Electromagnetismo 2012/2013 Ecuaciones generales Modelo de Maxwell • • • • • • • • Introducción Fuentes de campo: Carga eléctrica. Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Definición del campo electromagnético. Ecuaciones de Maxwell. Forma Integral. Forma diferencial Ecuaciones de estado. – Influencia sobre los materiales. – Clasificación de medios. – Ley de Ohm. Constante de relajación. • Condiciones en las interfases. • Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. • Balance energético: Teorema de Poynting. J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-1 Ecuaciones de Estado • Incorporan en el modelo de Maxwell el efecto del medio. r r • Los vectores D y B incluyen el efectordel rmedio y son función del medio y, en general, de los vectores E y H . ( r r r r D = D medio, E , H ) ( r r r r B = B medio, E , H ) • En la mayor parte de los medios: ( r r r D = D medio, E ) • En el vacío: r r D = ε0 E r r B = µ0 H ε0 ≈ ( r r r B = B medio, H ) 1 = 8,854 ⋅ 10−12 (F m ) 4π ⋅ 9 ⋅ 109 µ0 = 4π ⋅ 10− 7 ≈ 1,257 ⋅ 10 −8 (H m ) 1 ≈ 3 ⋅ 108 (m s ) ε 0µ 0 se acostumbra a expresar las ecuaciones de estado como: r r D = εE r r B = µH J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ( ( ) ) r ε = ε medio, E = permitividad dielectrica r µ = µ medio, H = permeabilidad magnetica EyM 2b-2 1 Electromagnetismo 2012/2013 Influencia de los campos sobre los materiales • Considerando un medio como una distribución de cargas en el vacío. – En reposo estas cargas (ligadas) se cancelan. r – En presencia de un campo E , se modifica su posición relativa, no se cancelan: El medio se polariza. r E=0 - + + - - + - + r E≠0 + - + + + - + + - + + • Considerando un medio como una distribución de corrientes en el vacío. – En reposo las corrientes (ligadas) se cancelan. r – En presencia de un campo H , se modifican y no se cancelan: El medio se magnetiza. r B≠0 r B=0 J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-3 Influencia sobre los materiales: Polarización r • En una región vacía existe un campo E0 . – Se verifica: ( ) r ∇ ⋅ ε 0 E0 = ρ r E0 • Si la región se rellena con un material r que se polariza, ρligada , el campo ahora será E . ( ) r – Se verifica: ∇ ⋅ ε 0 E = ρ + ρligada r r E – Definiendo el vector polarización, P , como: r r r ∇ ⋅ P = −ρligada ⇒ ∇ ⋅ ε0 E + P = ρ + + r r r r r – Definiendo D como: D = ε0 E + P ⇒ ∇ ⋅ D = ρ r El vector D permite olvidar las cargas ligadas. r r r – P se relaciona con el campo a P = χ eε 0 E través de la susceptibilidad eléctrica: r e e e e – En general χ = χ medio, E , aunque en los medios lineales χ = χ (medio ) r r r r r r r r D = D0 + P = ε0 E + χe ε0 E = 1 + χe ε0 E = ε r ε0 E = εE 123 εr » ε r = permitividad