Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Magnetostática • • • • • Definición. El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades. Ley de Biot y Savart. Ley de Ampère. Campo en puntos alejados. Momento magnético. – Comportamiento en el infinito. – Corrientes ligadas. • Energía Magnética. – – – – Relación con las corrientes. Formación e Interacción. Sistemas de corrientes filiformes. Coeficientes de inducción. Autoinducción. Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas. • Transporte de energía. • Fuerzas magnéticas. Efecto Hall EyM 5b-1 J.L. Fernández Jambrina Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución. • Se escoge el eje de simetría como eje z. – Por la simetría de translación r r no puede haber variación con z: H = H (ρ, ϕ) – Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera componente z: r H = H ρ (ρ, ϕ)ρˆ + H ϕ (ρ, ϕ)ϕˆ – Por la simetría de revolución el campo no es función de ϕ, salvo la variación propia de ϕ̂ : r H = H ρ (ρ )ρˆ + H ϕ (ρ)ϕˆ v J = J z (ρ) z$ Z – No puede haber componente radial porque r no se cumpliría: ∇ ⋅ B = 0 » Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial. r • En definitiva: H = H ϕ (ρ)ϕˆ J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D EyM 5b-2 1 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución. (2) • Escogiendo contornos que sean circunferencias en planos z=cte y centradas en el eje z: C S 2π I (ρ) ⇒ Hϕ = ∫0 H ϕρdϕ = 2πρH ϕ 2 πρ ρ r r ∫∫S J ⋅ dS = 2π∫0 ρJ z dρ = I (ρ) r r r v H = H ϕ (ρ)ϕ$ r ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS Z v J = J z (ρ) z$ • donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno: r I (ρ ) H= ϕˆ 2πρ ρ I (ρ) = 2π∫ ρJ z dρ 0 EyM 5b-3 J.L. Fernández Jambrina Línea de Corriente Indefinida • En el caso de una línea de corriente indefinida de valor I 0 que circule sobre el eje z: I (ρ) = I 0 r I H= ϕˆ 2πρ – Por lo tanto: I • En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en un hilo r de radio a: a Z J = J z (ρ)zˆ = I 0 πa 2 zˆ ; 0 ≤ ρ < a ρ2 – La corriente encerrada en la región interior es I (ρ) = I 0 2 y: a ρ 2 πa 2 1 2πρ πρ 1 2π πa H ϕ (ρ ) 0 0 a ρ J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 2a 3a r I ρ Hi = ϕˆ 2π a 2 r I He = ϕˆ 2πρ EyM 5b-4 2 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Cable Coaxial • En el cable coaxial de la figura la corriente circula en sentidos contrarios en cada conductor. Suponiendo que la corriente se distribuye uniformemente en la sección de cada conductor: I πa 2 zˆ ; 0≤ρ<a r 0 ; a<ρ<b J = J z (ρ)zˆ = 2 2 − I π c − b zˆ ; b < ρ < c 0 ; c<ρ ( ) • La corriente que fluye en el interior de la circunferencia de radio ρ es: ρ2 I a2 ρ r r I I (ρ) = ∫∫ J ⋅ dS = 2π∫ ρJ z dρ = 2 2 0 Sρ I c − ρ c 2 − b2 0 ; 0≤ρ≤a ; a≤ρ≤b ; b≤ρ≤c ; c≤ρ EyM 5b-5 J.L. Fernández Jambrina Cable Coaxial. (2) • Y el resultado final es: I ρ 2π a 2 ϕˆ I 1 r r ϕˆ I (ρ) 2π ρ H (r ) = H ϕ (ρ)ϕˆ = ϕˆ = 2πρ I c 2 − ρ2 ϕˆ 2 2 2π ρ(c − b ) 0 ; 0≤ρ≤a ; a≤ρ≤b ; b≤ρ≤c c≤ρ ; • Obsérvese que no se genera campo en el exterior del cable. 1 b = 2a c = 1.1b 2πaH ϕ 0 J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D a ρ a 2a c EyM 5b-6 3 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Solenoide Indefinido Z • Al igual que en el solenoide finito, en un solenoide indefinido la distribución de corriente puede representarse por una densidad de corriente superficial: r J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ a – n es el número de espiras por unidad de longitud I (altura en la figura). • Las fuentes no dependen de z, el campo tampoco. • La simetría de rotación garantiza la independencia r r r respecto de ϕ: H (r ) = H (ρ) • El campo no puede tener componente ϕ: la circulación a lo largo de una circunferencia de z constante centrada en el eje z debe ser cero porque no fluye corriente a través de ella. • Si el campo tuviera componente r r r radial no se cumpliría que: H (r ) = H (ρ )zˆ ∇⋅B = 0 z EyM 5b-7 J.L. Fernández Jambrina Solenoide Indefinido (2) • Escogiendo contornos como C A, exterior al solenoide, rectangular y con dos lados paralelos al eje z: CA L r r 0 = ∫ H ⋅ dl = [H z (ρe ) − H z (ρi )]L ⇒ H z (ρ) ρ > a = H e = cte CA a ρe ρi I • Análogamente, con contornos como el C B, interior 0= r r ∫ H ⋅ dl = [H (ρ ) − H (ρ )]L⇒H (ρ) z e z i z ρ< a = H i = cte CB CB • Y con contornos como el CC , uno de los lados paralelos dentro del solenoide y el otro fuera: r r ∫ H ⋅ d l = [H nIL = i − H e ]L ⇒ H i − H e = nI CC J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D CC EyM 5b-8 4 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Solenoide Indefinido (3) • Recordando que el campo creado por un solenoide en su centro cuando su longitud tiende a infinito es: r lim B ( z ) h→∞ z c = cte = µnIzˆ • Resulta que: H i = nI ;H e = 0 • Y por tanto: r r nIzˆ ; 0 ≤ ρ < a H (r ) = a<ρ 0 ; • Un solenoide infinito solo crea campo en su interior, y este campo es constante, con componente axial y con sentido positivo de acuerdo al de la corriente. EyM 5b-9 J.L. Fernández Jambrina Hoja Indefinida de Corriente z • Se trata de una corriente superficial de amplitud y dirección constante que fluye sobre un plano indefinido. • Supongamos que el plano es el z=0 y que la corriente lleva dirección +x. y – Como las fuentes no varían ni con x ni con y, el campo tampoco lo hará. r r r H (r ) = H ( z ) – Los elementos de corriente orientados según x: el campo no puede tener componente x. r r H (r ) = H y ( z ) yˆ + H z ( z )zˆ J S = J 0 x$ x z y x v dB2 – dado un elemento de corriente y un v v punto de cálculo de campo, siempre dB1 + dB2 existe el elemento simétrico que v cancela la componente z r r dB1 H (r ) = H y ( z ) yˆ J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D r J = J x xˆ v dI 2 v dI 1 EyM 5b-10 5 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Hoja Indefinida de Corriente (2) – La componente y es constante a CA ambos lados de la hoja y es discontinuo en ella: » Calculando circulaciones a lo largo de CB contornos como los de la figura: r r r 0 = ∫ H ⋅ dl = H y z − − H y z + L ⇒ H = H y+ CA z>0 r r r 0 = ∫ H ⋅ dl = H y z − − H y z + L ⇒ H = H y− CB z <0 r r J 0 L = ∫ H ⋅ dl = H y− − H y+ L ⇒ H y− − H y+ = J 0 CC [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) L CC z y v J s / / x$ L – Por simetría cabe suponer: H y+ + H y− = 0 – Finalmente: r r − yˆ J 0 2 ; z > 0 H (r ) = yˆ J 0 2 ; z < 0 EyM 5b-11 J.L. Fernández Jambrina Solenoide Toroidal b a • Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. • El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios. – Se escoge el eje Z coincidiendo NI ˆ con el eje del solenoide y el 2πρ ρ origen en el centro del solenoide. − NI – Si las espiras están muy ρˆ r próximas se pueden aproximar J S = 2πρ por una corriente superficial: NI zˆ 2πa − NI – Por la simetría de revolución el 2πb zˆ campo no dependerá de ϕ: r r H = H (ρ ρˆ + zzˆ ) h ; z=h 2 ; z = −h 2 a<ρ<b a<ρ<b ; ρ=a −h 2< z <h 2 ; ρ=b −h 2< z <h 2 – Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte: EyM 5b-12 J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 6 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Solenoide Toroidal (2) – Aplicando la ley de Ampère a lo largo de círculos centrados en el eje Z y contenidos en planos z=cte, solo habrá flujo neto de corriente (NI)cuando estén dentro del solenoide: NI ; −h 2< z <h 2 a<ρ<b H ϕ = 2πρ 0 ; resto – Respetando la simetría, el otro tipo de líneas de campo que puede haber serían las contenidas en planos ρ=cte, pero deberían estar generadas por corrientes según ϕ, que no existen. – El campo sólo tendrá componente según ϕ: r NI ϕ$ ; − h 2 < z < h 2 a < ρ < b H = 2 πρ 0 ; resto – El campo en el interior es como el creado por una línea de corriente. • El campo queda confinado en el interior del solenoide. EyM 5b-13 J.L. Fernández Jambrina Distribuciones de corriente axial con simetría de translación. • Se trata de distribuciones de corriente con una dirección constante e invariantes