Unidad_1.Conceptos_generales (1)

PROGRAMA DESARROLLADO
Cálculo de Varias Variables
Cálculo de varias variables
UNIDAD 1 Conceptos generales
4° cuatrimestre
Clave:
50920414
Octubre de 2011
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías
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PROGRAMA DESARROLLADO
Cálculo de Varias Variables
I.
Desarrollo de contenidos de la unidad
UNIDAD 1. Conceptos Generales
Presentación de la unidad
En esta unidad adquirirás los fundamentos para identificar y comprender las sucesiones como una
herramienta para calcular grandes valores. Podrás analizar en qué consiste una Variable real como parte
de una función y posteriormente, considerar funciones de más de una variable. A través de los ejercicios
abordaremos las funciones elementales que permiten desarrollar una función de Variable real para
representarla dentro de un plano y poder aproximar resultados de sucesiones mediante el uso de series
numéricas.
Por último, lograrás habilidades para obtener la derivada de una función de variable real mediante la
utilización de fórmulas de derivación y aprenderás a utilizar la fórmula de Taylor para determinar series de
potencias tomando como herramienta las sucesiones numéricas.
Propósito de la unidad
Mediante el estudio de esta Unidad podrás:



Manejar series numéricas
Identificar la relación entre las funciones de Variable real y las series de Potencias
Representar funciones mediante Series y Polinomios de Taylor
Competencia específica
Utilizar la recta y el plano complejo para crear sucesiones mediante la derivada de funciones de variable
real.
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1.1.
La recta real y el plano complejo
En este tema estudiarás el concepto de sucesión y su relación con las funciones matemáticas, así como la
forma de representar una función en términos de sucesiones y su comportamiento convergente o
divergente.
También se analizará el concepto de derivada de orden superior, donde se muestra cómo una función
derivada puede tomarse para calcular su derivada.
1.1.1. Sucesiones. Continuidad de funciones de variable real
Una sucesión es una serie de números de la forma siguiente: a1,a2, a3, …,an ,… donde cada letra
representa un número.
Consideramos a cada elemento de la lista como un número de la sucesión. Por ejemplo:
3,6,9,12,…,3n
Los términos pueden ser obtenidos por el término general del final de la expresión anterior, donde n a su
vez es una sucesión de uno en uno 1,2,3…,n. Entonces, los términos a1, a2, a3, …,an se obtienen de 1(3),
23, 33,…,n3
También se puede ver una sucesión como una función, por ejemplo, en la expresión anterior, existe una
relación de los valores 1 y 3, 2 y 6, y en general n(3) para cada valor de n. En otras palabras:
an=3(n)
De acuerdo a los conceptos vistos arriba, podemos afirmar que:
Una sucesión infinita de números es una relación uno a uno donde
los elementos relacionados son, para el dominio, el conjunto de
los enteros positivos y para el contra dominio es el número de la
resultante de la expresión matemática de la función.
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Las sucesiones pueden ser escritas por reglas, de la siguiente forma:
√
Analizando la última expresión, cuando n tiene un valor de 1, la
=1, en general para valores de n:
1,2,3,4,…,n los valores de la función sobre n son 1,3,6,10,…,
respectivamente.
En algunas sucesiones, los números que la componen, se aproximan a un valor específico cuando el n
se incrementa, por ejemplo
. Aquí el valor al que se aproxima la función cuando n se
incrementa, es 0.
{ , , , ,…, }
Se dice entonces que la sucesión converge a 0. Se utilizan llaves para referirnos a los términos de la
sucesión.
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{ , , , ,…, }
En otras ocasiones, el valor al que se aproxima una sucesión se hace más grande conforme el valor de
n crece, o bien, fluctúa entre dos números, como por ejemplo:
{1,
-1, 1, -1, 1,…,(-1)n+1}
En este caso, los valores son 1 y -1 siempre aunque el valor de n se incremente. A este
comportamiento se le llama divergencia, es decir, los valores n se aproximan a un valor único.
Si a todo número positivo  le corresponde un entero N, entonces una sucesión {an} converge a un
número L que, para toda n:
n > N  | an – L| < 
La sucesión {an} diverge si no existe tal número L.
Si {an} converge a L, entonces podemos afirmar que:
=L
o simplemente
{an}L,
Donde L es el límite de la sucesión.
