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Diseños Factoriales con 3 factores
Estadistica inferencial 2 (Instituto Tecnológico de Tlalnepantla)
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5.2
DISEÑOS FACTORIALES CON TRES FACTORES
Muchos involucrados con más de dos factores. En esta sección presentaremos el
caso en el que hay “a” niveles del factor A, “b” niveles del factor B, “c” niveles del
factor C, etc., arreglados en un experimento factorial. En general, habrá abc…k
observaciones totales, si hay k réplicas del experimento completo.
Suponiendo que A, B, C son fijos, el análisis de varianza se muestra en la tabla
5.2. Nótese que debe haber al menos dos réplicas (k≥2) para calcular una suma
de cuadrados del error. Las pruebas de F en los efectos e interacciones
principales siguen directamente de las medias cuadráticas esperadas. Las
fórmulas de cálculo para las sumas de cuadrados en la tabla 5.2 se obtienen
fácilmente.
FÓRMULAS
a = # de niveles del factor A, b = # de niveles del factor B,
c = # de niveles del factor C, k = # de réplicas.
La suma de cuadrados totales = SST
SST = ∑Y2 – MC
MC = factor de corrección
MC =
Un ingeniero mecánico está estudiando la rugosidad superficial de una pieza
producida en una operación de corte metálico. Son de interés tres factores:
la rapidez de corte (A), la profundidad de corte (B) y el ángulo de corte (C). a
cada factor se han asignado dos niveles, y se están ejecutando dos réplicas
de diseño factorial. Los datos codificados se muestran en la tabla 1.
Tabla 1
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Rapidez del corte A
Profundidad de corte B
0.025 pulgadas
0.040 pulgadas
ángulo de corte C
ángulo de corte C
0
0
15
25
150
250
20 pulgadas/ min.
9,7
21
11, 10
9, 11
16
30 pulgadas/min.
10, 12
10, 13
23
22
10, 8
20
18
12, 15
16, 14
27
30 2+162+142 = 2051
∑Y2 = 92+72+102+122+112+102+102+132+92+112+122+152+102+8
A = rapidez, B= profundidad en plgs. C = ángulo de corte, K = réplicas
Sumar los valores de los resultados de las réplicas para cada profundidad de corte
de acuerdo a las pulgadas.
Para el factor A(0.025): 16+21 = 37, 22+23 = 45,
Para el factor A(0.040): 20+18 = 38, 27+30 = 57, se sustituyen en la siguiente
tabla y se suman los renglones.
Para el factor B: 16+21 = 37, , 22+23 = 45, 20+18 = 38, 27+30 = 57 se
sustituyen la siguiente tabla y se suman las columnas
Tabla-2
B
A
20 plg./min
30plg./min
Sumatoria ∑B
Sumatoria ∑B2
0.025
37
45
82
6724
0.04
38
57
95
9025
sumatoria
∑A
75
102
∑Y=177
sumatori
a
∑A2
5625
10404
∑AT2 = 5625 + 10404 = 16029
∑BT2 = 6724+9025 = 15749
∑y = 16+22+21+23+20+27+18+30 = 177
Factor de corrección
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MC = = = = 1958.0625
MC = 1958.0625
Suma de cuadrados de A
SSA = - MC= - 1958.0625 = - 1958.0625 = 2003.625-1958.0625
SSA = 45.5625
Suma de cuadrados de B
SSB = - MC= - 1958.0625 = 10.5625
SSB = 10.5625
Para el factor C con los datos de la tabla 1 con 15 0: 16+20 = 36, 22+27 = 49,
se sustituyen en la siguiente tabla y se suman las columnas.
Para el factor C con los datos de la tabla 1 con 25 0: 21 + 18 = 39, 23+30 = 53,
se sustituyen en la siguiente tabla y se suman las columnas.
Tabla-3
C
A
20 pulg./min.
30 puig./min.
Sumatoria ∑C
Sumatoria ∑C2
0
15
36
49
85
7225
250
39
53
92
8464
∑CT2 = 7225 + 8464 = 15689
∑CT2 =15689
a = 2, b = 2, c = 2, k = 2
∑Y= 177
∑Y2 = 92+72+102+122+112+102+102+132+92+112+122+152+102+82+162+142 = 2051
Factor de corrección
MC = = = = 1958.0625
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MC = 1958.0625
Suma total de cuadrados
SST = ∑Y2 – MC = 2051 – 1958.0625 = 92.9375
SST = 92.9375
Suma de cuadrados de C
SSC = - MC= - 1958.0625 = 3.0625
SSC = 3.0625
Suma de cuadrados de AB
De la tabla 2 obtenemos los datos de las intersecciones entre A y B para
calcular ∑ABT2 y SSAB.
Tabla-4
B
A
20 pulg./min.
30 pulg./min.
0.025
37
45
0.04
38
57
∑ABT2 = (37)2 + (38)2 + (45)2 + (57)2 = 8087
∑ABT2 = 8087
Suma de cuadrados de AB
SSAB = - [ MC + SSA + SSB ]
SSAB = - [1958.0625 + 45.5625 + 10.5625]
SSAB = 2021.75 – 2014.125 = 7.625
SSAB = 7.625
De la tabla 3 obtenemos los datos de las intersecciones entre A y C para
calcular ∑ACT2 y SSAC.
Tabla-5
C
A
20 pulg./min.
30 puig./min.
0
15
36
49
250
39
53
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∑ = (36)2 + (39)2 + (49)2 + (53)2 = 8027
∑ = 8027
SSAC = - [ MC + SSA + SSC ]
SSAC = - [1958.0625 + 45.5625 + 3.0625]
SSAC = 2006.75 – 2006.6875 = 0.0625
SSAC = 0.0625
De la tabla 1 obtenemos los datos de las intersecciones entre B y C para
calcular ∑ y SSBC.
