Números Complejos: Introducción, Operaciones y Propiedades

Tema 1
Números Complejos
1.1
Introducción
Los números complejos son una herramienta de trabajo muy importantes, tanto en matemáticas
puras como aplicadas. Se utilizan en campos de la fı́sica tales como la aerodinámica, el electromagnetismo
o la mecánica cuántica, y en ramas de la ingenierı́a como la electricidad y la electrónica, ya que resultan
muy útiles a la hora de describir el comportamiento de ondas o de la corriente eléctrica.
Aunque los babilonios, alrededor de 2000 años a.c., ya conocı́an el método para resolver ecuaciones
cuadráticas, la primera mención a la raı́z cuadrada de un número negativo se atribuye a Herón de
Alejandrı́a (Siglo I) y la primera manipulación aparece en los escritos de G. Cardano (1501–1576) al
resolver ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado. El autor propone el problema que consiste en
dividir un segmento de longitud 10 en dos trozos tales que el rectángulo cuyos lados tienen la longitud
de esos trozos tenga área 40. Es decir, plantea la ecuación de segundo grado
x (10 − x) = 40.
Cardano admite que el problema no tiene solución, ya que el rectángulo de mayor área que se puede
construir, un cuadrado, corresponderı́a a la división del segmento en dos partes iguales de longitud 5, y
tendrı́a, por tanto, área 25. En 1637, Descartes, en su obra ”Discourse de la méthode”, los bautiza como
números imaginarios, es decir, ya se está reconociendo la existencia de unos números que no son reales.
El primer gran paso hacia la instalación definitiva de los números complejos en la matemática se
debe a Euler (1707–1783) que definió un nuevo número, al que llamó i. De él afirmó que no era ni mayor,
ni menor, ni igual que ningún número real, y definió las reglas de suma y multiplicación de este número
que hoy conocemos. En particular la conocida
i2 = −1.
√
Tenemos que tener cuidado con considerar i = −1. Cuando terminemos el tema debemos ser
capaces de ver dónde está el error en la siguiente cadena de desigualdades:
p
√
√ √
−1 = i2 = −1 −1 = (−1) (−1) = 1 = 1
1
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TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.2
2
Definición, operaciones y propiedades de los números complejos
Para empezar a trabajar con los números complejos, primero definiremos su estructura, las formas
que tiene de representarse y las operaciones que se pueden realizar con ellos.
Definición 1.2.1: Número complejo
Si x e y son dos números reales, el par ordenado (x, y), con las operaciones y las propiedades que
se definen a continuación, se llama número complejo.
El conjunto de los números complejos se denota con C.
Los pares (x, 0) se identifican con los números reales y los pares (0, y) se denominan números
imaginarios puros.
Definición 1.2.2: Unidad imaginaria
Se llama unidad imaginaria, y se designa por i, al número complejo imaginario puro (0, 1).
Definición 1.2.3: Forma binómica
Se llama forma binómica del número complejo (x, y) a la expresión
z = x + yi,
donde x se llama parte real y se escribe x = Re (z ), e y se le llama parte imaginaria y se
escribe y = Im(z ).
Definición 1.2.4: Afijo
El número complejo z = x + yi puede representarse geométricamente en el plano R2 como el punto
de coordenadas cartesianas (x, y). Dicho punto se denomina el afijo de z.
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1.3
3
Operaciones y propiedades de los números complejos.
Una vez establecido el concepto de número complejo, podemos definir unas operaciones internas que
hacen que este conjunto tenga una estructura algebraica más completa.