1.1.2. Derivadas de funciones de variable real
Si las funciones son derivables, es posible obtener la primera, segunda, tercer, etc. derivadas. Esto se
conoce como derivadas de orden superior.
Si una función en tiene derivada, entonces podemos afirmar que:
|
para x en el dominio M de f.
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Si existe el
para algunos valores de x  M, entonces se puede puntualizar que
existe la segunda derivada de la función , es decir,
palabras representan la segunda derivada de la función
o
. Estas expresiones, en otras
.
Ejemplo:
Obtengamos la segunda derivada de la función que aparece a continuación:
Primera derivada:
Segunda derivada:
Ahora obtengamos las derivadas de orden superior de la función
√
En general:
para
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1.2 Series
El uso de las series en muchos problemas matemáticos, permite hacer un
tratamiento sencillo y simplificado de los problemas complejos.
Una serie infinita es la suma de una secuencia infinita de números:
Una serie finita solamente tiene n términos:
Al hacer crecer el valor de n la suma tenderá a ser una suma infinita de
términos llegando a ser una serie infinita la cual nos da un valor más exacto que una serie con menor
cantidad de términos.
Normalmente tenemos una expresión matemática que representa al n-ésimo elemento de una serie. Por
ejemplo para saber cuál es el n-ésimo término de la serie:
La expresión
nos da ese término.
La suma de los primeros k elementos se representa como:
∑
Entonces tenemos las siguientes sumas parciales:
1.2.1 Series Numéricas
Tal y como vimos anteriormente, una serie numérica es aquella que sólo tiene valores numéricos como
elementos de la sumatoria (suma de todos los elementos). Ahora,
podemos preguntarnos ¿cómo saber cuál es el valor de la suma total o
sumatoria de una serie?
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Algunas series pueden acercarse a un valor finito al ir aumentando la cantidad de términos de la suma. A
esto se le llama convergencia de la serie o que la serie converge.
Cuando el número de términos de la serie aumenta pero no se llega a ningún valor definido o la sumatoria
se va haciendo más y más grande, entonces decimos que la serie no converge.
Cuando una serie es convergente, es posible obtener mediante una fórmula el valor de la sumatoria. Así
por ejemplo, supongamos que tenemos la serie:
Entonces, la suma parcial de los primeros k términos de la serie está dada por la expresión:
Si observas de manera adecuada te darás cuenta que conforme aumenta el número de términos de la
serie, el valor de la sumatoria tiende a 2, pues el segundo término tiende a 0. Entonces escribimos la serie
anterior y su valor exacto, al considerar todos los términos posibles (cuando k tiende a infinito) como:
∑
Una serie en la cual los términos van alternando de signo (positivo y negativo), se llama serie alternante.
Veamos los siguientes ejemplos de series alternantes:
Actividad 1. ¿Qué relación hay entre la sucesión y las series numéricas?
A través de esta actividad podrás:
Identificar las sucesiones, las series y su relación
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Expresar en una serie lo observado en un ejemplo concreto
Discutir con argumentos los resultados obtenidos por su demás compañeros. Para ello:
1. Observa la animación de la pelota de basquetbol que se encuentra en la pestaña de la unidad 1
2. Identifica la sucesión con una serie, la cual, proporciona la distancia de todos los rebotes.
3. Redacta tus conclusiones en el Foro y expresa la distancia total de los rebotes como una serie.
4. Comenta la respuesta de tres de compañeros argumentando la postura de tu respuesta.
Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección Material de
apoyo.
1.2.2 Series de potencias
Cuando los términos de una serie numérica tienen exponentes que se van modificando, decimos que es
una serie de potencias.
Es un ejemplo de una serie de potencias.
Observa la siguiente serie, que es un polinomio en la variable x.
∑
Actividad 2. Representación de Funciones de Variable real mediante el uso de
series
Al finalizar el ejercicio podrás:



Identificar las series como una forma de representar las funciones
Analizar el comportamiento de las series propuestas
Expresar una función en términos de una serie
1. Resuelve el ejercicio que a continuación se te presenta.
2. Expresa como una serie cada una de las funciones de los incisos del ejercicio.
a.
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b.
c.
3. Indica y fundamenta si las series son convergentes o divergentes.
4. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
1.2.3. Fórmula de Taylor
En este tema se representará una función, que sea derivable n-veces, mediante una serie de potencias, en
donde suponemos que la función y todas sus derivadas existen en un intervalo determinado.
