Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Tema 4: Corrientes Estacionarias. • • • • • • • • • Definición. Comportamiento de los medios. Propiedades. Concepto de generador, f.e.m. Interpretación energética. Condiciones de contorno en interfases. Resolución de las ecuaciones en conductores. Concepto de resistencia. Dualidad Resistencia-Capacidad. J.L. Fernández Jambrina EyM 4-1 Corrientes estacionarias: Definición • Definición: – No hay variación con el tiempo. – Se admite el movimiento de cargas que respete la condición anterior. • Obtención de las ecuaciones: r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r D(r , t ) = εE (r , t ) B(r , t ) = µH (r , t ) J (r , tr) = σE (r , t ) ∂ D(r ) = εE (r ) B(r ) = µH (r ) J (r ) = σE (r ) r =0 r r r r r ∂B(r , t ) r r r r ∂rt r ∇ ⋅ D (r , t ) = ρ(r , t ) ∇ × E (r , t ) = − ∇ ⋅ D(r ) = ρ(r ) ∇ × E (r ) = 0 J ≠0 ∂t r r → r r r r r r r r r r r r ∂D(r , t ) ∇ ⋅ B (r ) = 0 ∇ × H (r ) = J (r ) ∇ ⋅ B(r , t ) = 0 ∇ × H (r , t ) = J (r , t ) + r r ∂t r ∇ ⋅ J (r ) = 0 r r ∂ρ(r , t ) ∇ ⋅ J (r , t ) + =0 ∂t – Dos juegos de ecuaciones: » Uno con las corrientes como campo dependiente de unas fuentes. » Otro con las corrientes como fuente. – Existe una relación entre ambos juegos de ecuaciones, la fuerza de Lorentz, pero se puede ignorar como se verá al hablar del efecto Hall y la Ley de Faraday. EyM 4-2 J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-1 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Definición (2) • Ecuaciones de la Magnetostática: r r r r r r r ∇ × H (r ) = J (r ) ∇ ⋅ B = 0 B = µH – Se abordarán en el tema siguiente. • Ecuaciones de las corrientes estacionarias: – Las ecuaciones del campo eléctrico estacionario son similares a las de la Electrostática. Electrosta tica 8 6Corrientes Estacionar ias8 64 4r444 4r7 44 r4474r44 r r 444 ∇ × E = 0 D = εE ∇ × E = 0 D = εE r r r r r r∇ ⋅ J = 0 ∇ ⋅ D = ρ J = 0 ∇ ⋅ D = ρ J = σE – Se puede seguir definiendo y utilizando el potencial como en Electrostática: r r ∇ × E = 0 ⇔ E = −∇Φ EyM 4-3 J.L. Fernández Jambrina Comportamiento de los medios. • Dieléctricos: σ=0, la situación es idéntica a la electrostática: r r r ∇ × E = 0 D = εE r r r ∇ ⋅ D = ρ J = σE r r r r σ = 0 ∇ × E = 0 D = εE ∇ ⋅ J = 0 → r r ∇⋅D =ρ J = 0 • Conductores reales: – Si circula una corriente, existe campo en su interior, no son volúmenes equipotenciales. – Si son homogéneos, no hay carga enrsu interior: r r r r σ D σ 0 = ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ σE = σ∇ ⋅ E = σ∇ ⋅ = ∇ ⋅ D = ρ⇒ρ = 0 ε ε ε ( ) • Conductores perfectos: – Son una idealización de los buenos conductores: (σ → ∞ ) r E = 0 r – La corriente puede circular sin necesidad de campo. lim Er → 0 ⇒ Jr ≠ 0 J ≠ 0 σ = ∞ r – Son equipotenciales: E = −∇Φ = 0 ⇔ Φ = cte J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-4 EyM 4-2 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Corrientes Estacionarias: Propiedades • Las líneas de corriente estacionarias son cerradas: r ∇⋅ J = 0 – Divergencia nula = Líneas de corriente cerradas » Si existiera una línea abierta de corriente desde V1 hacia V2 , la carga en V1 disminuiría y la de V2 aumentaría: No serían constantes en el tiempo y la situación no sería estacionaria. V1 dQ1 <0 dt r J V2 dQ2 >0 dt J.L. Fernández Jambrina EyM 4-5 Corrientes Estacionarias: Propiedades • En conductores reales no pueden existir corrientes