• Igualdad:
La igualdad entre números complejos z = x + yi y z ′ = a + bi se define como:
x + yi = a + bi ⇔ x = a e y = b,
es decir, dos números complejos son iguales cuando
Re (z ) = Re (z ′ ) y Im (z ) = Im (z ′ )
• Adición:
Si z = x + yi y z ′ = a + bi, entonces se define la suma como:
z + z ′ = (x + yi) + (a + bi) = (x + a) + (y + b) i,
con las siguientes propiedades:
– Asociativa. Para toda terna de números x + yi, a + bi y c + di complejos se verifica
[(x + yi) + (a + bi)] + (c + di) = (x + yi) + [(a + bi) + (c + di)]
– Conmutativa. Para todo par de números complejos z = x + yi y z ′ = a + bi se verifica
(x + yi) + (a + bi) = (a + bi) + (x + yi)
– Existencia de elemento neutro. Existe un número complejo, que escribiremos como (0, 0) , o
como 0 + 0i, que para todo número complejo x + yi, verifica
(x + yi) + (0 + 0i) = x + yi
Hablaremos del cero complejo y lo escribiremos como z = 0.
– Existencia de elemento opuesto. Para todo número complejo x+yi existe un número complejo,
que escribiremos como −x − yi, que verifica
(x + yi) + (−x − yi) = 0 + 0i.
Diremos que (C, +) es un grupo conmutativo. Esto significa que la suma con las propiedades
anteriormente descritas dota al conjunto de los números complejos de la estructura algebraica de grupo
conmutativo.
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4
• Multiplicación:
Si z = x + yi y z ′ = a + bi, entonces se define el producto como:
z · z ′ = (x + yi) · (a + bi) = (xa − yb) + (xb + ay)i
El producto de números complejos tiene las siguientes propiedades:
– Asociativa. Para toda terna de números complejos x + yi, a + bi y c + di se verifica
[(x + yi) · (a + bi)] · (c + di) = (x + yi) · [(a + bi) · (c + di)].
– Conmutativa. Para todo par de números complejos x + yi y a + bi se verifica
(x + yi) · (a + bi) = (a + bi) · (x + yi)
– Existencia de elemento neutro. Para todo número complejo z = x + yi, existe un número
complejo, que escribiremos como (1, 0) o como 1 + 0i, que verifica
(x + yi) · (1 + 0i) = x + yi
– Existencia de elemento inverso. Para todo número complejo a + bi ̸= 0, existe un número
complejo que escribiremos como x + yi que verifica.
(x + yi) · (a + bi) = (xa − yb) + (xb + ay) i = (1, 0)
Es fácil deducir que
x=
a
a2 + b2
y=
−b
a2 + b2
Diremos que (C− {0} , ·) grupo conmutativo. El producto con las propiedades ya descritas, dota
al conjunto de los números complejos de la estructura algebraica de grupo conmutativo.
Por último estudiamos una propiedad que involucra a la suma y al producto.
- Distributividad. Para toda terna x + yi, a + bi y c + di de números complejos se verifica
(x + yi) · [(a + bi) + (c + di)] = (x + yi) · (a + bi) + (x + yi) · (c + di)
(C, +, .) es un cuerpo conmutativo que, a diferencia del cuerpo R, no es un cuerpo ordenado. Al
identificar el número real x con el complejo (x, 0), se tiene que R es un subcuerpo de C.
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5
Ejemplo 1.3.1:
Se deduce inmediatamente que:
i2
=
i · i = −1
3
i
=
i2 · i = −1 · i = −i
i4
=
i3 · i = −i · i = −i2 = 1
Para calcular in , n ∈ N, basta elevar i al resto de dividir n entre 4 ya que n = 4c + r, con lo que
in = i4
1.4
c r
i = ir .
Conjugado de un número complejo
Definición 1.4.1: Conjugado
El conjugado de un número complejo z = x + yi es el nuevo número complejo
z̄ = x − yi
Proposición 1.4.1: Propiedades derivadas de la definición de conjugado
Para todo z, z ′ ∈ C se verifican las siguientes propiedades:
1. z = z
2. z=z ⇐⇒ z ∈ R
3. z + z ′ = z + z ′
−
4. z.z ′ = z .z ′
5.
z
z′
−
=
z
si z ′ ̸= 0
z′
−
6. z + z = 2Re (z )
7. z − z = 2Im (z ) i
Teorema 1.4.1: Teorema fundamental del álgebra
Los polinomios de grado n, con coeficientes complejos, tienen exactamente n raı́ces en C contadas
cada una de ellas tantas veces como indiquen sus respectivas multiplicidades.
