Càlcul Infinitesimal II

ENGINYERIA AERONÀUTICA
CÀLCUL
INFINITESIMAL II
Guia de l’assignatura
ENGINYERIA AERONÀUTICA
30005 Càlcul Infinitesimal II. Guia de l’assignatura
Aprovada en C.A.A de data 8/06/05
Modificada en CAA de data 27/06/08
1
Crèdits: 9 ( 6 teoria + 3 pràctiques)
Crèdits ECTS: 7,2
Tipus: Obligatòria
Coordinador: Jordi Saludes
Altres Professors: Antoni Magaña (magana@ruth.upc.es)
Departament: Matemàtica Aplicada II
Presentació
Coneixements previs
Els estudiants haurien d’estar familiaritzats amb els conceptes bàsics del Càlcul Infinitesimal I
(continuïtat, derivabilitat, integració...). També han de saber part dels continguts de l’assignatura
d’Àlgebra Lineal (resolució de sistemes d’equacions, còniques, quàdriques...)
Relació amb altres assignatures
Està estretament relacionada amb les dues assignatures esmentades abans: el Càlcul Infinitesimal I i
l’Àlgebra Lineal (ambdues al primes quadrimestre). També està relacionada amb les assignatures de
Física.
Objectius generals
Els objectius principals d’aquesta assignatura són:
• Proporcionar als estudiants les eines bàsiques del càlcul diferencial i integral de dues i tres
variables.
•
Introduir el càlcul vectorial i les seves aplicacions més importants.
•
Capacitar l’estudiant per a resoldre problemes de caire físic amb eines matemàtiques.
Temari
Mòdul 1. Corbes (6T+4P)
1. Parametrització d’una corba.
2. El vector tangent a una corba.
3. El tríedre de Frenet.
4. La longitud d’arc.
5. La curvatura.
6. La torsió
7. Corbes als complexos
Mòdul 2. Introducció a les funcions de diverses variables (4T+2P)
1. Camps escalars i camps vectorials.
2. Nocions topològiques bàsiques.
3. Representació gràfica de camps escalars de dues variables.
ENGINYERIA AERONÀUTICA
30005 Càlcul Infinitesimal II. Guia de l’assignatura
Aprovada en C.A.A de data 8/06/05
Modificada en CAA de data 27/06/08
2
4. Conjunts de nivell.
Mòdul 3. Càlcul diferencial (15T+9P)
1. Límits i continuïtat
2. Derivades direccionals
3. Derivades parcials
4. Deferenciabilitat. El pla tangent a una superfície.
5. Equacions de Cauchy-Riemann
6. El vector gradient. La matriu jacobiana.
7. La regla de la cadena.
8. Derivades d’ordre superior. La fórmula de Taylor d’ordre 2.
9. Extrems relatius per a camps escalars.
10. Extrems condicionats. El mètode dels multiplicadors de Lagrange.
11. Extrems absoluts en un conjunt compacte.
12. El teorema de la funció implícita.
13. El teorema de la funció inversa.
Mòdul 4. Càlcul integral (12T+6P)
1. Integrals dobles. Integració iterada.
2. El canvi de variable a la integral doble: coordenades polars i coordenades el·líptiques.
3. Integrals triples. Integració iterada.
4. El canvi de variable a la integral triple: coordenades cilíndriques i coordenades esfèriques.
5. Aplicacions: àrea, volum, massa, mitjana, cetre geomètric, centre de massa, moment d’inèrcia.
Mòdul 5. Anàlisi vectorial (17T+8P)
1. Camps vectorials i operadors diferencials.
2. Integral d’un camp escalar sobre una corba. Aplicacions.
3. Integral d’una funció complexa sobre una corba
4. Integral d’un camp vectorial sobre una corba. Aplicacions: el treball.
5. Condicions per tal que un camp sigui conservatiu.
6. Teorema de Green
7. Potencial complexe
8. Superfícies parametritzades.
9. Integral d’un camp escalar sobre una superfície. Aplicacions.
10. Integral d’un camp vectorial sobre una superfície. Aplicacions: el flux.
11. Teorema de la divergència.
12. Teorema d’Stokes.
13. Càlcul de residus.
14. Introducció a la hidrodinàmica.
Organització en mòduls i temps de dedicació de l’estudiant
Mòdul
Mòdul 1: Corbes
Mòdul 2: Introducció a les funcions de diverses variables
Mòdul 3: Càlcul diferencial
Mòdul 4: Càlcul integral
Mòdul 5: Càlcul vectorial
Temps Total
Temps de
Classe
10 hores
6 hores
27 hores
21 hores
26 hores
90 hores
Temps
d’estudi
12 hores
6 hores
26hores
20 hores
26 hores
90 hores
Temps
total
22 hores
12 hores
53 hores
39 hores
54 hores
180 hores
ENGINYERIA AERONÀUTICA
30005 Càlcul Infinitesimal II. Guia de l’assignatura
Aprovada en C.A.A de data 8/06/05
Modificada en CAA de data 27/06/08
3
Materials
Bibliografia bàsica
•
Cálculo vectorial. J. E. Marsden, A. J. Tromba. Ed. Addison-Wesley.
•
Applied vector analysis. M. Rahman, I. Mulolani. CRC Press.
•
Exercicis i problemes de Càlcul Inifinitesimal II. M. C. Leseduarte. D. Llongueras. A. Magaña.
Bibliografia complementària
•
Calculus (de una varias variables) vol. 2. S. L. Salas, E. Hille, G. J. Etgen. Ed. Reverté.
•
Cálculo vectorial. Problemas resueltos. K. Pao, F. Soon. Ed. Addison-Wesley.
•
Exàmens de Càlcul resolts. A. Fàbrega, . C. Leseduarte. D. Llongueras. A. Magaña.
Avaluació
Al llarg del quadrimestre es faran dos exàmens acumulatius de matèria que correspondran,
respectivament, a 4 i 6 punts de la nota final (sobre 10).