J.L. Fernández Jambrina • Condiciones en las interfases. • Linealidad de las ecuaciones de Maxwell. • Balance energético: Teorema de Poynting. – Influencia sobre los materiales. – Clasificación de medios. – Ley de Ohm. Constante de relajación. • Ecuaciones de estado. – Forma Integral. Forma diferencial. • Definición del campo electromagnético. • Ecuaciones de Maxwell. – Carga eléctrica. Corriente eléctrica. – Ecuación de continuidad. • Introducción • Fuentes de campo: Ecuaciones generales Modelo de Maxwell EyM 2a-1 J.L. Fernández Jambrina – Se suponen conocidos los conceptos de carga y corriente. – Se repasan los conceptos de densidades de carga y corriente. • Las fuentes del campo son las cargas y las corrientes. – Integral: » Flujos y circulaciones. – Diferencial: » Divergencias y rotacionales. • Hay dos formas de expresar las ecuaciones de Maxwell: EyM 2a-2 – Los materiales se consideran continuos. – En realidad son discretos, cuantificados, pero el elevado número de partículas elementales en los recintos habituales permite considerarlos continuos. • El modelo de Maxwell se compone de las denominadas ecuaciones de Maxwell junto con las ecuaciones de estado. • Es un modelo macroscópico: Introducción J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-3 – En un cuerpo descargado la carga de unos y otros se cancela. – Los átomos no tienen por qué tener carga nula: iones. – En los metales existen electrones libres que se pueden desplazar entre una red de iones. – En los semiconductores existen ‘huecos’ y electrones. • Se puede considerar que los portadores de carga básicos son los protones, carga positiva, y los electrones, carga negativa. – Es una unidad muy grande. La carga de un esfera del tamaño de la tierra puesta a 1V es del orden de 0.7 mC • Unidad: Culombio ó Coulomb (C) – El concepto de carga va unido siempre a un recinto: carácter integral. » Ejemplo: Carga contenida dentro de un volumen. • Se supone conocido el concepto de carga eléctrica. Carga eléctrica. r ∆q dq ρ(r ) = lim = ∆V → 0 ∆V dV O r r J.L. Fernández Jambrina V V r q = ∫∫∫ dq = ∫∫∫ ρ(r )dV – Relación con la carga encerrada en un volumen: – Unidades: (C/m3) – Definición: Densidad de carga por unidad de volumen: • Magnitud diferencial o puntual asociada: dV dq Densidad de carga eléctrica volumétrica. EyM 2a-4 V » Su densidad se puede representar por una δ tridimensional: δ3 r r δ3 (r ) = 0 ; r ≠ 0 r q 1 ; r r q ∈V 3 r r rq ∫∫∫V δ (r − rq )dV = 0 ; rrq ∉ V V O r ; q r r r r r q ∈V ⇒ ρ(r ) = qδ3 (r − rq ) q = ∫∫∫ ρ(r )dV = r V 0 ; rq ∉ V EyM 2a-5 J.L. Fernández Jambrina – Es el modelo simplificado de una carga contenida en un recinto de dimensiones muy pequeñas frente a la distancia de observación. – La densidad de carga volumétrica no está definida en el punto en que se encuentra la carga: » Por muy pequeño que sea el volumen siempre habrá una carga q en su interior: r ∆q q ρ(r ) = lim = lim =∞ ∆V → 0 ∆V ∆V → 0 ∆V • Carga puntual: Otros tipos de distribuciones de carga r r dq J.L. Fernández Jambrina S EyM 2a-6 r ∆q dq ρ S (r ) = lim = C m2 ∆S → 0 ∆S dS – Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la superficie. dV r r ∆S ∆q ρ(r ) = lim = lim ρ S (r ) =∞ ∆V → 0 ∆V ∆V → 0 ∆V dS ρS – Se puede representar por una δ. » si la superficie está definida por ui= uS : r r ρ(r ) = δ(un − uS )ρ S (r ) – Caso típico: carga en la superficie de un conductor. O – Densidad de carga superficial: dS • Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que una de sus dimensiones es despreciable