según esta dirección. r r J (r ) = J z ( x, y )zˆ r r r r r µ J (r ′) × (r − r ′) B= dV ′ r r3 4π ∫∫∫ r − r′ V′ – Por ejemplo, si la dirección de invarianza es z$ : • Las expresiones habituales, pueden dar problemas ya que suponen que la distribución es finita y que se cumplen las correspondientes condiciones en el infinito. • La solución es considerar elementos de corriente indefinidos en la dirección de la corriente y asociados a un dS: – La corriente de estos elementos es: r r dI = J ⋅ dS = J z dS – y el campo, utilizando su propio eje z. r µJ dS dB = z ϕˆ J 2πρ J – Ahora hay que utilizar un mismo eje z común. J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D S dS z$ dI EyM 5b-14 7 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Distribuciones de corriente axial con simetría de translación. (2) YJ • Generalizando la expresión del campo: r µJ dS r µJ dS dB = z ϕˆ J = zr 2 zˆ × rJ 2πρ J 2π rJ ZJ – Utilizando un origen de coordenadas general: r r′ Y r r r r r r r r µJ z dS ′ rJ = r − r ′ ⇒ dB = r r 2 zˆ × (r − r ′) ′ 2π r − r • Sumando las contribuciones: r r µ B(r ) = 2π ∫∫S XJ r r r rJ = r − r ′ X Las integrales se extienden a la traza de la distribución sobre la sección transversal. Z r r r r J (r ′) × (r − r ′) dS ′ r r 2 r − r′ • Para distribuciones superficiales y lineales: r r r r r r r r r r µ J S (r ′) × (r − r ′) µ I i zˆ × (r − ri ) ′ ( ) B (r ) = d l B r = ∑ rr − rr 2 r r 2 2π ∫C 2π i r − r′ i r – Todos los vectores son de dos dimensiones: r = xxˆ + yyˆ = ρ ρˆ EyM 5b-15 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo: Tira de corriente. Y • Calculando en todo el espacio: r r r r r r µ J S (r ′) × (r − r ′) B (r ) = dl ′ r r 2 2π ∫C r − r′ Z r I – La densidad de corriente es: J S = zˆ w r r r − r ′ = yyˆ + ( x − x′)xˆ r r = xxˆ + yyˆ r r 2 2 r − r ′ = y 2 + ( x − x′ ) r ⇒ r ′ = x′xˆ r r r r J S (r ′)× (r − r ′) = I w (− yxˆ + ( x − x′) yˆ ) r r µI w 2 − yxˆ + ( x − x′) yˆ B(r ) = dx′ = 2πw ∫− w 2 y 2 + ( x − x′)2 ( µI x − x′ yˆ 2 arctg = xˆ − ln y 2 + ( x − x′) 2πw y 2 = x−w 2 x+w µI − arctg arctg 2πw y y J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D ) w2 = −w 2 2 2 yˆ y 2 + ( x + w 2 ) xˆ + ln 2 2 y + ( x − w 2 ) w X I Y w X EyM 5b-16 8 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Ejemplo: Tira de corriente. (2) 2 r r µI x−w 2 x+w 2 yˆ y 2 + ( x − w 2 ) xˆ + ln 2 B(r ) = − − arctg arctg 2πw y y 2 y + ( x + w 2 ) • Las funciones arcotangente son las encargadas de modelar la discontinuidad de la componente x correspondiente a la densidad de corriente. EyM 5b-17 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo: Línea biplaca. Y • Limitando el cálculo al plano de simetría: r r r r r r µ J S (r ′) × (r − r ′) B(r ) = dl ′ r r 2 2π ∫C r − r′ Z w X I r I – Trabajando con el conductor superior: J S = zˆ d w I r r r r − r ′ = ( y − d 2 ) yˆ − x′xˆ r = yyˆ r r 2 2 r − r ′ = ( y − d 2 ) + x′2 r d ⇒ r ′ = yˆ + x′xˆ r r 2 J S (r ′) × (rr − rr′) = − I w (( y − d 2 )xˆ + x′yˆ ) r µI w 2 ( y − d 2)xˆ + x′yˆ B( yyˆ ) = − dx′ = 2πw ∫− w 2 ( y − d 2 )2 + x′2 =− ( µI x′ yˆ 2 arctg xˆ + ln ( y − d 2 ) + x′2 2πw y−d 2 2 J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D Y w d/2 X ) w2 −w 2 =− µI w arctg xˆ πw 2y − d EyM 5b-18 9 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Ejemplo: Línea biplaca. (2) • Superponiendo los campos de ambos conductores. r µI w µI w µI w w B( yyˆ ) = − arctg xˆ + arctg xˆ = arctg − arctg xˆ πw 2y − d πw 2y + d πw 2y + d 2 y − d 1 10 • En el origen: r 2µI w B(0 ) = arctg xˆ πw d 6 d=w 5 10 • Para líneas muy anchas: w=2 d=w/5 7 Bx ( y ) – w>>d r µI π π µI lim B( y ) = xˆ + xˆ = w→∞ πw 2 2 w y <d / 2 r µI π π lim B( y ) = ± − xˆ = 0 w→∞ πw 2 2 y >d / 2 0 5 10 7 2 0 2 y EyM 5b-19 J.L. Fernández Jambrina Ejemplo: Línea biplaca. (3) • Líneas de campo: w=2, d=0.4 1 2 0.8 1 0.6 0 0.4 -1 0.2 0 -2 -2 -1 0 1 J.L. Fernández Jambrina Tema 5: Magnetostática - b Ampère - Biot-Savart 2D 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 EyM 5b-20 10