El poder representar a una función en términos de una aproximación de tipo polinomial (serie de potencias)
llega a ser una herramienta muy útil para resolver problemas de funciones.
Sabemos que las series numéricas pueden converger hacia un valor si cumplen con determinadas
condiciones. Una de ellas es que los valores de los términos se encuentren dentro de un rango o intervalo.
Si existen las derivadas de todos los órdenes de una función de variable real dentro de un intervalo, ¿se
podrá expresar a dicha función como una serie de potencias dentro de ese intervalo? y entonces ¿cuáles
serían los coeficientes de los términos de la serie?
Supongamos que podemos representar a f(x) como una serie de potencias de la siguiente forma:
∑
Y supongamos también que la serie converge dentro de un intervalo y obtenemos las diferentes derivadas
de todos los órdenes:
La n-ésima derivada tiene la siguiente expresión:
una suma de términos con
como factor
Ya que todas estas expresiones se cumplen para cuando
, entonces tenemos que:
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Y en general tenemos:
Si observa el desarrollo anterior podemos distinguir un patrón en los coeficientes de la serie original de
. Si existe la convergencia de esta serie dentro del intervalo en donde está a, entonces cada uno de los
coeficientes de la serie están dados por la siguiente expresión:
Y entonces la función
quedaría expresada, por medio de su serie:
Podemos ver entonces que si una función
es derivable n veces dentro de un intervalo centrado en
y que su serie de potencias es convergente para ese valor de a, entonces la función se puede
representar por medio de la serie mostrada en la ecuación anterior.
Esta serie es llamada Serie de Taylor de la función
En el caso muy particular en el que
en
.
, tenemos que la Serie de Taylor toma la forma:
∑
A esta forma particular de la serie de Taylor se le llama Serie de Maclaurin.
1.2.4. Series de potencias de las funciones elementales
Este subtema verás cómo aplicar las series de Taylor para representar en forma de un polinomio de Taylor
(serie de potencias) algunas funciones que aparecen frecuentemente en los problemas matemáticos. Esto
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nos permite tener un manejo más eficaz de dichas funciones para su uso y análisis dentro de los problemas
en donde aparecen dichas funciones.
Consideremos en primer lugar la función exponencial
polinomial o en una serie de potencias en el punto
y vamos a ver cuál es su representación
.
Esta función tiene sus k derivadas, dadas por:
,
Tenemos que en
,
Por lo tanto, la Serie de Taylor generada en
está dada por:
∑
En particular esta representación es la Serie de Maclaurin para
Ahora, para un número finito de términos N de la Serie de Taylor, tenemos que el Polinomio de Taylor para
la función
en
es:
En la gráfica siguiente notarás que se muestran varios Polinomios de Taylor para la función
y la propia
función. Nota como al ir aumentando el valor de N, las curvas se van pareciendo más a la función original.
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Gráfica de la función
y sus Polinomios de Taylor
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
Actividad 3. Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de
Taylor
Al finalizar este ejercicio podrás:



Identificar las variables de una función
Analizar y aplicar las fórmulas de las derivadas
Expresar la función en Series y Polinomios de Taylor. Para ello:
1. Resuelve los dos problemas que a continuación se plantean
a. Considera la función cos(x) y desarrolla su representación en Series y Polinomio de Taylor
alrededor del punto x=0.
b. Obtén la representación en términos de los Polinomios de Taylor, para la función log(x)
alrededor del punto x=1 usando la metodología vista en esta lección.
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.
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1.3. Integración área e integral
Durante este tema verás la relación que existe entre una función y la derivada de otra, es decir del cálculo
de primitivas. Cuando existe esta relación, las funciones que con primitivas de otra tienen algo en común, la
diferencia es una constante. También se verá cómo realizar el cálculo de longitudes de curvas, volúmenes
y superficies a través de ejercicios de integración.
1.3.1. Cálculo de primitivas
Una función F(x) es una primitiva de otra función
intervalo mencionado (a, b), se cumple que
Como ejemplo considera la función
, en el intervalo (a,b), si para todo valor de x en el
.
es una primitiva de
en todo
ya que
.
Teorema:
Sean F1(x) y F2(x) funciones primitivas de la función f(x) en el intervalo (a, b). Se cumple que para todo x
en el intervalo (a, b),
En otras palabras, dada una función
, de acuerdo a
las condiciones anteriores, sus primitivas difieren en una constante.
