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1. Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas:
X: el número de accidentes automovilísticos que ocurren al año en Virginia.
Y: el tiempo para jugar 18 hoyos de golf.
M: la cantidad de leche que una vaca específica produce anualmente.
N: el número de huevos que una gallina pone mensualmente.
P: el número de permisos para construcción que los funcionarios de una ciudad emiten cada mes.
Q: el peso del grano producido por acre.
Solución
Variable
Aleatoria
X
Y
M
N
P
Q
Tipo
Discreta
Continua
Continua
Discreta
Discreta
Continua
2.Un embarque foráneo de 5 automóviles extranjeros contiene 2 que tienen ligeras manchas de
pintura. Suponga que una agencia recibe 3 de estos automóviles al azar y liste los elementos del
espacio muestral S usando las letras M y N para “manchado” y “sin mancha”, respectivamente; luego
asigne a cada punto muestral un valor x de la variable aleatoria X que representa el número de
automóviles con manchas de pintura que compró la agencia.
Solución
Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “x” se presentan a
continuación
Espacio
muestral
x
NNN
NNM
NMN
MNN
NMM
MNM
MMN
MMM
0
1
1
1
2
2
2
3
3.Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres
lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos
de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
Solución
Una tabla de espacio muestral y valores asignados a la variable aleatoria “w” se presentan a
continuación
Espacio
muestral
w
CCC
CCT
CTC
TCC
CTT
TCT
TTC
TTT
3
1
1
1
-1
-1
-1
-3
4.Se lanza una moneda hasta que se presentan 3 caras sucesivamente. Liste sólo aquellos elementos
del espacio muestral que requieren 6 o menos lanzamientos. ¿Es éste un espacio muestral discreto?
Explique su respuesta
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva
Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS
Perito Mercantil Y Contador Público
Solución
S = {CCC, TCCC, CTCCC, TTCCC, TTTCCC, CTTCCC, TCTCCC, CCTCCC, . . .};
El espacio muestral es discreto porque va conteniendo muchos elementos con enteros positivos
5.Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribución de
probabilidad de la variable aleatoria discreta X:
a) f (x) = c (𝑥 2 +4), para x = 0, 1, 2, 3;
b) f (x) = c(𝑥)(3−𝑥) x = 0, 1, 2.
2
3
Solución
Ejercicio # a
c (𝒙𝟐 +4)
x=0
x=1
x=2
x=3
Suma c
P(c)
P(c)
4c
5c
8c
13c
30c
30c=1
c=30
1
Ejercicio # b
𝟑
c(𝟐𝒙)(𝟑−𝒙
)
x=0
x=1
x=2
Suma c
P(c)
1c
6c
3c
10c
10c=1
P(c)
c=
1
10
6.La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que
tiene la siguiente función de densidad:
𝑓𝑥 = {
20000
(𝑥 + 100)3
𝑥 > 0,
0
𝐸𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de
a) al menos 200 días;
b) cualquier lapso entre 80 y 120 días.
Solución
Ejercicio # a
∞
20000
10000
𝑃(𝑋 > 200) = ∫200 (𝑥+100)3 𝑑𝑥 = − (𝑥+100)2
∞
|
|
200
1
=9
Ejercicio # b
∞
20000
10000
𝑃(80 < 𝑋 < 120) = ∫200 (𝑥+100)3 𝑑𝑥 = − (𝑥+100)2
120
|
|
80
25
25
1000
= − 121 + 81 = 9801
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva
Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS
Perito Mercantil Y Contador Público
7.El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una
aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente
función de densidad:
𝑥
0<𝑥<1
𝑓𝑥 = {2 − 𝑥
1≤𝑥<2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora
a) menos de 120 horas;
b) entre 50 y 100 horas.
