Quinta edición CAPÍTULO 1 MECÁNICA DE MECÁNICA DE MATERIALES MATERIALES Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Notas: J. Walt Oler Texas Tech University Introducción: Concepto de esfuerzo © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Contenido Concepto de esfuerzo Esfuerzo de apoyo en conexiones Revisión de estática Análisis del esfuerzo y ejemplo de diseño Diagramas de cuerpo libre Esfuerzos normales del aguilón y la varilla Método de los nudos Esfuerzos cortantes en los pasadores Análisis del esfuerzo Esfuerzo de apoyo en los pasadores Diseño Esfuerzo en elementos con dos fuerzas Carga axial: esfuerzo normal Esfuerzos en un plano oblicuo Carga céntrica y excéntrica Esfuerzos máximos Esfuerzo cortante Esfuerzo bajo condiciones generales de carga Ejemplos de esfuerzo cortante Factor de seguridad © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 2 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Concepto de esfuerzo • El principal objetivo de la mecánica de materiales es proporcionar al futuro ingeniero los medios de análisis y diseño de elementos de máquinas y estructuras de soporte de carga. • Se comenzará definiendo los tipos de esfuerzo. • Tanto el análisis como el diseño de una estructura dada, implican la determinación de los esfuerzos y las deformaciones. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 3 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Revisión de estática • La estructura mostrada está diseñada para soportar una carga de 30 kN. • La estructura consiste de un aguilón y una varilla unidos por pasadores en las uniones y apoyos. • Se realizará un análisis estático para determinar las fuerzas internas de cada elemento de la estructura y las fuerzas de contacto en los apoyos. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 4 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Estructura de diagrama de cuerpo libre • La estructura se separa de sus soportes, y se indican las cargas y las fuerzas de reacción en esos puntos. A continuación se aplican las condiciones de equilibrio estático: M C 0 Ax 0.6 m 30 kN 0.8 m Ax 40 kN Fx 0 Ax C x C x Ax 40 kN Fy 0 Ay C y 30 kN 0 Ay C y 30 kN • Ay y Cy no pueden determinarse a partir de estas ecuaciones. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 5 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Componente de diagrama de cuerpo libre • Además de la estructura total, cada componente debe satisfacer las condiciones de equilibrio estático. • Considere un diagrama de cuerpo libre para el aguilón: M 0 A 0.8 m B y Ay 0 Y al sustituir en la ecuación de equilibrio de la estructura resulta C y 30 kN • Además: A 40 kN C x 40 kN C y 30 kN Las fuerzas de reacción se desplazan a lo largo del aguilón y la varilla. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 6 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Método de los nudos • El aguilón y la varilla son elementos de dos fuerzas; es decir, los miembros están sometidos a fuerzas sólo en dos puntos, y se aplican en los extremos de dichos miembros. • Los elementos AB y BC son elementos de dos fuerzas de igual magnitud, y en direcciones opuestas. • También se puede seleccionar un nudo, el pasador en B por ejemplo, y aplicar equilibrio estático, formando un triángulo de fuerza: F B 0 FAB FBC 30 kN 4 5 3 FAB 40 kN © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. FBC 50 kN 1- 7 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Análisis del esfuerzo ¿Puede la estructura sostener de manera segura 30 kN de carga? • Desde un análisis de estática, FAB = 40 kN (compresión) FBC = 50 kN (tensión) • En cualquier sección del miembro BC la fuerza interna es de 50 kN, con una intensidad de fuerza o esfuerzo de dBC = 20 mm P 50 103 N BC 159 MPa A 314 10-6 m 2 • De las propiedades del material para el acero, el esfuerzo permisible es perm 165 MPa • Conclusión: el miembro BC soportará la carga. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 8 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Diseño • El diseño de nuevas estructuras requiere de la selección adecuada de materiales y dimensiones de sus components, para cumplir con los requisitos de desempeño. • Si el peso de la estructura fuera crítica (la densidad del acero es alta), se puede hacer el elemento de una varilla de aluminio perm= 100 MPa). En este caso, ¿cuál es diámetro adecuado para la varilla? 50 103 N A 500 10 6 m 2 6 perm 100 10 Pa P perm A P d2 A 4 d 4A 4 500 10 6 m 2 2.52 10 m 25.2 mm 2 • Una varilla de aluminio de 26 mm de diámetro o un poco más, es adecuada. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 9 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Carga axial: esfuerzo normal • La resultante de las fuerzas internas de un miembro es normal o axial, si es perpendicular al área transversal • La intensidad de la fuerza sobre esa sección está definida como el esfuerzo normal. F A0 A lím prom P A • El esfuerzo normal en un punto determinado, no necesariamente es igual al esfuerzo promedio, pero la resultante de la distribución de tensiones debe satisfacer P prom A dF dA A • La distribución detallada de esfuerzo es estáticamente indeterminada, es decir, no se puede encontrar sólo de la estática. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 10 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Carga céntrica y excéntrica • Una distribución uniforme de esfuerzos en una sección, significa que la línea de acción de la resultante de las fuerzas internas pasa por el centro de gravedad de la sección. • Esta situación sólo es posible si las cargas concentradas en los tramos finales de los miembros con dos fuerzas se aplican en los centroides de la sección. Esto se conoce como carga céntrica. • Si la fuerza está descentrado, (es excéntrica) entonces la resultante de la distribución de esfuerzo en una sección resultará en una fuerza axial y un momento. • La distribución de esfuerzos en los miembros excéntricos no es uniforme o simétrica. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 11 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo cortante • Las fuerzas P y P’ se aplican transversalmente a un elemento AB. • Fuerzas internas correspondientes actúan en el plano de la sección C, y se denominan fuerzas cortantes. • El resultado de la distribución interna de la fuerza cortante está definida por el cortante de la sección, y es igual a la carga P (o V). • El esfuerzo cortante promedio correspondiente P es prom A • La distribución del esfuerzo de corte varía de cero las superficies de la piezs a valores máximos, que pueden ser mucho mayores que el valor promedio. • No debe de considerarse que la distribución del esfuerzo de corte sea uniforme. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 12 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ejemplos de esfuerzo cortante Cortante sencillo ave P F A A © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Cortante doble prom P F A 2A 1- 13 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo de apoyo en conexiones • Los tornillos, remaches y pasadores crean esfuerzos en los puntos de contacto o en las superficies de apoyo de los elementos que conectan. • La resultante de la distribución de la fuerza en la superficie es igual y opuesta a la fuerza ejercida sobre el pasador. • La intensidad de fuerza media correspondiente se denomina esfuerzo de apoyo. b © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. P P A td 1- 14 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Análisis del esfuerzo y ejemplo de diseño Extremo plano VISTA SUPERIOR DE LA VARILLA BC • Cálculos de esfuerzos en los elementos y las conexiones de la estructura que se muestra. • del análisis de estática: FAB = 40 kN (compresión) FBC = 50 kN (tensión) VISTA FRONTAL Extremo plano VISTA DE EXTREMO • Debe considerar esfuerzos normales en AB y BC, y esfuerzos cortantes y de apoyo en cada conexión. VISTA SUPERIOR DEL AGUILÓN AB © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 15 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzos normales de aguilón y varilla • La varilla está en tensión con una fuerza axial de 50 kN. • En el centro de la varilla, la tensión normal media en la sección circular (A = 314x10-6m2) es BC = +159 MPa. • En los extremos de la varilla plana, el área de sección transversal más pequeña se produce en la línea central del pasador, A 20 mm 40 mm 25 mm 300 10 6 m 2 P 50 103 N BC ,extremo 167 MPa A 300 10 6 m 2 • Al aguilón se le comprime con una fuerza axial de 40 kN, y el esfuerzo normal medio es de –26.7 MPa. • Las zonas críticas son las partes donde la superficie es minima, por ejemplo, en los extremos de la varilla. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 16 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzos cortantes en los pasadores • La sección transversal de los pasadores en A, B y C, 2 25 mm 6 2 A r 491 10 m 2 2 • La fuerza en el pasador en C es igual a la fuerza ejercida por la varilla BC, P 50 103 N C ,prom 102 MPa 6 2 A 49110 m • El pasador en A está en cortante doble, con una fuerza total igual a la fuerza ejercida por el aguilón AB, A,prom © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. P 20 kN 40.7 MPa 6 2 A 49110 m 1- 17 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzos cortantes en los pasadores • Dividir el pasador B en secciones para determinar la sección con la mayor fuerza cortante, PE 15 kN PG 25 kN (máximo) • Evaluar el correspondiente esfuerzo cortante medio B ,prom PG 25 kN 50.9 MPa 6 2 A 49110 m © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 18 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo de apoyo en los pasadores • Para determinar el esfuerzo de apoyo en A en el aguilón AB, se tiene que t = 30 mm y d = 25 mm, b P 40 kN 53.3 MPa td 30 mm 25 mm • Para determinar el esfuerzo de apoyo en A, se tiene: t = 2 (25 mm) = 50 mm y d = 25 mm, b P 40 kN 32.0 MPa td 50 mm25 mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 19 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo en elementos con dos fuerzas • Las fuerzas axiales en elementos con dos fuerzas, resultan sólo en esfuerzos normales en el plano de corte perpendicular al eje del elemento. • Las fuerzas transversales en tornillos y pernos dan por resultado sólo el esfuerzo cortante en el plano perpendicular al eje del perno o del tornillo. • Como se muestra, cualquiera de las fuerzas axiales o transversales puede producir esfuerzos normales y de corte respecto a un plano que no sea un corte perpendicular al eje del elemento. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 20 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzo en un plano oblicuo • Al analizar un corte en una sección oblicua formando el ángulo q con el plano normal. • De las condiciones de equilibrio, la suma de las fuerzas distribuidas en el plano deben ser equivalentes a la fuerza P. • Encontrar las componentes normales y tangenciales a la sección oblicua, F P cos q V Psenq • Los esfuerzos promedio normal y cortante en el plano oblicuo son F P cos q P cos 2 q Aq A0 A0 cos q V Psenq P senq cos q Aq A0 A0 cos q © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 21 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzos máximos • Fuerzas normales y cortantes en un plano oblicuo P P cos 2q senq cosq A0 A0 • El esfuerzo normal máximo se produce cuando el plano de referencia es perpendicular al eje del elemento, m P A0 0 • El esfuerzo cortante máximo se produce para un plano a + 45o con respecto al eje, m © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. P P sen 45 cos45 A0 2 A0 1- 22 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Esfuerzos bajo condiciones generales de carga • Un elemento sometido a una combinación general de cargas se corta en dos segmentos por un plano que pasa por Q • La distribución de los componentes del esfuerzo interno puede definirse como F x x lím A0 A xy lím A0 V yx A Vzx xz lím A0 A • Para cumplir el equilibrio, una fuerza interna igual y opuesta debe ser ejercida en el segmento opuesto del elemento. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 23 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Estado de esfuerzo • Los componentes del esfuerzo se definen para los planos paralelos a los ejes x, y y z. Para lograr el equilibrio, esfuerzos iguales y opuestos se ejercen sobre los planos ocultos. • La combinación de fuerzas generadas por los esfuerzos deberán cumplir las condiciones de equilibrio: Fx Fy Fz 0 Mx M y Mz 0 • Considere los momentos alrededor del eje z: M z 0 xy Aa yx Aa xy yx de manera similar, yz zy y yz zy • De lo anterior se deduce que sólo se necesitan 6 componentes de esfuerzo para definir completamente este estado de esfuerzo. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 24 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Factor de seguridad Los elementos estructurales de las máquinas y estructuras, deben ser diseñados de tal forma que los esfuerzos de trabajo sean menores que la resistencia a la tensión del material. FS Factor de seguridad FS u esfuerzo último perm esfuerzo permisible Consideraciones para elegir el factor de seguridad: • incertidumbre en las propiedades del material • incertidumbre de las cargas • incertidumbre de los análisis • número de ciclos de carga • tipos de fallas • requisitos de mantenimiento y efectos del deterioro • importancia de los elementos a la integridad de la estructura total • riesgo para la vida y la propiedad • influencia en el funcionamiento de la máquina © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 25