frente a la distancia de observación. Distribución superficial de carga. J.L. Fernández Jambrina dl dq C EyM 2a-7 r r ∆l ∆q ρ(r ) = lim = lim ρ L (r ) =∞ ∆V → 0 ∆V ∆V → 0 ∆V O r r – Se puede representar por una δ2: » si la línea está definida por ui= ul,i y uj= ul,j : r r ρ(r ) = δ(ui − ul .i )δ(u j − ul . j )ρ L (r ) – Dificultad: la densidad de carga volumétrica no está definida en los puntos de la línea. r ∆q dq ρ L (r ) = lim = C m ∆ l → 0 ∆l dl – Caso típico: carga de un hilo conductor. – Densidad de carga lineal: • Es un modelo simplificado de una distribución de carga tal que dos de sus dimensiones son despreciables frente a la distancia al punto de observación. Distribución lineal de carga dq A dt – La unidad de intensidad de corriente es el Amperio, Ampère, que equivale a un flujo de 1 Coulomb en 1 segundo. – En un metal la velocidad de los electrones es variable, pero su velocidad media depende del campo eléctrico existente: – Aceleran hasta interactuar (chocar) con la red iónica fija y se frenan. – En un electrolito existen dos tipos de portadores, los iones positivos y negativos. » Sus velocidades medias dependen del campo eléctrico pero no tienen por qué coincidir. – Otro tanto se puede decir de los semiconductores. EyM 2a-8 J.L. Fernández Jambrina I= • La corriente eléctrica es la carga en movimiento. • La magnitud utilizada para la caracterización de la corriente eléctrica es la Intensidad de corriente que es la cantidad de carga que atraviesa una superficie S en la unidad de tiempo. (Magnitud integral) Corriente Eléctrica S S OjO dS n$ dI S J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-9 – Densidad superficial porque es la densidad de flujo de cargas a través de una superficie en la unidad de tiempo. – Corriente volumétrica porque las cargas se mueven dentro de un volumen. • Debería hablarse de densidad superficial de corriente volumétrica. S r r r I = ∫∫ dI = ∫∫ J ⋅ nˆ dS = ∫∫ J ⋅ dS • Unidades: Amperio/metro2, es decir, A/m2 • Relación con la intensidad de corriente: – Es un vector: » definición por componentes: r ∆I dI ˆn ⋅ J = lim = ∆S → 0 ∆S dS • Caracteriza la corriente eléctrica punto a punto. • Definición: Densidad de corriente volumétrica J.L. Fernández Jambrina • Unidades: A/m2 i OjO i r r r J = ∑ J i = ∑ ρi vi • En el caso de varios tipos de portadores: r r J = ρv • Puesto que la superficie es arbitraria: r r r ∆q ρ∆V ρv ⋅ nˆdtdS J ⋅ nˆ = lim = lim = = ρv ⋅ nˆ ∆S → 0 ∆S∆t ∆S → 0 ∆S∆t dSdt v ⋅ n$ ∆t r v r v ∆t ρ EyM 2a-10 ∆S n$ • La carga ∆q que atraviesa una superficie arbitraria en un intervalo ∆t a partir de un instante t0, es la que en dicho instante está contenida en el volumen ∆V : r » densidad de carga asociada: ρ r » Velocidad media de desplazamiento: v • Suponiendo un único tipo de portadores: Densidad de corriente volumétrica (2) J.L. Fernández Jambrina L L r ∆I dI = nˆ ⋅ J S = lim ∆l → 0 ∆l dl r r r » l es la intersección de la superficie dI = J ⋅ dS = J ⋅ nˆ δdl por la que circula la corriente con la que se utiliza para el cálculo de la intensidad. » n$ está contenido en la superficie por la que circula la corriente y δ=0 dI es normal a l OjO • Unidades: A/m r r – Amperios/(Unidad de anchura) dI = J S ⋅ dl • Relación con la intensidad: r I = ∫ dI = ∫ J S ⋅ nˆ dl EyM 2a-11 dl dl • La corriente superficial es una aproximación de una corriente que circula a través de un recinto de espesor despreciable frente al punto de observación. • La densidad de corriente superficial δ>0 dI caracteriza este tipo de