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 2 EL ÁNGULO SÓLIDO BAJO EL CUAL SE VE “dS” DESDE LA CARGA ES, 𝑑Ω = 𝑢 𝑑𝑆 𝑟2 dΩ dS SUSTITUYENDO EN LA EXPRESIÓN DEL FLUJO E INTEGRANDO, 𝜙= 𝐸 𝑑𝑆 = 𝑆 𝑄 4𝜋𝜀𝑜 𝑑Ω = 𝑆 𝑄 𝜀𝑜 INTEGRACIÓN SOBRE UNA SUPERFICIE CERRADA. MIEMBRO DERECHO ES LA CARGA ENCERRADA EN LA SUPERFICIE. 5. TEOREMA DE GAUSS EL TEOREMA DE GAUSS DICE: LA SUMA ALGEBRAICA DE LAS CARGAS CONTENIDAS EN EL INTERIOR DE LA SUPERFICIE “S” NOS DA EL SIGNO DEL FLUJO, SIENDO ÉSTE POSITIVO (FLUJO SALIENTE) PARA CARGA NETA POSITIVA EN EL INTERIOR DE LA SUPERFICIE (LÍNEAS DE CAMPO SALIENDO DE LA SUPERFICIE “S” HACIA EL EXTERIOR), Y NEGATIVO (FLUJO ENTRANTE) PARA CARGA NETA NEGATIVA EN EL INTERIOR DE “S” (LÍNEAS DE CAMPO ENTRANDO DESDE EL EXTERIOR AL INTERIOR DE “S”). SI LA SUPERFICIE “S” NO CONTIENE CARGAS EN SU INTERIOR, LAS CARGAS EXTERIORES A “S” CONTRIBUYEN CADA UNA CON UN ÁNGULO SÓLIDO NULO, POR LO QUE EL FLUJO TOTAL ES NULO, YA QUE EL FLUJO ENTRANTE EN “S” ES IGUAL AL FLUJO SALIENTE DE “S”, AL NO HABER EN EL INTERIOR CARGAS QUE GENEREN FLUJO ADICIONAL. EL TEOREMA DE GAUSS PUEDE UTILIZARSE PARA DETERMINAR EL CAMPO ELECTROSTÁTICO. CASOS EN LOS QUE PUEDA ENCONTRARSE UNA SUPERFICIE GAUSSIANA; CONDICIONES A CUMPLIR: -EL CAMPO ELECTROSTÁTICO CONSTANTE SOBRE ELLA. -ÁNGULO CONSTANTE ENTRE dS y E. APLICACIONES: 1º.- CAMPO CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL. 2º.- CAMPO CREADO POR UNA DISTRIBUCIÓN LINEAL DE CARGA. 𝐸= 𝜆 𝑢 2𝜋𝜀𝑜 𝑟 𝑛 3.- CAMPO CREADO POR UN PLANO UNIFORMEMENTE CARGADO Carga contenida en el volumen limitado por la superficie gaussiana 2E S S 0 E 2 0 Por simetría, el flujo a través de la superficie lateral del cilindro es nulo 4.- CAMPO CREADO POR UNA PLACA INDEFINIDA UNIFORMEMENTE CARGADA EN SUS DOS CARAS Campo en un punto interior Pi de la placa 𝐸𝑖𝑛𝑡 = 0 Campo en un punto exterior y muy próximo 𝐸𝑒𝑥𝑡 = 𝜎 𝑢 𝜀𝑜 𝑛 Otra forma Ee S ·S 0 Ee 0 5. TEOREMA DE GAUSS E) CAMPO CREADO POR DOS PLACAS UNIFORMEMENTE CARGADAS MUY PRÓXIMAS. E + - 𝐸= 𝜎 𝑢 𝜀𝑜 𝑛 En el interior de una placa de espesor d e indefinida en las otras direcciones existe un hueco esférico de radio a. En la placa, excepto en el hueco, se distribuye uniformemente una carga cuya densidad es . Calcular el campo eléctrico en el punto P que dista d/2 de la placa, según se muestra en la figura. d a P d/2 d/2 Se aplica el principio de superposición al sistema equivalente constituido por dos distribuciones de carga: una primera formada por una placa de espesor d e indefinida con densidad y la segunda formada por una esfera de radio a y densidad -. CAMPO DE LA PLACA E1 ·2·S 1 0 d S E1 d i 2 0 CAMPO DE LA ESFERA 3d 3 4 a 2 3 E2 ·4 d a E2 i 2 0 3 3 0 d 1 CAMPO TOTAL EN EL PUNTO P d a3 EP 2 i 0 2 3d 6. DIPOLO ELÉCTRICO Dos cargas iguales de distinto signo, rígidamente unidas y muy próximas (distancia 2a) Momento dipolar SIENDO 2a EL VECTOR DE ORIGEN EN LA CARGA NEGATIVA Y EXTREMO LA POSITIVA M POTENCIAL r1 r 1 q q V (M ) 4o r2 r1 r1 r 2 a 2 2ar cos r2 2a 1 2 a 2a r1 r 1 2 cos r r 2 ; r1 r 2 a 2 2ar cos ; a 2a r2 r 1 2 cos r r 1 2 2 𝑉 𝑀 = 𝑝 𝑟 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 3 CAMPO ELECTROSTÁTICO 𝐸= 1 𝑝𝑟 3 𝑟−𝑝 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 5 𝑟2 1 2 1 2 ACCIONES DE UN CAMPO EXTERIOR SOBRE UN DIPOLO 𝐸𝑃𝑂𝑇 = −𝑝𝐸 𝐹 = −∇𝐸𝑃𝑂𝑇 = ∇ pE 𝑀 =𝑝∧𝐸 PROBLEMA DE DIPOLOS Calcular el campo eléctrico que crea el dipolo 1 sobre el dipolo 2 𝐸1 = 1 𝑝1 𝑟 3 2 𝑟 − 𝑝1 5 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 𝑟 ; 𝑟 = ℓ𝑗 ⇒ 𝐸1 = 𝑝1 −𝑘 4𝜋𝜀𝑜 ℓ5 Y 𝑝2 𝑗 𝑟 𝐸1 X 𝑝1 = 𝑝1 𝑘 Momento que actúa sobre el dipolo 2 debido al campo E1. 𝑖 𝑗 𝑀 = 0 𝑝2 0 0 𝑘 0 = 𝑝2 𝐸1 −𝑖 𝐸1 ; 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑔ú𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 Energía potencial del dipolo 2 debido al campo E1 𝐸𝑃𝑂𝑇 = −𝑝2 𝐸1 = 0