1.7 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO: EXCITACIÓN SÍSMICA El equilibrio de los momentos respecto a O da 𝑓𝐼 𝐿 + 𝑓𝑆 = 𝑚𝑔𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 o bien 𝜔 2 𝐿 θ + 𝑘𝜃 = 𝑤𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 g (a) Para rotaciones pequeñas sen θ ≃ θ y la ecuación (a) puede reescribirse como 𝜔 2 𝐿 θ + (𝑘 − 𝜔𝐿)𝜃 = 0 g (b) Observe que la carga de gravedad reduce la rigidez efectiva del sistema. Si el peso w = k/L, la rigidez efectiva es cero y el sistema se vuelve inestable bajo su propio peso. Por lo tanto, la carga de pandeo (o peso) es: 𝜔𝑐𝑟 = 𝑘 𝐿 (c) En las regiones propensas a sismos el principal problema de dinámica estructural que afecta a los ingenieros estructurales es el comportamiento de las estructuras sometidas a movimientos de la base de la estructura inducidos por sismos. El desplazamiento del terreno se indica por 𝑢𝑔 , el desplazamiento total (o absoluto) de la masa por 𝑢𝑡 , y el desplazamiento relativo entre la masa y el terreno por u (figura 1.7.1). En cada instante de tiempo, estos desplazamientos se relacionan mediante𝑡 𝑢 𝑡 = 𝑢𝑔 (t) + 𝑢(𝑡) (1.7.1) Tanto 𝑢𝑡 como 𝑢𝑔 se refieren al mismo marco de referencia inercial y sus direcciones positivas coinciden. La ecuación de movimiento para el sistema idealizado de un nivel de la fi gura 1.7.1a, sometido a la excitación sísmica, puede deducirse por cualquiera de los enfoques presentados en la sección 1.5. Aquí se opta por utilizar el concepto de equilibrio dinámico. A partir del diagrama de cuerpo libre que incluye la fuerza de inercia fI, mostrada en la fi gura 1.7.1b, la ecuación de equilibrio dinámico es 𝑓𝐼 + 𝑓𝐷 + 𝑓𝑆 = 0 (1.7.2) 𝑢𝑡 𝑢 𝑓𝑆 (a) 𝑢𝑔 Sólo el movimiento relativo u entre la masa y la base, debido a la deformación estructural, produce fuerzas elásticas y de amortiguamiento (es decir, el componente de cuerpo rígido del desplazamiento de la estructura no produce fuerzas internas). Así, para un sistema lineal, las ecuaciones (1.3.1) y (1.4.1) siguen siendo válidas. La fuerza de inercia 𝑓𝐼 se relaciona con la aceleración ü𝑡 de la masa mediante 𝑓𝑡 = mü𝑡 (1.7.3) Al sustituir las ecuaciones (1.3.1), (1.4.1) y (1.7.3) en la ecuación (1.7.2) y utilizar la ecuación (1.7.1), se obtiene mü + cü + ku = −𝑚ü𝑔 (𝑡) (1.7.4) 𝑓𝐼 𝑓𝐷 (b) Figura 1.7.1 Ésta es la ecuación de movimiento que controla el desplazamiento relativo o la deformación u(t) de la estructura elástica lineal de la fi gura 1.7.1a, sometida a la aceleración del terreno üg(t). Para los sistemas inelásticos, la ecuación (1.7.2) es válida, pero la ecuación (1.3.1) debe sustituirse por la ecuación (1.3.6). La ecuación de movimiento resultante es mü + cü + 𝑓𝑠 (𝑢) = −𝑚ü𝑔 (𝑡) (1.7.5) Al comparar las ecuaciones (1.5.2) y (1.7.4), o las ecuaciones (1.5.3) y (1.7.5), se observa que las ecuaciones de movimiento para la estructura sometida a dos excitaciones distintas [la aceleración del terreno üg(t) y la fuerza externa = –müg(t)] son una misma. Así, el desplazamiento relativo o deformación u(t) de la estructura debida a la aceleración del terreno üg(t) será idéntica al desplazamiento u(t) de la estructura si su base fuese estacionaria y se sometiera a una fuerza externa = –müg(t). Entonces, como se muestra en la fi gura 1.7.2, el movimiento del terreno puede sustituirse por la fuerza sísmica efectiva (que seindica mediante el subíndice “ef”): 𝑝𝑒𝑓 (𝑡) = −𝑚ü𝑔 (𝑡) (1.7.6) Esta fuerza es igual a la masa por la aceleración del terreno, que actúa opuesta a la aceleración. Es importante reconocer que la fuerza sísmica efectiva es proporcional a la masa de la estructura. Por lo tanto, si la masa estructural se incrementa, el diseñador estructural aumentará la fuerza sísmica efectiva. Aunque los componentes rotacionales del movimiento del terreno no se