distribuciones. Distribuciones de corriente superficial n̂ n̂ J.L. Fernández Jambrina S s r r I = ∫∫ J ⋅ dS lˆ I lˆ EyM 2a-12 I • Se caracterizan por la intensidad de la corriente que circula, I, y el vector unitario lˆ . – Ejemplo: corriente que circula por un hilo conductor. • Son una aproximación de las corrientes que circulan a lo largo de un recinto de dimensiones transversales despreciables frente a la distancia al punto de observación. Distribuciones filiformes. dV dq V S r J n$ J.L. Fernández Jambrina » Y como la integral debe ser nula para cualquier volumen: r ∂ρ ∇⋅J + =0 ∂t EyM 2a-13 » Para cualquier volumen V la disminución de la carga encerrada es igual a la carga que fluye fuera de él, la corriente saliente. – Ecuación de continuidad en forma diferencial. » Si V permanece fijo en el tiempo: r r r I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ JdV r ∂ρ S V dq dq d dρ ⇒ I + dt = ∫∫∫V ∇ ⋅ J + ∂t dV = 0 q = ∫∫∫ ρdV ⇒ = ∫∫∫ ρdV = ∫∫∫ dV V V V dt dt dt – Ecuación de continuidad en forma integral. r dq dq r I =− ⇔ I+ =0 O dt dt • Ley de conservación de la carga: La carga no se crea ni se destruye. Ley de conservación de la carga: Ecuación de continuidad ) J.L. Fernández Jambrina V V V V r r r r F = ∫ Edq + ∫ v × Bdq = Q Q r r r r r r = ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ v ρ × BdV = ∫∫∫ ρEdV + ∫∫∫ J × BdV • Fuerzas sobre distribuciones volumétricas: r r r r F =q E+v×B ( EyM 2a-14 r v – Si una carga q se mueve a velocidad en el seno de un campo electromagnético, entonces aparecerá sobre ella una fuerza de valor: • La definición es la expresión conocida como fuerza de Lorentz. – E : Intensidad de campo eléctrico (V/m) r – D : Densidad de flujo eléctrico, Inducción eléctrica ó Desplazamiento eléctrico (C/m2) r – B : Densidad de flujo magnético (T=wb/m2) r – H : Intensidad de campo magnético (A/m) • La descripción del campo electromagnético requiere cuatro vectores: r Definición del campo electromagnético J.L. Fernández Jambrina Ley de Ampère Flujo del campo Magnético Ley de Faraday Ley de Gauss • Ecuaciones de Maxwell r r ∂B ∇× E = − ∂t r ∇⋅B = 0 r r r ∂D ∇× H = J + ∂t r r r r ∂ ∫CE ⋅ dl = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS r r ∫∫ B ⋅ dS = 0 r r r r ∂ ∫CH ⋅ dl = I + ∂t ∫∫SD ⋅ dS S EyM 2a-15 r ∇⋅D = ρ r r D ∫∫ ⋅ dS = q S Forma Diferencial Forma Integral – A Maxwell se debe sólo un término de una de ellas. • Son cuatro. Ecuaciones de Maxwell dV V dS r D r r ∇⋅ D = ρ S J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-16 • La densidad de carga es la fuente escalar del campo D : las líneas tienen su origen en regiones de carga positiva y su fin en regiones de carga negativa. r r Gauss r D ⋅ d S = ∇ ⋅ D ∫∫S ∫∫∫V dV ⇒ ∫∫∫∇ ⋅ Dr dV = ∫∫∫ ρdV ⇒ V V q = ∫∫∫ ρdV V – Para cualquier volumen que contenga únicamente puntos ordinarios: • Es fácil pasar de su forma integral a la diferencial: S r r ∫∫ D ⋅ dS = q r – El flujo del vector de desplazamiento eléctrico, D , a través una superficie cerrada es igual a la carga contenida en su interior. • Enunciado: Ley de Gauss n$ J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-17 r r • Relaciona el campo E con la variación temporal del campo B . r – La circulación del campo E a lo largo de un contorno C es igual a la r menos derivada con respecto al tiempo del flujo del campo B a través de una de las superficies limitadas por C. n$ r r r r ∂ dS ∫CE ⋅ dl = − ∂t ∫∫SB ⋅ dS S C – Si se supone que la superficie S permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: r r Stokes r r