Taller 1 Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Universidad Nacional de Colombia
Álgebra Lineal
Taller de matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Elaborado por: Claudio Rodrı́guez
1. Escriba explicitamente las matrices que se solicitan:
(a) A = [aij ]4×4 , tal que aij = (−1)(i+j) ,
(b) B = [bij ]3×4 , tal que bij = 0 si j > i, bij = 1 en otro caso,
(c) C = [cij ]2×3 , tal que cij = i − j,
(d) D = [dij ]4×3 , tal que dij = 0 si i = j, dij = min{i, j} en otro caso.
2. Realice
3
(a)
1
2
(b)
4

las siguientes operaciones matriciales
t
−5
.
−2
−3/2 √0
−5 1 −2/3
√
+
.
−7
2
4 −2
3

1 (c)  2  −2 7 −3 .
−1
 
1
(d) −2 7 −3  2 .
−1
3. Realice las siguientes multiplicaciones:

 

2 0 0
a b c
(a) 0 3 0  · d e f ,
0 0 −1
i j k
(f)

 

a b c
2 0 0
(b) d e f  · 0 3 0 ,
i j k
0 0 −1
(g)
1 0
2 1 1
(c)
·
,
0 1
3 −4 7
(h)
0 1
a b
(d)
·
,
1 0
c d
(i)

 

a b c
0 0 1
(e) d e f  · 0 1 0,
i j k
1 0 0
(j)
1

0
0
1

a
d
i

1
0
0

a
d
i

1
0
0
 
0 1
a
1 0 · d
0 0
i
 
b c
1
e f  · 0
j k
0
 
0 0
a
1 3 · d
0 1
i
 
b c
1


e f · 0
j k
0
 
0 0
a
4 0 · d
0 1
i

b c
e f ,
j k

0 0
1 3,
0 1

b c
e f ,
j k

0 0
4 0,
0 1

b c
e f .
j k
4. Encuentre una solución para las siguientes ecuaciones:
2 −1
x11 −1
1 0
(a)
·
=
,
5 −3
5 x22
0 1
x11 x12
−2 1
0 0
(b)
·
=
, y xij 6= 0,
x21 x22
4 −2
0 0
 


 
1 3 5
1 3 1
x11 x12 x13
(c) 2 2 1 · x21 x22 x23  = 2 2 5,
3 1 5
3 1 1
x31 x32 x33

 


0 1 1
0 0 2
x11 x12 x13
(d) x21 x22 x23 ·1 0 1 = 0 −1 1.
1 1 0
1 1 0
x31 x32 x33
Sugerencia: transforme la matriz constante del lado derecho mediante transformaciones de filas hasta llegar a la matriz
constante del lado derecho.
5. Dadas las matrices




−5 2 −10
−2 2
1 0 −1




−6 , B = 3 −1 , C :=
,
A = −3 1
0 1 1
1 −3
3
−3 2


−15 24 −2
−5
0 , Realice las siguientes operaciones, en caso de no ser posible,
D= 3
8
−13 1
indique que falla:
(a) (A · B)t ,
(e) [B t · (2B)] · [C · B],
(b) Dt · At ,
(f) 3(D · A) − (2B) · C.
(c) B · [(B t · B)−1 ] · B t ,
(g)
(d) B · C − C · B,
(h)
1
2 (A
1
2 (A
+ At ).
− At ).
6. Halle el valor de las incógnitas:
2 1
1
0
(a)
·
=
,
−3 5
k
−13
1 −2
t
4
(b)
·
=
,
5 7
k
3

   

2
1
2
1
1
(c) −1 3 −4 ·  t  =  16 ,
0 −3 5
k
−19
−9 r
−1 2
−1 2
−9 r
(d)
·
=
·
.
3 −6
−1 −2
−1 −2
3 −6
2
7. Evalué las matrices en las respectivas expresiones:


0 1 1
(a) A = 1 0 1, evalué A3 .
1 1 0
2 1
(b) B =
y p(x) = x3 − 4x2 + x + 6 evalué p(B).
0 3


−1 1 0
(c) C =  0 3 1, evalué tr(C).
7 0 5
8. Exprese el conjunto de matrices por comprensión o encuentre una caracterización del
conjunto en términos de las entradas de una matriz.
(a) A es el conjunto de matrices simétricas de orden 3, es decir las matrices 3 × 3
que satisfacen A = At .
(b) B es el conjunto de matrices antisimétricas de orden 3, es decir las matrices 3×3
que satisfacen A = −At .
(c) C es el conjunto de matrices de orden 2 cuya traza es 2.
(d) T + es el conjunto de matrices triangulares superiores de orden 3.
9. Pruebe las siguientes afirmaciones:
(a) La suma de matrices es asociativa.
(b) La matriz identidad del conjunto de matrices de tamaño n × n es única.
(c) Si una matriz cuadrada A tiene inversa, esta es única.
(d) Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces (A−1 )t = (At )−1 .
10. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, argumente o presente
un contra-ejemplo.
(a) Sean A y B matrices cuadradas de orden n. Si AB no es invertible, entonces A
y B son no invertibles.
(b) Si A y B son matrices adecuadas para el producto, entonces (AB)t = (At )(B t ).
(c) El vector [1, −2] es combinación lineal de los vectores [1, 1] y [3, −3].
(d) Si A y B son matrices cuadradas de orden n, entonces (A+B)2 = A2 +2AB+B 2 .
(e) Si A y B son matrices cuadradas invertibles, entonces AB es invertible y
(AB)−1 = B −1 A−1 .
11. Exprese la combinación lineal como un producto matricial
(a) 2 −1 3 0 − 5 4 −2 + 7 −6 1
3


   
2
3
2





(b) −3 −4 + 5 1 − 9
2
−4
5
12. De ser posible, halle la combinación lineal del elemento w en términos de los elementos
del conjunto S dado.
0
1
2
(a) w =
,S=
,
,
−4
−3
−2
(b) w = 3 3 , S = 3 2 , 9/2 6 ,
6 −5
1 −1
−1 1
1 0
(c) w =
,S=
,
,
,
1 −2
1 0
0 1
−1 1
(d) w = −1 + 4x, S = {1 − x, −2 + 3x}.
13. Reduzca las siguientes matrices a la forma escalonada y escalonada reducida.