El conjunto de todas las primitivas de una función
Integral Indefinida de
y se denota por ∫
de forma tal que si
es una primitiva de
,
Entonces ∫
Donde C es una constante.
Por ejemplo, si tomamos la función
definida en (a,b) se denomina
y la representamos con
, la derivada de
, es
Como vimos anteriormente, si dos funciones son primitivas de otra función, entonces deberá suceder que
la diferencia entre ambas es una constante, es decir, si F y G son primitivas de f, entonces:
Así comprobamos que
La derivada de la función f es
y
son primitivas de
.
.
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Como la derivada de la primera función es
y la derivada de la segunda es
podemos ver que la diferencia entre estas dos derivadas es la constante 5.
Por lo tanto, podemos concluir que las funciones F y G son primitivas de f.
1.3.2. Aplicaciones áreas, longitudes de curvas, volumen y superficies
El cálculo diferencial e integral con una variable, nos permitió resolver una amplia gama de problemas
matemáticos sobre distintas áreas del conocimiento humano.
Ahora, cuando consideramos más de una variable podremos tratar y analizar un espectro muchísimo más
amplio de problemas de todo tipo, en particular, podremos considerar problemas tridimensionales, tales
como: trayectorias, superficies y volúmenes en tres dimensiones.
En las siguientes figuras se muestran ejemplos:
Trayectorias
Superficies
Volúmenes
Autoevaluación
Felicidades, Haz llegado al final de la Unidad.
Para terminar resuelve la actividad de autoevaluación que corresponde a un conjunto de reactivos en
forma de relación de columnas.
Instrucciones: anota en paréntesis de la pregunta, la opción que corresponda a la respuesta de la
pregunta planteada.
1.- (
) Cual es la condición para que una F(x) sea una primitiva de f(x)
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a.
b.
c.
d.
2.- (
) Se le denomina al conjunto de todas las primitivas de una función f(x) en un intervalo (a,b)
a. Derivada de una función
b. Función primitiva
c. Primitiva
d. Integral indefinida de la función
3.- ( ) Es el resultado de obtener la primitiva de la función f(x)=6x
a.
b.
c.
d.
4.- (
+4
) Representa la función para la siguiente serie 1+2+…..+n
a. 2n
b.
c. 2n+1
d.
5.- (
) Es una característica de dos funciones que son primitivas de f(x) en un intervalo (a,b).
a. Su suma es igual a
b. La diferencia entre las los funciones es una constante
c. La diferencia entre las dos funciones es cero
d. La suma de las dos funciones es una constante
Retroalimentación
1-3 Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el contenido de
la unidad
4-5 Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue adelante.
Evidencia de aprendizaje. Representaciones de funciones por medio de Series de
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Taylor
Al finalizar serás capaz de:



Comprender que una función que tiene todas sus derivadas dentro de un intervalo, se puede
representar como una serie de potencias llamada Polinomios de Taylor.
Analizar el comportamiento de las funciones expresado por medio de series.
Resolver problemas complejos donde las funciones matemáticas se pueden representar por medio
de Polinomios, reduciéndolos a una forma más simple de manejar. Para ello:
1. Calcula los cinco primeros polinomios de Taylor de la función
en el punto x=0
2. Grafica cada uno de los Polinomios anteriores en el mismo sistema de coordenadas.
3. Observa la forma que van teniendo los Polinomios
4. ¿Qué conclusión puedes obtener cuando el grado de los Polinomios va aumentando?
5. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura LYN_U3_EA_XXYZ. Sustituye las XX por las
dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de
tu apellido materno.
6. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu Facilitador(a), atiende
sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.
7.
Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu trabajo.
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio y enviarlo a través de la
herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la calificación final.
Autorreflexiones
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio correspondiente y
enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también se toman en cuenta para la
calificación final.
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Para saber más
Ver el video “Sucesiones y progresiones” en la dirección: http://www.youtube.com/watch?v=cMDIXK9W7zo
Fuentes de consulta
Bosch, C. (2006). Cálculo diferencial e integral. México: Publicaciones cultural S.A.
Picón, P. E. (2006). Análisis conjunto. México: Porrúa.
Thomas (2006). Cálculo de varias variables. México: Pearson.
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