estacionarias bajo la influencia exclusiva de campos estacionarios. – Si se supone que existe una línea de corriente cerrada en un conductor real y que su origen está en el campo eléctrico, al calcular la circulación del campo eléctrico a lo largo de ella (en el sentido de la corriente): r r r dl // J J dlr r r r r r r r J ⋅ dl > 0 ⇒ E ⋅ dl > 0 ⇒ ∫ E ⋅ dl > 0 ⇒ ∇ × E ≠ 0 C r r J = σE C – Contradicción: » Si existe esa línea, el campo no puede ser estacionario. » Si el campo es estacionario, tal línea no puede existir. – Consecuencia: » Hace falta una fuerza con otro origen. J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-6 EyM 4-3 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Concepto de fuerza electromotriz. • Se puede definir un campo eléctrico equivalente que represente a todas las fuerzas aplicadas sobre las cargas: r r r r r r F = q ( E + v × B + E g ) = qET r r • La ley de Ohm debe englobar a estas fuerzas: J = σET r r r F r ⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl q C C • Definición: f .e.m. = ∫ – f.e.m. es la circulación de la fuerza por unidad de carga a lo largo de un contorno cerrado. r r – En situaciones estacionarias las contribuciones de los campos E y B se anulan: r r r ∇ × E = 0 ⇒ ∫ E ⋅ dl = 0 r r C r r ⇒ f .e.m. = ∫ Eg ⋅ dl r r r r r r v || dl C r r r ⇒ v × B ⊥ dl ⇒ v × B ⋅ dl = 0 v × B ⊥ v r – Nota: En el resto del capítulo se omite: vr × B EyM 4-7 J.L. Fernández Jambrina ( ( ) ) ( ) Concepto de generador, f.e.m. r • Normalmente, el campo Eg sólo existe en una región bien delimitada: el generador. r E – Dentro del generador el campo eléctrico y el del generador van en sentidos contrarios. – La integral de la fuerza electromotriz se puede limitar al interior del generador: r r r r r r f .e.m. = ∫ ET ⋅ dl = ∫ (E + E g )⋅ dl = ∫ Eg ⋅ dl = C J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias C C r Eg generador 6 474 8 + r r ∫ E g ⋅ dl > 0 − EyM 4-8 EyM 4-4 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo f.e.m.: Interpretación. r E • Si el generador está en circuito abierto (no circula corriente), en el interior del generador el campo debe ser nulo: r r r r J = 0 σ ≠ 0 r r ⇒ ET = 0 ⇒ Eg = − E J = σET – Calculando la circulación del campo total a lo largo del contorno de la figura: σ=0 I =0 r r E + Eg interior exterior exterior exterior 6 474 8 6 474 8 6 474 8 6 474 8 + r r + r r − r r −r r r r f .e.m.g . = ∫ ET ⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl + ∫ ET ⋅ dl = ∫ ET ⋅ dl = − ∫ E ⋅ dl = Φ + − Φ − C − + + − • La f.e.m.g. coincide con la diferencia de potencial entre los bornes del generador en circuito abierto. r r – El concepto de f .e.m. = ∫ ET ⋅ dl es más general que su aplicación a los C generadores. – Las unidades de la f.e.m. son los Voltios (V). EyM 4-9 J.L. Fernández Jambrina Interpretación Energética. • En el tema 2 se vio que la potencia disipada en un volumen es: r r r r r2 Potencia disipada = ∫∫∫ J ⋅ EdV = ∫∫∫ σE ⋅ EdV = ∫∫∫ σ E dV V V V • En general representa la conversión de energía de tipo electromagnético en otro: r r – Si J ⋅ E > 0 la carga (positiva) circula de mayor a menor potencial: se desplaza a favor de la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella. » Se produce una disminución de la energía electromagnética. » Se convierte en calor, energía mecánica, química, ... r r – Si J ⋅ E < 0 la carga (positiva) circula