6
−9 1
0 −3 5
(b)  10 −15 11
(a) −2 3 1
−2
3
7
3 −3 4
14. Escriba la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones
(b)
(c)
x
−x
x
2x
+
−
+
3y
(d)
(e)
−x1 + x4
3x2 + 5x4
3x1 − 2x2 − 3x4
y
y
−2
3 ,
=
=
=
=
−
x1
3x1
(a) 2x − 7y = 3,
−2x1
0
0 ,
(f)
x2
x2
+
−
+
−
x3
2x3
=
=
=
=
=
0
0 ,
1
−1
0 ,
2x5
3x3
=
=
−3
7 ,
15. Escriba el sistema de ecuaciones asociado a las siguientes matrices aumentadas




3 −2
0 | 1
1 0 0 2 |
1
0 0 1 3 | −1
5 1 | 2,
(a)  0
,
(c) 
0 0 0 0 |
−1
0 3 | 0
0
0 0 0 0 |
0


1 −1 |
1
3 | −3,
(b) −3
2 −2 |
2


1 −2 −1 0 | 0
1
0 1 | 0,
(d) 0
0
0
0 0 | 1
4


1 −4 −2 | 1
0
1 | 1,
(e) 2
3
1 −1 | 1
(f)
1 0 0 0 |
3
.
0 1 0 0 | −5
16. Determine la consistencia del sistema de ecuaciones lineales. Si es consistente, halle
la solución. Las incognitas se representan por las variables x, y, z y w. En cada caso,
clasifique las variables en dependientes (con ligaduras) e independientes (libres).
(a)
(b)
(c)
(d)
x
2x
+
+
4x
2x
x
3y
4y
+
+
+
−2x
2x
3x
=
=
2y
y
2y
−
+
+
−3x
−x
1
2x
=
=
=
y
y
y
(e)
0
1.
6
3
−1.
=
=
=
3
−2
−3.
−6
2
−1.
=
=
=
1
2x
−3
2 x
−
y
=
+
3y
=
1
2
−3
2
x
−
2y
=
1.
(f)
3x
2x
−
−
2y
y
+
+
8z
5z
=
=
−3
−1.
(g)
7x
6x
3x
+
+
+
2y
y
y
+
+
+
3z
4z
z
+
+
+
2w
w
w
(h)
2x
3x
+
+
2y
3y
+
+
z
3z
=
=
0
0.
(i)
3x
+
6y
+
1
2x
+
y
+
x
+
2y
+
=
=
=
12
11
5.
+
9w
=
−12
z
+
1
2w
=
5
z
+
2w
=
3.
17. Determine el valor o los valores de k de tal forma que el sistema de ecuaciones tenga
infinitas soluciones, solución única o no tenga solución.
(a)
x
x
x
+
+
+
(b)
2x
3x
2x
(c)
x
−2x
2x
2y
2y
y
+
+
+
3z
(2k+3)z
(2k+2)z
y
y
+
2z
z
kz
+
+
−
+
−
y
3y
y
+
+
+
=
=
=
=
=
=
-3
-k-1
-k-1
6
10
7
kz
(2 − 2k)z
(k 2 + 2k − 1)z
5
=
=
=
3
k−7
2k + 6
18. En cada caso, aumente la matriz con la matriz identidad, haga reducciones con
transformaciones elementales de fias, y determine las matrices invertibles, en esos
casos halle su inversa.


2 −3
3 −5 7
(a)
−6 9
(c) −2 1 −3
4 −9 11


3
5 −7
1 2
(d)  5 −7 3 
(b)
−7 3
5
3 4
19. Determine la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, en caso de ser
verdadero explique, si es falso enuncie un contra-ejemplo.
(a) Sea A 6= 0 una matriz cuadrada de orden n, B y C de tamaño n × m entonces,
si AB = AC entonces B = C.
(b) Si J es una matriz cuadrada de orden 2 tal que J · A = A · J para cualquier
matriz A de orden 2, entonces J = I2 es la matriz identidad.
(c) Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A·(3A2 −2A) = (3A2 −2A)·A.
(d) Sean A una matriz de tamaño m × n, b un vector columna m × 1, 0 el vector
columna m × 1 de ceros y x un vector columna de incognitas n × 1. Si y es una
solución del sistema
Ax = b,
entonces y − b es solución de Ax = 0 (en x).
(e) Sean A, b, x y 0 como en el numeral anterior. Si y es solución del sistema
Ax = 0
y z es solución de
Ax = b,
entonces y + z es solución de Ax = b.
(f) Sean A, x y 0 como en el numeral anterior. La solución de un sistema homogéneo
Ax = 0 (en x) tiene infinitas soluciones si n < m.
(g) Sean A, x y b como en el numeral anterior. La solución de un sistema Ax = b
(en x) tiene infinitas soluciones si m < n.
(h) Si A es una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces A2 es invertible.
(i) Si A es una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces A − A2 no es
invertible.
6