ecuaciones2

ECUACIONES DE
2º GRADO
Ecuaciones de 2º grado :
¿Cuáles son?
Son igualdades de la forma
ax 2  bx  c  0
con a, b, c números reales y siempre a  0
¿dónde queda reflejado que es una ecuación de
segundo grado?
Resolución o cálculo de las SOLUCIONES o
RAÍCES o CEROS de una ecuación de 2º grado.
RESOLVER una ecuación consiste en buscar los valores
concretos de x para los cuales se verifica la ecuación.
A estos valores que al sustituirlos en la incógnita x, la
verifican se les llama CEROS, SOLUCIONES o
RAÍCES de la ecuación.
Es conveniente, para ganar tiempo, tener en
cuenta los siguientes casos particulares :
Distinguimos tres casos:
1.) Si en la ecuación general, tenemos c = 0 , es decir,
no hay término independiente , resulta la ecuación de
segundo grado :
ax  bx  0
2
Pasos:
- Siempre podremos sacar factor común, al menos , de x
- recordando que en el producto de números reales, para que el
resultado de un producto sea cero, siempre uno de los factores debe
ser cero, tenemos que :
x  ax  b  0
x =0
ax+b=0
ax =-b
x = -b/a
NO te aprendas estos resultados con letras, es inútil; reserva la
memoria para casos que de verdad lo requieran; entiende los pasos
dados y aplícalos en cada caso concreto.
Ejemplos, ahora te toca a ti :
7 x 2  28 x  0
Recuerda:
- saca factor común de todo lo que puedas
- haz cero cada uno de los factores que has obtenido
Soluciones : x = 0 y
x = 4.
Más ejemplos:
x 2  17 x  0
5 x 2  25 x  0
 3x 2  12 x  0
Observa que en estos casos, siempre una solución sale x = 0.
Piensa ¿porqué?
2.) Si b = 0, tenemos la ecuación de segundo grado:
ax 2  c  0
Este también, es un caso especial, que se puede tratar más
cómodamente, sin aplicar la fórmula.
Despeja
x
2
c
x 
a
2
ax   c
2
¿Cómo quito el cuadrado del exponente?
Extrayendo la raíz cuadrada, resultando :
c
x
a
c
x
a
No te aprendas el
resultado , tienes
que saber obtener
la solución, sin
memorizar la
fórmula.
Ejemplos, resuelve tú estos casos: :
3x 2  12  0
7 x  28  0
2
2 x2  5  0
¿Todas tienen solución?
3.) Estudiemos ya el caso general, de la resolución de
una ecuación completa de segundo grado.
Si tenemos una ecuación de segundo grado completa :
ax 2  bx  c  0
las soluciones se obtienen del cálculo :
 b  b2  4ac
x
2a
 b  b2  4ac
x
2a
Estas fórmulas SI te las tienes que aprender de memoria.
Ejemplos:
2 x 2  3x  1  0
Recuerda a = 2 b = 3 c = 1.
Las soluciones salen : x = -1
3x  2 x  8  0
2
Las soluciones salen : x = 2
x
1
2
Recuerda a = 3 b = -2 c = -8.
4
x
3
¿Te has preguntado alguna vez, de donde pueden salir estas fórmulas de
resolución de la ecuación de segundo grado? Pues si tienes curiosidad, aquí
tienes la explicación.
Antes de empezar es bueno que sepas cual es la idea, para obtener
el valor de x.
Como se trata de despejar x, lo primero que tenemos
que conseguir es tener una sola x, para lo cual
tendremos que escribir la ecuación como un binomio al
cuadrado y luego despejar la x.
Empezamos paso a paso, pero ten presente lo que
buscamos.
a)
Pasamos el término independiente
(sin x ) al otro lado.
b) Multiplicamos los
dos miembros por 4a
c)
Sumamos a ambos
miembros de la
2
igualdad b
4a 2 x 2  4abx  4ac
4a 2 x 2  4abx  b2  b2  4ac
d) Expresamos el primer miembro
como un binomio al cuadrado
e)
Extraemos la raíz cuadrada
de los dos miembros
f) Despejamos x :
ax 2  bx   c
2ax  b2  b2  4ac
2ax  b   b2  4ac
2ax  b  b2  4ac
 b  b2  4ac
x
2a
Comprueba que efectivamente nos salen
dos soluciones. ¿Dónde están?
 b  b 2  4ac
x
2a
 b  b 2  4ac
x
2a
DISCUSIÓN DEL NÚMERO DE SOLUCIONES DE
UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de 2º grado?
Dedúcelo, resolviendo :
x2  7 x  3  0
5 x 2  45  0
2 x  x  45  0
2
x2  6x  9  0
Una ecuación de segundo grado puede tener :
•
dos soluciones reales distintas
•
una solución real doble ( un mismo valor repetido dos
veces)
•
ninguna solución real (es decir, no nos sale ningún valor
real)
¿De qué crees que depende que estemos en un caso u otro?
Si dispones de un minuto, piensa ....., si no pasa al párrafo
siguiente donde te ayudaré a descubrirlo.
Para ello tenemos que definir lo que es
EL DISCRIMINANTE.
El discriminante es el número que está dentro de la raíz:
D = b – 4ac
• Si D > 0, entonces existen dos soluciones
• Si D < 0, no existen soluciones
• Si D =0, solo existe una solución, que se dice doble.
Aplícalo a:
x2  2x 1  0
2 x 2  3x  1  0