Se considera que una raı́z del polinomio p con coeficientes complejos, es un número complejo
z = a + bi tal que p(z) = 0. Además, si un polinomio p tiene todos sus coeficientes reales, y z = a + bi es
una raı́z de p, entonces el número complejo conjugado a − bi también es una raı́z del polinomio p.
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1.5
6
Módulo y argumento de un número complejo.
Si pensamos en las coordenadas cartesianas de un número complejo z como un punto en el plano,
podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la
distancia euclı́dea desde el origen del plano a dicho punto. De ahı́, obtenemos la siguiente definición.
Definición 1.5.1: Módulo de un número complejo
El módulo o valor absoluto de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:
q
√
2
2
r = |z| = z · z̄ = Re (z ) + Im (z )
Proposición 1.5.1: Propiedades del módulo
Para todo z, z ′ ∈ C, se verifica
1.
|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇐⇒ z = 0
2. La desigualdad triangular:
|z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |
3.
|z.z ′ | = |z| |z ′ |
4.
||z| − |z ′ || ≤ |z − z ′ |
2
5. Es claro que |z| = z · z̄, y por lo tanto, si z ̸= 0, entonces
z̄
1
= 2
z
|z|
Ejemplo 1.5.1:
Dados los números complejos z1 = −2 + 3i y z2 = 1 + 4i, es claro que
|−2 + 3i| =
√
13 y |1 + 4i| =
√
17
y esta cantidad marca la distancia de cada número al origen.
La distancia entre los dos números es:
|z1 − z2 | = |−3 − i| =
√
10
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Ejemplo 1.5.2:
El conjunto {z ∈ C : |z − 1 + 3i| = 2} representa los números complejos cuyos afijos están sobre
una circunferencia centrada en (1, −3) de radio 2.
Ejercicio 1.5.1. Comprueba que las siguientes igualdades se verifican.
a)
63 16
(2 − 3i) (3 + 2i)
=
+ i
4 − 3i
25 25
b)
2 + 3i
2
23
=
− i
(4 + 5i) i
41 41
c)
2
(2 + 5i) +
122 114
5 (7 + 2i)
− (4 − 6i) i = −
+
i
3 − 4i
5
5
Ejercicio 1.5.2. Encontrar los valores reales de x y de y que satisfacen las siguientes relaciones:
1.
x + iy = |x − yi|
2.
x + iy =
100
X
ik
k=0
3.
xi
3x + 4i
=
1 + yi
x + 3y
Solución. 1. {(x, y) ∈ C : x ∈ R+ , y = 0}
2. x = 1, y = 0
3. x = 2, y =
3
3
o x = −2, y = − .
2
2
Ejercicio 1.5.3. Comprobar que:
1. |z| = 1 describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la circunferencia centrada en el origen de radio 1.
2. z + z̄ = 1 describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la recta
de ecuación x = 1/2.
2
3. z + z̄ = |z| describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la
circunferencia centrada en el (1, 0) de radio 1.
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Definición 1.5.2: Argumento de un número complejo
Se llama argumento de z = x + iy, si z ̸= 0, al ángulo en radianes θ que verifica
(
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
Geométricamente, el argumento denota el ángulo que forma el vector de posición de z con el eje de
abscisas positivo, tal y como se observa en la siguiente imagen
Puede tomar cualquier valor de los infinitos posibles debido a la periodicidad de las funciones
trigonométricas. Dos de estos valores difieren en un múltiplo entero de 2π.
Definición 1.5.3: Argumento principal
Se denomina argumento principal de un número complejo no nulo, y lo designaremos como
Arg(z), al único θ ∈ [−π, π) que se determina mediante la ecuación
tan θ =
Imz
,
Rez
teniendo siempre en cuenta el cuadrante en el que se encuentra z.