de menor a mayor potencial: se desplaza contra la fuerza eléctrica que se aplica sobre ella. » Se produce un aumento de la energía electromagnética. » El aumento se produce a costa de energía mecánica, química, ... • El resultado es aplicable a otros tipos de fuerzas. r r – En el generador, normalmente, J ⋅ E g > 0 , luego se producirá una pérdida de energía del generador. Una entrega de energía al campo electromagnético. EyM 4-10 J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-5 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Interpretación Energética: (2) • Dentro de un generador real: J = σET = σ(E + Eg ) ya que σ relaciona la densidad corriente con la fuerza que se ejerce por unidad de carga. r r r – Luego: » La potencia disipada o aumento de energía térmica por unidad de tiempo: r ∂Wcalor ∂t » El aumento de energía ∂WEM electromagnética por unidad de tiempo: ∂t ∂Wg ∂t » El aumento de la energía del generador por unidad de tiempo: ( Vg Vg ) r r r = ∫∫∫ Eg + E ⋅ JdV ≥ 0 Vg r r = − ∫∫∫ E ⋅ JdV ≥ 0 Vg r r = − ∫∫∫ Eg ⋅ JdV ≤ 0 Vg Vg – Evidentemente se cumple el principio de conservación de la energía: » La energía entregada por el generador se transforma en energía eléctrica y calor. ∂Wg ∂WEM ∂Wcalor WEM V + Wg + Wcalor V = cte ⇔ + + =0 Vg g g ∂t V g ∂t V ∂t V g g EyM 4-11 J.L. Fernández Jambrina Condiciones de contorno en las interfases. • Dieléctrico-Dieléctrico: – Como en Electrostática. ( r r nˆ ⋅ D2 − D1 ) S = ρS n$ ( r r nˆ × E2 − E1 ∂Φ 2 ∂Φ + ε1 1 = ρ S ∂n S ∂n S − ε2 ε2 , µ2 , σ2 r r r r r E2 , D2 , H 2 , B2 , J 2 Medio 2 ) S ε1 , µ1 , σ1 r r r r r E1 , D1 , H1 , B1 , J 1 =0 Φ 2 S − Φ1 S = 0 Medio 1 • Conductor-Conductor: r r – Es más simple la condición de J que la de D , ( r r nˆ ⋅ D2 − D1 − ε2 ) S ( r r nˆ ⋅ J 2 − J1 = ρS ∂Φ 2 ∂Φ + ε1 1 = ρS ∂n S ∂n S − σ2 ) S ( r r = 0 nˆ × E2 − E1 ∂Φ 2 ∂Φ + σ1 1 = 0 ∂n S ∂n S ) S =0 Φ 2 S − Φ1 S = 0 » Existe una densidad superficial de carga constante en el tiempo. J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-12 EyM 4-6 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Condiciones de contorno en las interfases. (2) • Conductor-Dieléctrico: Dieléctrico r J2 = 0 r J1 – Suponiendo que el conductor es el medio 1: r r r r r nˆ ⋅ D2 = ρ S nˆ ⋅ J1 = nˆ ⋅ D1 = 0 nˆ × E2 − E1 = 0 ∂Φ 2 − ε2 ∂n S S = ρS S ( S ∂Φ1 =0 ∂n S ) S Conductor Φ 2 S − Φ1 S = 0 r r r – Las líneas de corriente no cruzan la interfase: nˆ ⋅ J1 = nˆ ⋅ E1 = nˆ ⋅ D1 = 0 S S S • Conductor-Conductor Perfecto: – Dentro del conductor perfecto, medio 1, los campos son nulos y el potencial constante. r r r r nˆ ⋅ D2 = ρ S nˆ ⋅ J 2 − J1 = 0 nˆ × E2 = 0 ( S ∂Φ 2 − ε2 ∂n ) = ρS S S Φ 2 S = Φ1 S EyM 4-13 J.L. Fernández Jambrina Condiciones de contorno en las interfases. (3) • Conductor recubierto de un conductor perfecto. – Es una aproximación de un conductor recubierto de un conductor mucho mejor. r JS r JS σ=∞ ∆h σ=∞ r J r J σ = σ0 σ = σ0 Medio 2 – La diferencia con el desarrollo conocido es que σ = σ2 existe una corriente superficial: r r r n$ lim ∫∫ J ⋅ dS = lim ∫ ∫ J ⋅ nˆl dl dh ≈ ∆h → 0 ∆h → 0 ∆h C lat S lat r r r ≈ lim ∫ ∆hJ ⋅ nˆl dl = ∫ J S ⋅ nˆl dl = ∫∫ ∇ S ⋅ J S dS ∆h → 0 C lat C lat ( r r – Por tanto: nˆ ⋅ J 2 − J1 J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias ) S r + ∇S ⋅ J S = 0 S n$ l n$ l σ=∞ Medio 1 σ = σ1 ∆h EyM 4-14 EyM 4-7 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Resolución