Tabla-6
Profundidad de corte "B"
0.025 pulgadas
Ángulo de corte "C"
0.40 pulgadas
Ángulo de corte "C"
9,7
16
11,10
21
9,11
10,8
20
18
10,12
22
∑BC = 38
∑BC2 = 1444
10,13
12,15
16,14
23
∑ BC =44
∑BC2 = 1936
27
∑BC = 47
∑BC2 = 2209
30
∑BC = 48
∑BC2 = 2304
∑BCT2 1444+1936+2209+2304 = 7893
SSBC = - [ MC + SSB + SSC ]
SSBC = - [1958.0625 + 10.5625 + 3.0625]
SSBC = 1973.25 – 1971.6875 = 1.5625
SSBC = 1.5625
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Tabla 1
Profundidad de corte "B"
Rapidez de corte " A"
20 Plg/min.
0.025 pulgadas
0.40 pulgadas
Ángulo de corte "C"
Ángulo de corte "C"
9, 7
30 Plg/ min.
11, 10
16
21
10, 12
10, 13
22
23
9, 11
10, 8
20
18
12, 15
27
16, 14
30
De la tabla 1 obtenemos los datos de las intersecciones de las sumatorias de
las réplicas entre A, B y C para calcular ∑ABC T2 y SSABC.
∑ABCT2 = (16)2 + (21)2 + (20)2 + (18)2 + (22)2 + (23)2 + (27)2 + (30)2 = 4063
∑ABCT2 = 4063
SSABC = - [ MC + SSA+ SSB + SSC +SSAB+SSAC+SSBC ]
SSABC = - [1958.0625+45.5625+10.5625+3.0625+7.5625+0.0625+1.5625]
SSABC = 2031.5 – 2026.4375 = 5.0625
SSABC = 5.0625
Suma de cuadrados del error
SSE=SST- [SSA+ SSB + SSC +SSAB+SSAC+SSBC + SSABC]
SSE = 92.9375 -[45.5625+10.5625+3.0625+7.5625+0.0625+1.5625+5.0625]
SSE = 92.9375 – 73.4375 = 19.5
SSE = 19.5
CALCULAR LOS PROMEDIOS
MSA= = = 45.5625
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MSA = 45.5625
MSB= = = 10.5625
MSB = 10.5625
MSC= = = 3.0625
MSC = 3.0625
MSAB = = = 7.5625
MSAB = 7.5625
MSAC = = = 0.0625
MSAC = 0.0625
MSBC = = = 1.5625
MSBC = 1.5625
MSABC = = = 5.0625
MSABC = 5.0625
MSE = = = = 2.4375
MSE = 2.4375
CALCULA LOS ESTADÍSTICOS DE PRUEBA
FA = = = 18.6923
FA = 18.6923
FB = = = 4.333
FB = 4.333
FC = = = 1.256
FC = 1.256
FAB = = = 3.102
FAB = 3.102
FAC = = = 0.025
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FAC = 0.025
FBC = = = 0.641
FBC = 0.641
FABC = = = 2.076
FABC = 2.076
TABLA DE ANOVA PARA EL MODELO DE EFECTOS FIJOS DE TRES FACTORES
Fuente de
variación
A = rapidéz
B = profundidad
C = ángulo de la h
AB
AC
BC
ABC
Error
Total
Suma de
cuadrado
s
SSA
SSB
SSC
SSAB
SSAC
SSBC
SSABC
SSE
SST
Grados de
libertad
Media de
cuadrados
Estadístico
de prueba
a–1
b -1
c-1
(a-1)(b-1)
(a-1)(c-1)
(b-1)(c-1)
(a-1)(b-1)(c-1)
abc(k-1)
abcn-1
MSA
MSB
MSC
MSAB
MSAC
MSBC
MSABC
MSE
FA
FB
FC
FAB
FAC
FBC
FABC
TABLA DE ANOVA PARA EL MODELO DE EFECTOS FIJOS DE TRES FACTORES
Fuente de
variación
A
B
C
AB
AC
BC
ABC
Error
Total
Suma de
Grados de libertad
Media de
cuadrados
cuadrados
45.5625
2–1=1
45.5625
10.5625
2 -1 = 1
10.5625
3.0625
2-1 = 1
3.0625
7.5625
(2-1)(2-1) = 1
7.5625
0.0625
(2-1)(2-1) = 1
0.0625
1.5625
(2-1)(2-1) = 1
1.5625
5.0625
(2-1)(2-1)(2-1) = 1
5.0625
19.5
2x2x2(2-1) = 8=v2
2.4375
SST=92.937
5
Comprobación SST = ∑Y2 – MC = 2051 – 1958.0625 = 92.9375
Estadístico
de prueba
18.6923
4.333
1.256
3.102
0.025
0.641
2.076
La tabla de ANOVA contiene el resumen del análisis de la varianza. Los
cocientes F para los tres efectos principales y las interacciones se forman al
dividir la media de cuadrados del efecto de interés por la media de
cuadrados del error. Puesto que el experimentador ha seleccionado α = 0.05,
V1 = 1, V2 = 8, el valor crítico para cada uno de estos cocientes es F = 5.32.
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Área de aceptación
área de rechazo
Fα = 5.32
FB = 4.333
FAB = 3.102
FA = 18.69
El estadístico de prueba FA = 18.69 cae en el área de rechazo lo que significa
que la tasa de Rapidez de corte " A" tiene un efecto significativo en el en el
acabado superficial.
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