En la siguiente tabla se muestran los argumentos principales de distintos números complejos:
Arg(1 + i) = arctan(1) = π/4
Arg(−1 + i) = arctan(−1) = 3π/4
Arg(−1 − i) = arctan(1) = −3π/4
Arg(1 − i) = arctan(−1) = −π/4
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Definición 1.5.4: Forma trigonométrica o polar
El módulo y el argumento permiten escribir z = x + iy de la forma:
z = |z| (cos θ + i sin θ)
Esta forma se denomina forma trigonométrica o forma polar del número complejo z.
Definición 1.5.5: Forma módulo-argumental
Se llama forma módulo-argumental de un número complejo z al par (r, θ) donde r = |z| y θ
es un argumento de z.
Es frecuente escribir rθ .
A la hora de operar con números complejos hay que tener en cuenta que la forma en la que los
expresemos nos puede facilitar mucho la tarea. Por esta razón, vamos a ver como se multiplican y dividen
complejos en forma polar.
Dados los números complejos z = |z| (cos θ + i sin θ) y z ′ = |z ′ | (cos ω + i sin ω) , se tiene:
1. Con respecto a la igualdad entre dos complejos expresados en forma polar.
|z| (cos θ + i sin θ) = |z ′ | (cos ω + i sin ω) ⇐⇒ |z| = |z ′ | y ω = θ + 2kπ, k ∈ Z
2. Con respecto al producto, tenemos:
z · z′
= |z| |z ′ | (cos θ + i sin θ) (cos ω + i sin ω)
= |z| |z ′ | ((cos θ cos ω − sin θ sin ω) + (cos θ sin ω + sin θ cos ω) i)
= |z| |z ′ | (cos (θ + ω) + sin (θ + ω) i)
3. Para hacer un cociente basta tener en cuenta que
z̄ = |z| (cos θ − i sin θ) y
1
z̄
1
= 2 =
(cos θ − i sin θ)
z
|z|
|z|
Luego
z′
z
= |z ′ | (cos ω + i sin ω)
1
|z ′ |
(cos θ − i sin θ) =
(cos (ω − θ) + sin (ω − θ) i)
|z|
|z|
Las operaciones anteriores justifican el siguiente resultado.
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10
Proposición 1.5.2: Propiedades del argumento
Si θ1 es el argumento de z1 y θ2 es el argumento de z2 , entonces:
1. θ1 + θ2 es el argumento de z1 · z2 .
z1
cuando z2 ̸= 0.
z2
2. θ1 − θ2 es el argumento de
Ejercicio 1.5.4. Calcular el módulo y el argumento principal de cada uno de los números complejos
siguientes y expresarlos en forma módulo argumental.
a) 1
b) −3i
c) −3 +
√
3i
d) (−1 − i)3
e) 1/(1 + i)
√
√
√
Solución. (1, 0) , (3, −π/2) , 2 3, 5π/6 , 2 2, −π/4 , 2/2, −π/4 respectivamente.
1.6
Exponencial compleja
Definición 1.6.1: Fórmula de Euler
Dado θ ∈ R, se denomina fórmula de Euler a la expresión:
eiθ = cos θ + i sin θ
De aquı́ se deduce que eiπ +1 = 0 que relaciona los cinco números más famosos de las matemáticas.
Definición 1.6.2: Forma exponencial
Se define la forma exponencial del número complejo z = x + iy como:
z = x + iy = |z| (cos θ + i sin θ) = |z| eiθ
Definición 1.6.3: Exponencial de un número complejo
Se define la exponencial de un número complejo z = x + iy del modo siguiente:
ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y)
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11
Proposición 1.6.1: Propiedades de la exponencial compleja
n
1. e0 = 1
4. (ez ) = enz
2. ez ̸= 0, ∀z ∈ C
5. ez = 1 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z.
3. ez1 ez2 = ez1 +z2 , ∀z1 , z2 ∈ C
6. ez1 = ez2 ⇔ z1 − z2 = 2kπi.
Prueba.
1. e0 = e0 (cos 0 + i sin 0) = 1.