o constante dieléctrica relativa. ( ( ) ) ( J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ) EyM 2b-4 2 Electromagnetismo 2012/2013 Influencia sobre los materiales: Magnetización r B0 r • En una región vacía existe un campo B0 . r r r – Se verifica: ∇ × B0 µ 0 = J + ∂D0 ∂t • Si la región se rellena r con un material r que se magnetiza, J ligada , el campo ahora será: B – – – – – r r r r r ∇ × B µ 0 = J + J ligada + ∂D ∂t B r Definiendo r elr vector magnetización, r r rM , como: r ∇ × M = rJ ligada ⇒ ∇ × B µ0 − M = J + ∂D ∂t Definiendo r r H como: r r r r H = B µ 0 − M ⇒ ∇ × H = J + ∂D ∂t r El uso del vector H permite olvidar las corrientes ligadas. r r r r χm B m M está relacionado con el campo a M =χ H = 1 + χm µ0 través de la susceptibilidad magnética: r m m m m En general χ = χ medio, H , aunque para medios lineales: χ = χ (medio) r r r r r r r r B = µ 0 H + M = µ 0 H + χ m H = 1 + χ m µ 0 H = µ r µ0 H = µH 123 µr µ r = permeabilidad magnética relativa. ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-5 Influencia sobre los Materiales: Resumen • Un medio se puede representar de las siguientes formas: ε 0 ,µ 0 r – Por sus distribuciones ligadas, ρligada y J ligada : ε0 , µ0 r ρ, J r ρligada , J ligada r r r r r E ∂ ε 0 0 ∇ × µ 0−1B = J + J ligada + + J D ,ligada ∂t r r – Por su polarización, P , y su magnetización, M : ε0 , µ 0 ε0 , µ0 r r r r r r r r ∂ ε 0 E0 + P ρ, J −1 ∇ ⋅ ε 0 E0 + P = ρ ∇ × µ 0 B − M = J + r r ∂t P, M ( ) ( r ∇ ⋅ ε 0 E0 = ρ + ρligada ( ) ( ( ) ) ( ) ) – Por su permitividad, ε, y su permeabilidad, µ, junto r r con los campos auxiliares D y H : r ε0 , µ0 r r r ∂D ∇⋅D = ρ ∇× H = J + ∂t ε, µ r ρ, J esta es la opción preferida en esta asignatura. J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 2b-6 3 Electromagnetismo 2012/2013 Clasificación de los medios • Según su respuesta al campo electromagnético los medios se clasifican en: – Homogéneos: todos los puntos tienen las mismas propiedades. r r r r » ε y µ no dependen de la posición: D = εE B = µH – No homogéneos: sus propiedades varían de punto a punto r r r r r r » ε y µ son función de la posición: D = ε(r )E B = µ(r )H – Isótropos: sus propiedades no dependen de la dirección del campo. r r r r » ε y µ son escalares: D = εE B = µH – Anisótropos: sus propiedades dependen de la dirección del campo. r r r r » ε y µ son tensores (matrices) D = εE B = µH – Lineales: sus propiedades no dependen del valor del campo. r r r r D = εE B = µH – No lineales: sus propiedades dependen del valor del campo. r r r r r r r r » D = ε E , ∂E ∂t ,L E B = µ H , ∂H ∂t ,L H ( ) ( ) J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-7 Ley de Ohm generalizada. • Existe una relación