Solución
Por cada 100 horas “x” es igual a 1
Ejercicio # a
1
1
1.2
𝑥2 |
𝑥2 |
P(X < 1.2) = ∫ 𝑥𝑑𝑥 + ∫ (2 − x)dx =
+ (2𝑥 − )
2 |
2 |
0
1
0
1.2
=
1
1 42 3 17
+
− =
2 25 2 25
Ejercicio # b
1
𝑥2 |
P(0.5 < X < 1) = ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
2 |
0.5
1
=
0.5
1 1 3
− =
2 8 8
8.Obtenga la distribución de probabilidad de la variable aleatoria W del ejercicio 3.3; suponga que
la moneda está cargada, de manera que existe el doble de probabilidad de que ocurra una cara que
una cruz.
“C: caras” “T: cruz”
Solución
Refiriéndose al espacio muestral del ejercicio 3.3 y haciendo uso del hecho de que P(C)=2/3 y
P(T)=1/3, tenemos
1 3
1
𝑃(𝑊 = −3) = 𝑃(𝑇𝑇𝑇) = ( ) =
3
27
2 1 2
2 1 2
2 1 2
2 1 2 2
𝑃(𝑊 = −1) = 𝑃(𝐶𝑇𝑇) + 𝑃(𝑇𝐶𝑇) + 𝑃(𝑇𝑇𝐶) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 3 ( ) ( ) =
3 3
3 3
3 3
3 3
9
1 2 2
1 2 2
1 2 2
1 2 2 4
𝑃(𝑊 = 1) = 𝑃(𝐶𝐶𝑇) + 𝑃(𝑇𝐶𝐶) + 𝑃(𝐶𝑇𝐶) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 3 ( ) ( ) =
3 3
3 3
3 3
3 3
9
2 3
8
𝑃(𝑊 = 3) = 𝑃(𝑇𝑇𝑇) = ( ) =
3
27
La distribución de probabilidad para W es entonces
𝑷(𝑾 = 𝒘)
w=-3
1
27
w=-1
2
9
w=1
4
9
w=3
8
27
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva
Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS
Perito Mercantil Y Contador Público
𝑷(𝑾)
1
9.La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable
aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
𝑓𝑥 =
2(𝑥 + 2)
5
0 < 𝑥 < 1,
0
𝐸𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
{
a) Demuestre que 𝑃(0 < 𝑋 < 1) = 1.
b) Calcule la probabilidad de que más de
1
4
pero menos de
1
2
de las personas contactadas respondan a
este tipo de encuesta.
Solución
Ejercicio # a
1 2(𝑥 + 2)
P(0 < X < 1) = ∫
5
0
1
𝑥2 + 4𝑥 |
𝑑𝑥 = (
) =1
5
|
0
Ejercicio # b
1
1
1
1
𝑥2 + 4𝑥 |2
9 17 19
2 2(𝑥 + 2)
P( < X < ) = ∫
𝑑𝑥
=
−
=
(
) =
1
4
2
5
5
|1 20 80 80
4
4
10.Encuentre una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que
represente el resultado cuando se lanza un dado una vez.
Solución
1
El dado puede aterrizar en 6 maneras diferentes cada uno con probabilidad 6 . Por lo tanto,
𝐹(𝑥) =
1
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
6
11.Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los
televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, calcule la
distribución de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de
probabilidad.
Solución
5
Podemos seleccionar x televisores defectuosos de 2, y 3 - x televisores buenos de 5 en (𝑥2)(3−𝑥
)
7
maneras. Una selección aleatoria de 3 de 7 televisores se puede hacer en (3) maneras. Por lo tanto,
𝑓(𝑥) =
5
(𝑥2)(3−𝑥
)
(73)
𝑥 = 0, 1, 2
En forma tabular
𝒇(𝒙)
x=0
2
7
x=1
4
7
x=2
1
7
P(X)
1
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva
Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS
Perito Mercantil Y Contador Público
Histograma de probabilidad:
Resuelto por: Maiquel Josué Mejía Oliva
Pasante universitario de la Carrera de Matemáticas en la UNAH-VS
Perito Mercantil Y Contador Público