de las ecuaciones en conductores. r r r r • Existe redundancia debido a que: D = εE J = σE – Por la mayor simplicidad de las condiciones de contorno es conveniente resolver primero el sistema: r r r r ∇ × E = 0 ∇ ⋅ J = 0 J =r σE – Posteriormente puede calcularse D y a continuación las densidades de carga. • Las técnicas son similares a las de Electrostática: r r ∇ × E = 0 ⇒ ∃Φ :− ∇Φ = E r r r ⇒ ∆Φ = 0 – Se puede utilizar el potencial eléctrico: ∇ ⋅ J = ∇ ⋅ σE = σ∇ ⋅ E = 0 r r r – ∇ ⋅ J = 0 ⇒ ∫∫SJ ⋅ dS = 0 es equivalente a la Ley de Gauss y se puede aplicar en condiciones similares. r – Además en las interfases dieléctrico-conductor: nˆ ⋅ J = 0 ⇒ ∂Φ = 0 S lo que permite resolver primero el problema de ∂n S los conductores con independencia del problema de los dieléctricos. – Esta condición minimiza el efecto de bordes. EyM 4-15 J.L. Fernández Jambrina Resolución de las ecuaciones en conductores. Φ S+ = V + + σ ε ∂Φ =0 ∂n Sc Generador Φ S− = V − • Teorema de Unicidad: – La solución en los conductores es única e independiente de la solución en los dieléctricos. J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-16 EyM 4-8 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Concepto de resistencia: n$ • Sea una estructura conductora excitada a través de dos electrodos conductores perfectos. – Supóngase que como respuesta ar una excitación el campo eléctrico es: E – Bajo estas condiciones: b r r r r r r VB − VA = − ∫ E ⋅ dl I S = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ σE ⋅ dS a S I A→ B σ = σ0 SA SB Φ = VB Φ = VA S r r – Si se multiplica la excitación por un factor α, la solución será E ′ = αE y: b b r r r r r r r r VB′ − V A′ = − ∫ E ′ ⋅ dl = − ∫ αE ⋅ dl = α [VB − V A ] I S′ = ∫∫ J ′ ⋅ dS = ∫∫ ασE ⋅ dS = αI S a a S S • Resulta claro que existe una relación de proporcionalidad entre corriente y diferencia de potencial: La resistencia de la estructura RAB = VA − VB VB − VA = I A→ B I B→ A – La resistencia depende de la forma de excitación/conexión. EyM 4-17 J.L. Fernández Jambrina Dualidad Resistencia-Capacidad. Φ SA • Si sobre una misma estructura se definen dos problemas equivalentes, uno de capacidad y otro de resistencia, si la relación ε/σ es constante, entonces: RC = ε σ = VA σ ,ε SA SB Φ S = VB B ∂Φ ∂n S =0 – Si para unas determinadas condiciones de r r Lat contorno la solución para ε = K ε f (r ) es Φ, E: r – Si se cambian r los medios de forma que σ = Kσ f (r ) , la solución seguirá siendo Φ, E ya que las condiciones de contorno serán las mismas a excepción de: ∂Φ 2 ∂Φ 1 − ε2 + ε1 =0 ∂n S ∂n S – que se transforma en: ∂Φ 2 ∂Φ K ∂Φ 2 ∂Φ ∂Φ 2 ∂Φ − σ2 + σ1 1 = σ − ε 2 + ε1 1 = −ε 2 + ε1 1 = 0 ∂n S ∂n S K ε ∂n S ∂n S ∂n S ∂n S – y sigue siendo la misma. EyM 4-18 J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-9 Curso 2010/2011 Electricidad y Magnetismo Dualidad Resistencia-Capacidad. • En el caso del condensador: r r r C= QS A Φ S −Φ S A B ∫∫ f (r )E ⋅ dS = Kε S B r r − ∫ E ⋅ dl Φ S = VA A r ε = ε 0 f (r ) A ∂Φ ∂n S • En el caso de la resistencia: R= Φ S −Φ S A IS A →SB B SB SA 1 = Kσ r B r − ∫ E ⋅ dl A r r r ∫∫ f (r )E ⋅ dS S Φ S = VB =0 B Lat Φ S = VA A r σ = σ 0 f (r ) SB SA • Y, por tanto: K ε RC = ε = Kσ σ ∂Φ ∂n S =0 Φ S = VB B Lat • Este resultado se aplica en el estudio de líneas de transmisión. J.L. Fernández Jambrina Tema 4: Corrientes Estacionarias EyM 4-19 EyM 4-10