adicional similar a las ecuaciones de estado: La Ley de Ohm generalizada: • σ= Conductividad (mho m) = 1/ρ r r J = σE 1 mho = 1S = 1Siemens = 1 = 1 1Ω – mho = Ohm al revés n̂ - • Es coherente con la definición clásica de resistencia: r r r r r I = ∫∫ J ⋅ dS = J ⋅ nˆS = σE ⋅ nˆS V E ⋅ nˆL 1L S r ⇒ R = = = r r r + ˆ I σ S σ E ⋅ n S V = − ∫ E ⋅ dl = E ⋅ nˆ L − L • Equivale a decir que la velocidad media de los portadores de carga es proporcional al campo eléctrico; r r J = ρv r σ r r r ⇒ v = E ρ J = σE J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 S r r J = σE + EyM 2b-8 4 Electromagnetismo 2012/2013 Constante de relajación • La constante de relajación permite caracterizar un medio como conductor o dieléctrico (aislante): r – Si en el interior de un medio existe ρ0 (r ) en el instante t=0: r ∂ρ r ∂ρ ∇⋅J + = 0 r ∂tr ⇒ ∇ ⋅ σE + ∂t = 0 J = σE ( ) ρS ρ – Si el medio es homogéneo, lineal e isótropo: r ∂ρ r r − (σ ε )t r −t τ σ∇ ⋅ E + = 0 ∂ρ σ + ρ = 0 ⇒ ρ(r , t ) = ρ0 (r )e = ρ0 (r )e ∂t r ⇒ r ∂ t ε ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = ρ – La carga desaparece (emigra a la superficie) a una velocidad controlada por la constante de relajación: τ= ε σ • Si τ es mucho mayor que el tiempo de observación el medio es dieléctrico. Si es mucho menor el medio es conductor. J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-9 Ejemplos de medios Material Agua destilada Agua Dulce Agua de Mar Vidrio Porcelana Cuarzo Cuarzo Fundido Mica Cobre Plata Oro Aluminio Hierro Mumetal εr µr 80 1 80 1 72 1 6 1 5,7 1 3,8 1 3,8 1 6 1 1 0,99999 1 0,99998 1 0,99996 1 1,000021 1 4 100 σ (S/m) 2,0E-04 1,00E-03 4 1,00E-12 2,00E-13 τ (s) 3,5E-06 7,1E-07 1,6E-10 53,1 252,3 1,00E-17 3364520,0 1,00E-15 53124,0 5,80E+07 1,5E-19 6,17E+07 1,4E-19 4,10E+07 2,2E-19 3,54E+07 2,5E-19 1,03E+07 8,6E-19 • La constante de relajación del cuarzo equivale a 38.9 días y la de la mica a 14,8 horas • Algunos de estos datos presentan diferencias de hasta un orden de magnitud entre las diferentes referencias consultadas J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 EyM 2b-10 5 Electromagnetismo 2012/2013 Condiciones de contorno en las interfases • Las ecuaciones diferenciales no son válidas en las interfases entre medios diferentes. – Es necesario obtener y aplicar condiciones de contorno que permitan el salto de un medio a otro. • El procedimiento general consiste en suponer que la transición entre medios se produce de forma suave en un intervalo ∆n , aplicar la ecuación integral y después hacer tender ∆n → 0 ∆n ε2 , µ2 , σ2 n$ ε1 , µ 1 , σ1 ε1 , µ1 , σ1 r r r r E1 , D1 , H1 , B1 Medio 2 (1) r J S ,ρ S ε2 , µ 2 , σ2 r r r r E2 , D2 , H 2 , B2 (2) Medio 1 Atención a la