(
ex cos y = 0
, lo que no es posible ya que ex ̸= 0, ∀x y
ex sin y = 0
además sin y y cos y no se pueden anular simultaneamente.
z
x
2. e = e (cos y + i sin y) = 0 ⇐⇒
3. Se deja al lector.
n
n
4. (ez ) = (ex (cos y + i sin y)) = enx (cos ny+i sin ny) = enz . Tengase en cuenta que el número
complejo cos y + i sin y tiene módulo 1 y argumento y, y que al multiplicarlo por si mismo
el número complejo resultante tendrá módulo 1 y argumento suma de argumentos.
(
(
(
x
e
cos
y
=
1
sin
y
=
0
y = 2kπ, k ∈ N
5. ez = 1 ⇐⇒
⇐⇒
=⇒
.
ex sin y = 0
cos y = ex = 1
x=0
6. Consecuencia inmediata de la propiedad anterior.
1.7
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
A partir de la fórmula de Euler
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θ
se deducen las siguientes expresiones
cos θ =
eiθ + e−iθ
2
sin θ =
eiθ − e−iθ
.
2i
Ambas son las versiones complejas de las funciones trigonométricas reales.
Definición 1.7.1: Funciones trigonométricas complejas
Dado z ∈ C, se definen las funciones trigonométricas complejas como
sin z =
eiz − e−iz
2i
cos z =
eiz + e−iz
2
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tan z =
sin z
cos z
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12
Es inmediato probar que sin z y cos z son funciones perı́ódicas de periodo 2π ya que se definen a
partir de la función exponencial que como acabamos de ver es periódica de periodo 2πi, y que se cumplen
las propiedades conocidas. A saber:
1. sin2 z + cos2 z = 1
3. sin (z ± w) = sin z cos w ± cos z sin w
2. sin (−z) = − sin z, cos (−z) = cos (z)
4. cos (z ± w) = cos z cos w + sin z sin w
Definición 1.7.2: Funciones hiperbólicas complejas
Dado z ∈ C, se definen las funciones hiperbólicas complejas como
sinh z =
ez − e−z
2
cosh z =
ez + e−z
2
Son también funciones periódicas de periodo 2πi y tienen las siguientes propiedades.
1. cosh2 z − sinh2 z = 1
3. sinh (z ± w) = sinh z cosh w ± cosh z sinh w
2. sinh (−z) = − sinh z, cosh (−z) = cosh (z)
4. cosh (z ± w) = cosh z cosh w ± sinh z sinh w
Proposición 1.7.1: Relaciones de funciones trigonométricas con hiperbólicas
1.8
1. sin (iz) = i sinh z
3. cos (iz) = cosh z
2. sinh (iz) = i sin z
4. cosh (iz) = cos z
Potencias y raı́ces n-ésimas de un número complejo
Para calcular la potencia de un número complejo se podrı́a utilizar la fórmula del binomio de
Newton si éste está expresado en forma binómica, pero si n es grande el proceso será muy laborioso.
Si se tiene el módulo r y el argumento θ, se puede definir fácilmente la potencia como sigue:
zn
=
reiθ
n
= rn einθ = rn (cos nθ + i sin nθ)
Definición 1.8.1: Fórmula de De Moivre
Se denomina fórmula de De Moivre a la expresión
z n = rn (cos nθ + i sin nθ)
Ejercicio 1.8.1. Hallar el módulo y el argumento de (1 + i)8 .
Solución. Módulo 16 y argumento 0.
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13
Ejercicio 1.8.2. Calcular i211
Solución. −i
Definición 1.8.2: Raı́z n-ésima
Dado z ∈ C, se dice que el número complejo w es una raı́z n-ésima de z cuando
wn = z
Proposición 1.8.1: Cálculo de raı́ces n-ésimas
Todo número complejo z, admite n raı́ces n-ésimas distintas dadas por
p
Arg (z) + 2kπ
wk = n |z|eiωk , con ωk =
, con k ∈ {0, 1, 2, ...n − 1} .