r r ∫CE ⋅ dl = ∫∫S∇ × E ⋅ dS r r r r ∂B ∂B ∂S ∇ × E = − r ∇ × E ⋅ d S = − ⋅ d S ⇒ ∫∫S ∂t r r ∂t = 0 ∂B r ∫∫S ∂t ∂ B ⋅ dS = ∫∫ ⋅ dS S ∂t ∂t ∫∫S r r B – La variación temporal de es fuente vectorial del campo E . Ley de Faraday V r ∇⋅B = 0 J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-18 – Equivale a negar la existencia de monopolos o cargas magnéticas. S r r r ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ BdV = 0 ⇒ – Y si sólo contiene puntos ordinarios: S r r ∫∫ B ⋅ dS = 0 – Para toda superficie: • Las líneas de campo magnético son cerradas: Ecuación del flujo del campo magnético r r – La circulación del campo H a lo largo de un contornor C es igual a la derivada con respecto al tiempo del flujo del campo D a través de una de las superficies limitadas por C más la corriente. n$ r r r r ∂ dS ∫CH ⋅ dl = I + ∂t ∫∫SD ⋅ dS S C – Si se supone que la superficie S permanece fija y que sólo contiene puntos ordinarios: r r Stokes r r ∫CH ⋅ dl = ∫∫S∇ × H ⋅ dS ∂S r r r =0 r r r r r r r r r ∂ t ∂ ∂D ∂D ∂D D ⋅ d S = ⋅ d S ⇒ ∇ × H ⋅ d S = J + ⋅ d S ⇒ ∇ × H = J + ∫∫S ∫∫S ∫∫S ∂t ∂t ∫∫S ∂t r r ∂t I = ∫∫ J ⋅ dS S r r • La variación temporal de r D y la densidad de corriente, J ,son fuentes vectoriales del campo H . EyM 2a-19 J.L. Fernández Jambrina • Relaciona el campo H con la variación temporal del campo D y la corriente. r Ley de Ampère S1 I0 I0 C S2 C S1 q+ n̂ q+ I0 I0 (2) J.L. Fernández Jambrina ⇒ S = − S1 + S 2 C r r ∂ r r r r ∂ r r − ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒ I 0 = ∫∫ J ⋅ dS = ∫∫ D ⋅ dS ∂t S 2 ∂t S 2 EyM 2a-20 S1 S1 S2 n̂ – Considerando que la corriente del caso inicial provoca una acumulación de carga en el condensador es fácil obtener un término que conduce al resultado correcto: S = − S1 + S 2 r r ∂ r r ∂q = 0 ⇒ ∫∫ J ⋅ dS + ∫∫ D ⋅ dS = 0 ⇒ I+ ∂t ∂t S S – Si con el mismo contorno se escoge una superficie que que pase entre las armaduras: r r r r I 0 = ∫ H ⋅ dl ≠ ∫∫ J ⋅ dS = 0 C – Supongamos que el campo eléctrico es nulo fuera del condensador y escogamos una superficie que corte al conductor: r r r r I 0 = ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS • Se puede justificar su necesidad: r • El término ∂D ∂t es la contribución de Maxwell. Ley de Ampère (3) J.L. Fernández Jambrina EyM 2a-21 – Esta fue la aportación de Maxwell. – Esta aportación permitió la predicción de la propagación de ondas electromagnetismo y fue la confirmación experimental de la existencia de éstas (Hertz 1886) lo que confirmó la validez de este término. – trabajando un poco: r ∂ρ r ∂ r ∇⋅J + = 0 r ∂ r ⇒ ∇ ⋅ J + ∇ ⋅ D = ∇ ⋅ J + D = 0 r ∂t ∂t ∂t ∇ ⋅ D = ρ r r J ∂ D ∂t varían de forma que se compensan sus variaciones – resulta que y desde el punto de vista de cálculo de sus flujos. – Así pues es razonable pensar que se puede generalizar la ley de Ampère clásica de esta forma: r r r ∇ × Hr = J ? r r ∂D r ∂D ⇒ ∇ × H = J + J+ = cte ∂t ∂t Ley de Ampère J.L. Fernández Jambrina ( ) ( ) EyM 2a-22 – Calculando la divergencia de la Ley de Ampère: r r ∇ ⋅∇× H = 0 r r r ∂D r ∂ r Ec. ∂ r ⇒ ∇× H = J + ⇒ r ∂D ∇⋅ J + = −ρ+∇⋅D ∂t = ∇ ⋅ J + ∂t ∇ ⋅ D Cont . ∂t ∂ t r r ∂ ⇒ − ρ + ∇ ⋅ D = 0 ⇒ ∇ ⋅ D = ρ + cte ∂t – La experiencia dice que ambas constantes son nulas. – Calculando la divergencia de la Ley de Faraday: r r ∇ ⋅ r∇ × E = 0 r r r ∂B ∂ r ∇× E = − ⇒ ∂B ∂ ⇒ ∇ ⋅ B = 0 ⇒ ∇ ⋅ B = cte ∇ ⋅ = ∇ ⋅ B ∂t ∂t ∂t ∂t • Existe un cierto grado de redundancia si se consideran las ecuaciones de Maxwell junto a la ecuación de continuidad: Redundancia en las ecuaciones de Maxwell