Taller Competencias Cognoscitiva Segundo Seguimiento 2024-2 (1)

CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES TALLER SEGUNDO SEGUIMIENTO 2024-2
1. VOCABULARIO: Llene los espacios en blanco:
1.1
La Ecuación general 9X2 -90X + 144Y2 + 576Y + 16Z2 = - 801 representa en su
FORMA canónica a una superficie llamada ELIPSOIDE con centro en el punto (5,-2,0) y eje
mayor paralelo al eje Y
1.2
La función de dos variables Independientes Z = f (X, Y) = (3X2 – 2) (2Y2 – 8) + 2 tiene
cuatro puntos críticos dados por ----------------------------------------------------------------------con
la característica que todos son puntos -------------------------------y el valor de Z corresponde
a----------------------1.3
Una empresa produce Enfriadores y aire acondicionado. Si el Ingreso Total
generado por las ventas de “X” enfriadores y “Y” aires acondicionados está dado por la
función I(x, y) = 42Y – 8Y2 – 2XY – 5X2 + 33X y los costos totales de producción están dados
por C(x, y) = 6Y – 9X + Y2 – 2XY + 2X2 + 7, significa que la función Utilidad está dada por
U(x, y) = 36𝑌 − 9𝑌 2 + 42𝑋 − 7𝑋 2 para que el número de Enfriadores que deba producir
diariamente sea de 3 y el número de aires acondicionados sea de 2 para que el ingreso
máximo sea de 86.
1.4
La ecuación general 9X2 – 54X + Y2 + 4Y + 36Z + 49 = 0 representa una superficie
llamada PARABOLOIDE ELÍPTICA con centro en el punto (3,-2,0) con eje paralelo al eje Z y
abre hacia ARRIBA.
2. EJERCICIO COMPLEMENTARIO
Aplicar el concepto de los Multiplicadores de Lagrange para hallar los máximos y
mínimos de:
𝑍 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑋𝑌3
1
1
Sujeta a 𝑋 2 + 𝑌 2 = 4
SOLUCIÓN
DERIVAMOS CON RESPECTO A X E Y EN LA FUNCIÓN Y LA RESTRICCIÓN:
𝜕𝑓
𝟃𝒈 𝟏 −𝟏
= 𝑦3 ;
= 𝒚 𝟐
𝟃𝒙
𝟃𝒙 𝟐
𝜕𝑓
𝟃𝒇 𝟏 −𝟏
= 3𝑥𝑦 2 ;
= 𝒙 𝟐
𝜕𝑦
𝟃𝒚 𝟐
CONTRUIMOS LAS ECUACIONES:
1 1
𝜆 1
𝑦 3 − 𝜆 ( 𝑥 −2 ) = 0 … … . .1 == 𝑌 3 = 𝑋 −2
2
2
1 −1
𝜆 1
2
3𝑥𝑦 − 𝜆 ( 𝑦 2 ) = 0 … … 2 == 3𝑋𝑌 = 𝑌 −2
2
2
1
1
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 4) = 0 … … … 3
RESOLVEMOS EL SISTEMA DE ECUACIONES:
1
1) 𝜆 = 2𝑌 3 𝑋 −2
2
2) 3𝑋𝑌 = (2𝑌
3
1
1 1
𝑋 −2 ) ∗ 𝑌 −2 =>
2
3𝑋𝑌 2
5
𝑌2
5
=
1
𝑌2 𝑋 2
5
1
=>
3𝑋𝑌 −2
1
1
=
𝑌2
𝑌2
𝑋2
1 1 2
2
2 2
1 => (3𝑋) = (𝑋 𝑌 ) =>
𝑌2
=> 9𝑋 = 𝑌
1
1
1
1
1
1
1 2
3𝑋 2 4
3) 𝑋 2 + 𝑌 2 − 4 = 0 => 𝑋 2 + (9𝑋)2 = 4 => 𝑋 2 +
= => (𝑋 2 ) = 12 => 𝑋 = 1
4
4
SUSTITUIMOS EL VALOR QUE NOS DIO EN X EN EL RESULTADO ANTERIOR:
9𝑋 = 𝑌 => 9(1) = 𝑌 => 9 = 𝑌
PUNTO CRITICO (𝑋, 𝑌) = (1,9)
REEMPLAZAMOS EN 𝑍 = 𝐹(𝑋, 𝑌) = 𝑋𝑌 3 => 𝑍 = 𝐹(1,9) = 𝑋𝑌 3
𝑍 = (1)(9)3 = 729
𝑍 = 729
9𝑋 2 𝑋𝑌
=
𝑋
𝑋