n
Prueba. Si z = |z| eiθ , buscamos números w = |w| eiω que verifiquen
n
z = wn = |w| einω = |z| eiθ
n
Como |w| = |z| y ω = θ+2kπ
n , para cada k ∈ Z se obtiene una raı́z n-ésima de z, wk . Es claro que
p
|wk | = n |z|
con w0 =
√
n
Arg (wk ) = ωk =
θ + 2kπ
n
θ
2π
rad. Si k = n se tiene
r,
, obteniendo el resto incrementando el argumento en
n
n
Arg (wn ) =
θ + 2nπ
θ
= + 2π = Arg (w0 )
n
n
y análogamente
Arg (wn+k ) =
θ + 2kπ
θ + 2 (n + k) π
=
+ 2π = Arg (wk )
n
n
Luego k ∈ {0, 1, 2, ...n − 1} .
Ejemplo 1.8.1:
√
3
−1 =
n
π o
1, π3 , (1, π), (1, − )
3
Ejemplo 1.8.2:
p
√
√
7
15
9
π
4
8 2 − 8 2i = (2, π), (2, π), (2, − π), (2, − )
16
16
16
16
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14
Ejemplo 1.8.3:
π
π
+ i sin que forman un
3
3
pentágono regular. En general los afijos de las n raı́ces enésimas de un número complejo forman
En el gráfico se representan los afijos de las 5 raı́ces quintas de z = cos
un polı́gono regular de n lados centrado en el origen.
Ejercicio 1.8.3. Resolver en C la ecuación z 5 = z̄.
Solución. z = 0 y los complejos de módulo 1 y argumentos 0,
π 2π
2π
π
,
, π, −
y− .
3 3
3
3
Ejercicio 1.8.4. Sabiendo que z = −i es solución de la ecuación, resolver en C la ecuación
z 3 + (5i − 6)z 2 + (9 − 24i)z + (18 + 13i) = 0
y encontrar las dos soluciones que faltan.
Solución. Las dos soluciones que faltan son 2 − 5i y 4 + i.
1.9
Logaritmo complejo
Definición 1.9.1: Logaritmo de un número complejo
Se define el logaritmo de z ∈ C, como el siguiente conjunto de números complejos:
log z = {w ∈ C : ew = z}
Observamos que si z = reiθ y w = x + iy, entonces
ew = ex (cos y + i sin y) = reiθ
y por lo tanto
r = ex , θ = y + 2kπ, k ∈ Z
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TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
15
de donde deducimos que
log z = w = x + iy = log r + i (θ + 2kπ)
Si tomamos el argumento en el intervalo (−π, π] aparece una función univaluada que se llama
logaritmo principal.
La función logaritmo en el campo complejo tiene también propiedades análogas al logaritmo real.
Proposición 1.9.1:
Si z1 = r1 eiθ1 y z2 = r2 eiθ2 se tiene que
log (z1 · z2 ) = log z1 + log z2
Prueba.
log (z1 · z2 )
=
log (r1 r2 ) + i (θ1 + θ2 + 2kπ)
=
log r1 + log r2 + i (θ1 + 2k1 π) + i (θ2 + 2k2 π)
=
log z1 + log z2
Ejemplo 1.9.1:
Calcular el logaritmo
y el logaritmo principal para los siguientes números complejos: z1 = −i y
√
2
−1
z2 = √ +
i
2
2
π
π
log (−i) = i − + 2kπ = i − + 2kπ
2
2
√ !
3π
−1
2
i
= i
+ 2kπ
log √ +
2
4
2
El logaritmo principal se calcula haciendo k = 0.