miden durante los sismos, éstos pueden estimarse a partir de los componentes de traslación medidos, lo cual es de interés para aplicar los conceptos anteriores a esta excitación. Con este propósito, observe la torre en voladizo de la fi gura 1.7.3a, que puede considerarse como una idealización 𝑃𝑒𝑓 𝑡 = −𝑚ü𝑔 (𝑡) = ü𝑔 (𝑡) Base estacionaria Figura 1.7.2 Fuerza Sísmica efectiva: movimiento horizontal del terreno 𝑢𝑡 𝑢 𝑃𝑒𝑓 𝑡 = −ℎθ𝑔 (t) 𝜃𝑔 ℎ 𝜃𝑔 (𝑎) Base estacionaria (𝑏) Figura 1.7.2 Fuerza Sísmica efectiva: movimiento rotacional del terreno del tanque de agua de la fi gura 1.1.2, sometida a una rotación θg de la base. El desplazamiento total ut de la masa se compone de dos partes: u asociada con la deformación estructural y un componente de cuerpo rígido hθg, donde h es la altura de la masa por encima de la base. En cada instante de tiempo, estos desplazamientos se relacionan mediante 𝑢𝑡 𝑡 = u t + ℎ𝜃𝑔 (𝑡) (1.7.7) Las ecuaciones (l.7.2) y (1.7.3) siguen siendo válidas, pero la aceleración total üt(t) ahora debe determinarse a partir de la ecuación (1.7.7). Si se ponen todas estas ecuaciones juntas se obtiene mü + cü + ku = −𝑚ℎθ𝑔 (𝑡) (1.7.8) La fuerza sísmica efectiva asociada con la rotación del terreno es 𝑝𝑒𝑓 𝑡 = −𝑚ℎθ𝑔 (𝑡) (1.7.9) Ejemplo 1.7 Una losa infinitamente rígida uniforme de masa total m se apoya en cuatro columnas de altura h conectadas de manera infinitamente rígida a la placa superior y a la losa de cimentación (figura E1.7a). Cada columna tiene una sección transversal rectangular con segundos momentos de área Ix e Iy para la flexión con relación a los ejes x y y, respectivamente. Determine la ecuación de movimiento de este sistema sometido a la rotación ugθ de la base alrededor de un eje vertical. Desprecie la masa de las columnas. Solución El par de torsión elástico o el momento de torsión resistente fS que actúa sobre la masa se muestra en la fi gura E1.7b, y la𝑡 Segunda ley de −𝑓𝑠 = 𝐼𝑂 ü𝜃 (a) Newton da donde ü𝑡𝜃 = 𝑢𝜃 𝑡 + 𝑢𝑔𝜃 (𝑡) (b) Aquí uθ es la rotación de la losa del techo relativa al suelo e IO = m(b2 + d2)/12 es el momento de inercia de la losa del techo alrededor del eje normal respecto a la losa, que pasa a través de su centro de masa O. Las unidades del momento de inercia son de fuerza×(longitud)2/aceleración. El par de torsión fS y la rotación relativa uθ se (c) 𝑓𝑠 = 𝑘𝜃 𝑢𝜃 𝑧 𝑢𝜃𝑡 𝑦 𝐿𝑜𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑑 𝑂 𝑂 (𝑏) 𝑥 𝑓𝑠 𝑘𝜃 = 4 𝑘𝑥 𝑧 ℎ 𝑢𝑔 𝜃 𝑘 𝑏 Losa de cimen- 𝑦 2 Tación infi- 𝑘 𝑑 Nitamente 𝑥 2 rígida (𝑎) 𝑘𝑦 𝑏 2 𝑘𝑥 𝑑 2 (𝑐) 𝑢𝜃 = 1 𝑏 donde kθ es la rigidez torsional. Para determinar kθ se introduce una rotación unitaria uθ = 1 y se identifican las fuerzas restauradoras en cada columna (figura E1.7c). Para una columna con ambos extremos empotrados, 𝑘𝑥 = 12𝐸𝐼𝑦 / ℎ3 𝑦 𝑘𝑦 = 12𝐸𝐼𝑋 /ℎ3 . El par de torsión requerido para equilibrar estas fuerzas restauradoras es 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 4 𝑘𝑦 = 𝑘𝑥 𝑑2 + 𝑘𝑦 𝑏 2 22 22 (𝑑) Al sustituir las ecuaciones (c), (d) y (b) en (a) resulta 𝐼𝑂 ü𝜃 + 𝑘𝑥 𝑑2 + 𝑘𝑦 𝑑 2 𝑢𝜃 = −𝐼𝑂 ü𝑔𝜃 (𝑒) 𝑂 𝑘𝑥 𝑑 2 Figura E1.7 𝑘𝑦 𝑏 2 𝑘𝑥 𝑑 2 𝑘𝑦 𝑏 2 Ésta es la ecuación que controla la rotación relativa uθ de la losa del techo debido a la aceleración rotacional ügθ de la losa de cimentación. 1.8 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y ELEMENTOS MECÁNICOS 1.8.1 Planteamiento del problema Dados la masa m, la rigidez k de un sistema elástico lineal, o la relación fuerza-deformación fS(u) para un sistema inelástico, el coefi ciente de amortiguamiento c y la excitación dinámica [que puede ser una fuerza externa p(t) o la aceleración del terreno üg(t)] un problema fundamental en la dinámica estructural es determinar la respuesta de un sistema de 1GDL: el sistema idealizado de un solo nivel o el sistema masaresorte-amortiguador.