definición de n̂ J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-11 r Condición de interfase para D n$2 • Aplicando la Ley de Gauss a la superficie cerrada de la figura: r S2 SSC = S1 + S2 + S LAT r ∫∫ D ⋅ dS = q q = ∫∫∫ ρdV + ∫∫ ρ dS r r r r r ∫∫ D ⋅ dS = ∫∫s D ⋅ dS + ∫∫s D S SC V SC S 1 1 S1 S 2 r r r 2 ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS slat ∆n n$ n$1 ε 2µ 2σ 2 (2) ε µ σ 1 1 1 (1) SLAT – Si ∆n → 0, entonces S1 → S S 2 → S S LAT → 0 nˆ1 → − nˆ nˆ2 → nˆ y ... r r r ∫∫s1 Dr1 ⋅ dSr → −∫∫s nˆ ⋅rD1dS r r r r ∫∫sD2 ⋅ dSr → ∫∫s nˆ ⋅ D2dS ⇒ ∫∫SCD ⋅ dS = ∫∫s nˆ ⋅ D2 − D1 dS r r r ⇒ nˆ ⋅ D2 − D1 S = ρ S ∫∫sDlat ⋅ dS → 0 ρ dV → 0 ∫∫∫V ⇒ q =→ ∫∫S ρ S dS ∫∫S ρS dS → ∫∫S ρS dS – La integral desaparece porque la elección de S es arbitraria. ( J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ) ( ) EyM 2b-12 6 Electromagnetismo 2012/2013 r Condición de interfase para H n$ • Aplicando la ley de Ampère en el C = Lat + L1 + L2 contorno de la figura: r r r ∂D r ∫CH ⋅ dl = I + ∫∫S ∂t ⋅ dS L2 ∆l ∆n $ m Lat r r r r r r r r ∫CH ⋅ dl = ∫L1 Hr 1 ⋅ dl + ∫L2 Hr 2 ⋅ dl + ∫LatH ⋅ dl I = ∫∫ J ⋅ mˆ dS + ∫ J S ⋅ mˆ dl (2) ε 2 µ 2 σ 2 l$ L1 L S L (1) ε 1µ 1σ 1 – Si ∆n → 0 entonces: Lat → 0 L1 → L L2 → L S → 0 r r r r r ∫L1 Hr 1 ⋅ dlr → −∫LrH1 ⋅ drl = − ∫rL H1 ⋅ lˆdl r r r r ˆ ˆ ∫L21 Hr2 ⋅ dlr → ∫L H 2 ⋅ dl = ∫L H 2 ⋅ l dl ⇒ ∫CH ⋅ dl → ∫L l ⋅ H 2 − H1 dl ∫LatH ⋅ dl → 0 r ⇒L ˆ J m dS 0 ⋅ → r ∫∫ r S r ⇒ I → ∫L J S ⋅ mˆ dl ˆ ˆ J m dl J m dl ⋅ → ⋅ ∫L S ∫L Sr ∂D ⋅ mˆ dS → 0 ∫∫ S ∂t J.L. Fernández Jambrina EyM 2b-13 ( ) r Condición de interfase para H (2) • De la transparencia anterior y como la elección de L es arbitraria: r r → ∫ lˆ ⋅ H 2 − H1 dl C L r r r r r r r I → ∫ J S ⋅ mˆ dl ⇒ ∫ lˆ ⋅ H 2 − H1 dl = ∫ J S ⋅ mˆ dl ⇒ lˆ ⋅ H 2 − H1 = J S ⋅ mˆ L L L S r ∂D ˆ ⋅ m dS → 0 ∫∫S ∂t n$ • Considerando que: lˆ = mˆ × nˆ r r r r r J S ⋅ mˆ = (mˆ × nˆ ) ⋅ H 2 − H1 = nˆ × H 2 − H1 ⋅ mˆ 123 S S L ∆l lˆ r r ∫ H ⋅ dl ( ) ( ) ( ) ( ) ( $ m • Y como: – la orientación de L es arbitraria: r r r – J S ⋅ nˆ = 0 nˆ × H 2 − H1 ( ( ( (2) ε 2 µ 2 σ 2 )) S Grupo 25.1 (1) ε 1µ 1σ 1 ⋅ nˆ = 0 r r nˆ × H 2 − H1 J.L. Fernández Jambrina ) ) S l$ r = JS EyM 2b-14 7 Electromagnetismo 2012/2013 r r r Condiciones de interfase para B , E y J r • Siguiendo procesos análogos al seguido para D se obtiene: r r ∫∫ D ⋅ dS = q S r r ∫∫ B ⋅ dS = 0 S r r dq ∫∫ J ⋅ dS = − dt S ( ) ( ) ( ) r r nˆ ⋅ D2 − D1 r r nˆ ⋅ B2 − B1 r r nˆ ⋅ J 2 − J1 = ρS S S =0 =− S dρ S dt r • Siguiendo un proceso análogo al seguido para H se obtiene: r r r ∂D r H ⋅ d l = I + ∫C ∫∫S ∂t ⋅ dS r r r ∂B r ∫CE ⋅ dl = −∫∫S ∂t ⋅ dS J.L. Fernández Jambrina Grupo 25.1 ( r r nˆ × H 2 − H1 ( r r nˆ × E2 − E1 ) ) S S r = JS =0 EyM 2b-15 8