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TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
1.10
16
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1.10.1. Expresa los siguientes números complejos en forma binómica y en forma polar.
a)
e)
−i
1+i
8
b) (1 + i) −
cos 3x + i sin 3x
cos x + i sin x
1
i
c)
1
1
+
i(2 + 3i) 1 − 2i
1
2+i
f) z + , z =
z
1−i
g)
Solución. a) − 12 − 12 i
b)16 + i
c) −2 + 16
i
√ 1 1 √ 1 65 √3 65
7
9
f ) 10 + 10 i
g) 2 2 − 2 i
h) 2 2 + 2 i
1, −
d)1 + i
π
4
d) i5 + i16
h)
√
2,
π
3
e) cos 2x + i sin 2x
Ejercicio 1.10.2. Determina los números complejos z = x + yi y para los que x e y satisfacen las
relaciones siguientes:
a) x + iy = (x − iy)2
c)
Solución. a)
√
b) x + y + i(x − y) = (2 + 5i)2 + i(2 − 3i)
1 + i = x + iy
n
√
√ o
0, 1, − 12 + 23 i, − 12 − 23 i
d) (x + iy) (1 + i) = i
d)x = y = 21
b) 2 − 20i
Ejercicio 1.10.3. Describe geométricamente el conjunto de los números complejos que satisfacen cada
una de las condiciones siguientes:
d)
a) {z ∈ C : |z| < 1}
b) {z ∈ C : z − z = i}
z ∈ C : Re z 2 > 1
e) {z ∈ C : |z + 3i| > 4}
c)
z ∈ C− {0} : |z|−1 ≥ 1
f ) {z ∈ C : |z − 2| = |1 − 2z|}
Solución. a)Los números complejos cuyos afijos están en el interior del cı́rculo centrado en el origen y
de radio 1. b) Los números complejos cuyos afijos están sobre la recta y = 1/2. d) Los números complejos
cuyos afijos están a la izquierda y a la derecha de cada una de las ramas de la hipérbola x2 − y 2 = 1. e)
Los números complejos cuyos afijos están fuera de la circunferencia de centro (0, −3) y de radio 4.
Ejercicio 1.10.4. Calcula el módulo y el argumento de:
a)
√
7−
√
Solución. a)( 14, − π4 )
√
√
b) − 2 + 2 3i
7i
b) 4, 2π
3
c) 3, π6
√
3 3 3
+ i
2
2
d) 2, − π2
c)
F. Andres y D. Castaño. EIIA.UCLM
d) − 2i
TEMA 1. NÚMEROS COMPLEJOS
17
Ejercicio 1.10.5. Calcula
a)
√
8
−1
b)
√
5
r
2 − 2i
3
c)
1+i
−i
s√
d)
4
√
2+1+i
2+1−i
Solución. a) Son los ocho números complejos de módulo 1 y argumentos respectivosπ/8 + 2kπ/8 con
k = 1, ..., 7
c)
√
6
√
√
6
2, π4 , 6 2, 11
2, −5
12 π ,
12 π
d) Son números complejos de módulo 1 y argumentos π/16, 9π/16, −15π/16, −7π/16.
Ejercicio 1.10.6. Demuestra que si x es un número real, z = (2 + i)e(1+3i)x + (2 − i)e(1−3i)x es también
un número real.
Ejercicio 1.10.7. Resuelve las ecuaciones siguientes:
−
−
a) 3z z + 2(z − z ) = 39 + 12i
b) Re
z +1
=1
z +i
c) z 5 = 1 +
√
3i
Solución. a) 2 + 3i y −2 + 3i, b) La solución son todos los números complejos x + yi cuyos afijos están
en la recta x − y − 1 = 0, es decir {z ∈ C : z = x + (x − 1)i, x ∈ R}.
Ejercicio 1.10.8. Se considera el número complejo z =
a − 2i
√ , con a ∈ C. Determina el número
1 − 3i
complejo a para que:
1. z sea un número imaginario puro.
2. z sea un número real.
3. z sea un número cuyo afijo se encuentre en la bisectriz del primer cuadrante del plano complejo.
Ejercicio 1.10.9. En el cuerpo de los números complejos, calcula los valores de a, b ∈ R que cumplen:
2023
X
a + bi
=
ı̀k
2 + 3i
k=1
z+1
Ejercicio 1.10.10. Calcula el número complejo z ∈ C que cumple que Im( z+1
z ) = 0 y Re( z ) = 2
F. Andres y D. Castaño. EIIA.UCLM