Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Magnetostática • • • • • Definición. El potencial vector magnético. Medios indefinidos. Propiedades. Ley de Biot y Savart. Ley de Ampère. Campo en puntos alejados. Momento magnético. – Comportamiento en el infinito. – Corrientes ligadas. • Energía Magnética. – – – – Relación con las corrientes. Formación e Interacción. Sistemas de corrientes filiformes. Coeficientes de inducción. Autoinducción. Coeficientes de autoinducción de corrientes volumétricas. • Fuerzas magnéticas. Efecto Hall EyM 5d-1 J.L. Fernández Jambrina Energía del Campo Magnético Estacionario • Al estudiar el Teorema de Poynting se definió la Energía del Campo Magnético almacenada en un volumen V como: Wm = r r 1 B ⋅ HdV 2 ∫∫∫ V – Si lo que se desea es calcular la energía asociada a una distribución, V debe abarcar toda la región en la que exista campo magnético: habitualmente todo el espacio. – Observando esta expresión se intuye que la energía se encuentra almacenada en donde existe campo. Por tanto es posible definir una densidad de energía por unidad de volumen como: dWm 1 r r = B⋅H dV 2 – La energía de una distribución debe ser positiva. En el caso concreto de medios isótropos y lineales: dWm 1 r r 1 r 2 1 r 2 = B⋅H = µH = B ≥0 dV 2 2 2µ – Sólo toma el valor 0 si los campos son nulos. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-2 1 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Relación Energía - Corrientes • Puesto que el campo magnético tiene su origen en las corrientes, es interesante relacionarlas con la energía. – Como punto de partida conviene recordar que: r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ A × H = H ⋅ ∇ × A − A ⋅ ∇ × H r r r r ⇒ H ⋅ B = ∇ ⋅ A× H + A⋅ J B = ∇× A ; ∇× H = J – y sustituyendo en la expresión de la energía: r r r r r r r 1 r r 1 1 1 Wm = ∫∫∫ ∇ ⋅ A × H dV + ∫∫∫ A ⋅ JdV = ∫∫ A × H ⋅ dS + ∫∫∫ A ⋅ JdV 2 V 2 V 2 S 2 V – Si el campo cumple las condiciones de regularidad en el infinito la primera de las integrales se cancela: » al hacer tender la superficie S al infinito r r r r 1 r r r 1 r 1 A ∝ 2 , B ∝ 3 ,S ∝ r 2 ⇒ ∫∫ A × H ⋅ dS ∝ 3 ⇒ lim ∫∫ A × H ⋅ dS = 0 S S S →S∞ r r r ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ) • Por tanto: W = 1 Ar ⋅ JrdV m ∫∫∫V 2 J – V se puede limitar al volumen en que hay corrientes. EyM 5d-3 J.L. Fernández Jambrina Relación Energía - Corrientes (2) • La expresión anterior puede generalizarse para el caso de corrientes superficiales y filiformes: r r r r 1 1 I r r A ⋅ JdV + ∫∫ A ⋅ J S dS + ∫ A ⋅ dl 2 ∫∫∫V 2 S 2 C – Hay que mencionar que la expresión para corrientes filiformes conduce a una energía infinita. Esto no debe preocupar ya que se trata de una aproximación de corrientes que circulan por conductores muy delgados. Wm = • Se puede seguir eliminando los campos de la expresión de la energía: Así para un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido: r r r r µ J (r ′ ) r r r r A(r ) = r r dV ′ ∫∫∫ V J (r ′ ) ⋅ J (r ) µ r − r′ 4π r r dV ′dV ⇒ Wm = r r 8π ∫∫∫V ∫∫∫V r − r ′ 1 Wm = ∫∫∫ A ⋅ JdV 2 V – Y para distribuciones superficiales y filiformes: r r r r r r µ J S (r ′) ⋅ J S (r ) µI 2 dl ′ ⋅ dl ′ Wm = d S dS W = r r r r m 8π ∫∫S ∫∫S ′ r − r′ 8π ∫C ∫C ′ r − r ′ J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-4 2 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Energías de interacción y formación • Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético: Total Formación2 Formación1 r r 2 r r r r 1 1 1 Wm = µ H1 + H 2 dV = ∫∫∫ µH1 ⋅ H1dV + ∫∫∫ µH 2 ⋅ H 2 dV ∫∫∫ 2 2 2 V V V r r r r r r r r 1 1 1 + ∫∫∫ J 2 ⋅ A2 dV 2 ∫∫∫ J1 + J 2 ⋅ A1 + A2 dV 2 ∫∫∫ J1 ⋅ A1dV 2 V2 V1 +V 2 V1 r r r r J ⋅ A dV » Se puede demostrar que ∫∫∫ 1 2 = ∫∫∫ J 2 ⋅ A1dV ( )( Interacción r r + ∫∫∫ µH1 ⋅ H 2 dV ) V1 V r r + ∫∫∫ J1 ⋅ A2 dV V1 V2 siguiendo un procedimiento similar al seguido para demostrar: r r r r 1 1 Wm = ∫∫∫ H ⋅ BdV = ∫∫∫ A ⋅ JdV V V 2 2 J – Las energías de formación deben ser positivas. – Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas. EyM 5d-5 J.L. Fernández Jambrina Energía magnética de una corriente filiforme. • La energía magnética de una corriente filiforme es infinita. – Si se escoge un elemento de longitud suficientemente pequeña como para considerarlo recto, El campo a una distancia D<∆R<<∆L será ∆R fundamentalmente el debido al r r I ϕˆ propio elemento, considerado como de H (r ) ≈ 2πρ longitud infinita: – La energía almacenada en esta región (cilindro) será: 2 r2 z 0 + ∆L 2 π ∆R µ I µ ∆WH = ∫∫∫ H dV = ∫ ∫0 ∫0 2 2πρ ρdρdϕdz = z0 2 ∆V = z ∆L µI 2 ∆L ∆R dρ µI 2∆L (ln ∆R − ln 0) = ∞ = 4π ∫0 ρ 4π – La energía es infinita en las proximidades de la corriente filiforme. » Es decir, donde la aproximación de corriente filiforme no es válida. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-6 3 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Energía de interacción de sistemas de corrientes lineales I1 • Si se tiene un sistema de corrientes que pueda aproximarse por corrientes filiformes, la energía magnética de interacción entre dos de los contornos, Ci y Cj, toma la forma: WH i , j = I i ∫ Ci Ik C1 – Como el flujo a través de Ci del campo debido a Ij vale: r r r r r r Φ i , j = ∫∫ B j ⋅ dS = ∫∫ ∇ × A j ⋅ dS = ∫ A j ⋅ dli Si Si ( ) Ck CN r r Aj ⋅ dli IN Ci – Resulta: Wmi , j = I i Φ i , j – Es más, puesto que, para medios lineales, el campo total es la suma de los campos creados por cada corriente, la suma de las energías de interacción será: r r r r r v v v B = ∑ B j ⇒ Φ i = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ ∑ B j ⋅ dS = ∑ ∫∫ B j ⋅ dS = ∑ Φ i , j ⇒ j Si N ⇒ Wm = ∑ I i i =1 j Si N ∑Φ j =i +1 i, j j j Si N 1 N = ∑ Ii ∑ Φi, j 2 i =1 j =1 j ≠i EyM 5d-7 J.L. Fernández Jambrina Coeficientes de Inducción Mutua • En medios lineales existe una relación de proporcionalidad entre la corriente y el campo que esta genera. Esta proporcionalidad, consecuencia de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se extiende también al flujo. r r r r Φ i , j = ∫∫ B j ⋅ dSi = Li , j I j Si Li , j = 1 Ij ∫∫ B j ⋅ dS i Si – Este factor de proporcionalidad recibe el nombre de coeficiente de inducción: Li,j – En función de Li,j la energía de interacción queda como: j ≠i j ≠i 1 1 Wm = ∑ I i ∑ Φ i , j = ∑∑ I i I j Li , j 2 i 2 i j j r r µI 2 dl ′ ⋅ dl – Recordando que: Wm = r r 8π ∫C ∫C ′ r − r ′ r r d l µ i ⋅ dl j Se obtiene fórmula de Neumann: Li , j = r r ∫ ∫ 4π Ci C j ri − rj » Nota: el coeficiente de autoinducción, Li,i , es infinito. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-8 4 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Coeficientes de inducción de distribuciones no filiformes • Se ha visto que existen dos métodos para el cálculo de coeficientes de inducción mutua para corrientes filiformes: la fórmula de Neumann y la energía. r r dli ⋅ dl j µ Li , j = r r 4π C∫i C∫j ri − rj Li , j = (Wm )i, j Ii I j = µ Ii I j r ∫∫∫ H i r ⋅ H j dV V – La expresión basada directamente en la energía se utiliza para generalizar la definición de coeficiente de inducción mutua a distribuciones superficiales y volumétricas. – Esta misma expresión puede utilizarse para definir el coeficiente de autoinducción de una distribución superficial o volumétrica: Li ,i = 2(Wm )i ,i Ii 2 = µ Ii 2 r ∫∫∫ H 2 i dV V » La presencia del factor 2 en la expresión de la autoinducción y su ausencia en la de los coeficientes de inducción mutua proviene de las definiciones de energías de formación e interacción. EyM 5d-9 J.L. Fernández Jambrina Energías de interacción y formación • Los conceptos de energías de formación y de interacción son también aplicables a la energía asociada al campo magnético: Total Formación1 r r 2 1 r r 2 ∫∫∫ µ H1 + H 2 dV 1 µH1 ⋅ H1dV V ∫∫∫ 2 r r r r V Wm = 1 ∫∫∫ J1 + J 2 ⋅ A1 + A2 dV = 1 Jr ⋅ Ar dV 2 V1 +V2 ∫∫∫ 1 1 2 V 1 2 2 1 2 ∑∑ Ii I j Li , j I1 L1,1 2 i j 2 ( )( ) Formación2 Interacción r r 1 µH 2 ⋅ H 2 dV 2 ∫∫∫ V r r 1 + ∫∫∫ J 2 ⋅ A2 dV 2 V 1 2 + I 2 L2, 2 2 r r + ∫∫∫ µH1 ⋅ H 2 dV + V r r + ∫∫∫ J1 ⋅ A2 dV V + I1I 2 L1, 2 • Las energías de formación deben ser positivas. • Las energías de interacción pueden ser tanto positivas como negativas. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-10 5 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Propiedades de los Coeficientes de Inducción • Los coeficientes de inducción son parámetros geométricos. – su valor no depende de las corrientes que circulan tal como puede verse de su expresión. • Los coeficientes de inducción mutua son simétricos: Lij = Lji – Se deduce de su expresión. – (ojo) Su signo cambia si se cambia el sentido considerado como positivo para una de las corrientes, circulaciones o flujos. • Los coeficientes de autoinducción de circuitos filiformes son infinitos – Las integrales son impropias. – La energía asociada con un sistema de corrientes filiformes es infinita. – Las corrientes filiformes son un modelo matemático sin realidad física. » Se necesita energía infinita para hacer pasar una corriente finita por un conductor de sección transversal nula. • Los coeficientes de autoinducción de distribuciones volumétricas o superficiales son finitos y positivos. EyM 5d-11 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción de distribuciones volumétricas • El coeficiente de autoinducción de distribuciones volumétricas se define a partir de su energía: L= r r 2Wm 1 = 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV 2 V I I • Puesto que parte de esta energía se está asociada al campo en el interior de la distribución y parte fuera, se acostumbra a descomponer la autoinducción en dos sumandos, llamados: – coeficiente de autoinducción interno, asociado a la energía interior. – coeficiente de autoinducción externo, asociado a la energía exterior. r r 2Wm ,i 1 Li = I 2 = I 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV Wm = Wm ,i + Wm ,e Vi ⇔ r r 2 W L = Li + Le 1 m,e L = = 2 ∫∫∫ B ⋅ HdV 2 e I I Ve – Es posible relacionar estos coeficientes de autoinducción con el concepto de flujo. EyM 5d-12 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción 6 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Autoinducción de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido. • Datos de la distribución de corriente I0 – Radio a. a – Se supone que la corriente se distribuye de forma uniforme: Z I0 ρ ˆ ϕ ; 0 ≤ ρ ≤ a 2 r r – El campo creado es: H (r ) = 2π a I0 ϕˆ ; a≤ρ 2πρ 2W – Calculando el coeficiente de autoinducción a partir de la energía: L = 2m I0 » En el exterior: Lext 1 = 2 l lI 0 z0 + l ∞ z0 ρ=a 2 I µ ∞ dρ µ 0 ρdϕdρdz = =∞ ϕ = 0 2πρ 2 π ∫a ρ ∫ ∫ ∫ 2π » El coeficiente de autoinducción externo por unidad de longitud es infinito. (Debido fundamentalmente a que no se cumplen las condiciones de regularidad) EyM 5d-13 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción Interna de un Hilo Conductor Cilíndrico Indefinido. r • En el interior: H i = I0 ρ ϕˆ 2π a 2 2 Wint 1 a 2 π I 0 ρ µI = ∫ ∫ µ ρdϕdρ = 0 l 2 ρ = 0 ϕ = 0 2π a 2 16 π 2 ( ) Lint 2Wint m µ H = = = 50 nH m l I2 8π m – Puede observarse como un hilo conductor tiene una autoinducción interna por unidad de longitud que puede ser importante. – Puesto que el campo en el interior de un hilo cilíndrico será fundamentalmente debido a la corriente que circula por él, este resultado se puede utilizar como aproximación en muchos casos. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-14 7 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Autoinducción de un Cable Coaxial • En el conductor interior: I0 – la situación es idéntica a la del hilo indefinido: L0 a 2WH ,0 a µ = = l lI i2 8π • En la región intermedia: – La autoinducción externa por unidad de longitud: µ Lext = 2 l I0 r I H = 0 ϕˆ 2πρ 2 I µ ∫ρ =a ∫ϕ =0 2πρ0 ρdϕdρ = 2π 2π b Z b dρ a ρ ∫ a b = µ 2π I0 c b ln a c2 I0 − ρ ϕˆ 2 2 2π (c − b ) ρ 2 c2 Lint I0 1 1 c 2π − ρ ρdϕdρdz = = 2 ∫ ∫ ∫ µ 2 2 l I 0 z =0 ρ =b ϕ =0 2π c − b ρ 1 µ 4 c 2 2 = c ln − c c − b 2 + c 4 − b 4 2 2 2 b 4 2 π c − b J.L. Fernández Jambrina r r • En el conductor exterior: H (r ) = ( ( ) ( ) ) ( ) Autoinducción de un Coaxial. • Utilizando: α= EyM 5d-15 (2) b L µ b µ ⇒ ab = ln = ln α a l 2 π a 2π 400nH/m Lab/l 200nH/m L0a /l 0 1 2 3 4 5 α • Para valores normales, α= [1.5, 5], el coeficiente de inducción interno del conductor interior contribuye a la inducción total de forma significativa. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-16 8 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Autoinducción de un Coaxial. • Utilizando: β= c L µ ⇒ bc = 2 2 b l 2π(c − b 2 ) = (3) 1 4 4 c 2 2 2 4 c ln b − c (c − b ) + 4 (c − b ) = µ 1 4 β4 − 1 2 2 β ln β + − β (β − 1) 2 2 2π (β − 1) 4 80nH/m 60nH/m 40nH/m Lbc l 20nH/m 0 1 1.2 1.4 1.6 β 1.8 2 • Para valores normales, β<1.2, el coeficiente de inducción interno del conductor exterior no contribuye a la inducción total de forma significativa. EyM 5d-17 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción: Método de los tubos de flujo. • En un medio isótropo el dV puede construirse dSr ar partir de un dS ortogonal a las líneas r de B y un dl paralelo a las líneas de H . – ( ( )( ) )( ) ( r r r r 0 = B × dl ⋅ H × dS = r r r r r r = B ⋅ H dS ⋅ dl − B ⋅ dS 1 424 3 dV r r r r r r B ⋅ HdV = H ⋅ dl B ⋅ dS = ( Wm = )( r dl I )( r r H ⋅ dl ) ) (Hr ⋅ dl )dΦ r B r r 1 1 r r B ⋅ HdV = ∫∫ ∫ H ⋅ dl dΦ B ∫∫∫ 2 V 2 S B C H La integral de contorno, según la ley de Ampère es la corriente encerrada por el contorno, es decir, por el tubo de flujo. Denominando a esta corriente I(CH) resulta: 1 Wm = ∫∫ I (CH )dΦ B 2 SB – Para que esta expresión se pueda aplicar, el flujo debe calcularse según una superficie normal a las líneas de campo, y que I(CH) es la corriente encerrada por la línea de campo correspondiente al dΦ . EyM 5d-18 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción 9 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Autoinducción: Método de los tubos de flujo. • Si no hay líneas de campo que corten a las corrientes es posible separar las energías de las regiones interna y externa: Wm = 1 I I (CH )dΦ B + ∫∫ dΦ B 2 ∫∫ 2 S S i e – Obsérvese que la corriente encerrada por las líneas de campo externas es constante y en muchos casos coincide con la corriente total. • En este caso los coeficientes de inducción interno y externo quedan como: 2W Li = 2m ,i = I ∫∫ I (C )dΦ H Si I 2 B 2W ;Le = 2m , e = I ∫∫ dΦ Se B = I Φ B,e I – En un conductor filiforme no existe la región interior y, por tanto, la única contribución a L es la externa. EyM 5d-19 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción Cable Coaxial – Para el cable coaxial la autoinducción externa por unidad de longitud se obtiene del flujo a través de la sección Se indicada en la figura. 1 Φ=∫ ∫ b z =0 ρ = a z=1 z=0 • Utilizando el método de los tubos de flujo: dρ Se b a Si I µI b dρ µI b µ dρdz = 2π ∫a ρ = 2π ln a 2 πρ Lext Φ ext µ b – La autoinducción por unidad de longitud correspondiente resulta: m = I = 2π ln a – De forma análoga se obtiene la autoinducción interna del conductor interior a partir del flujo a través de Si : Li = 1 I2 πρ2 I ρ µ I µ dρdz = 2 ρ = 0 πa 2 2 π a 2 π a4 1 ∫∫ I (l′)dΦ = I ∫ ∫ 1 Si J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción 2 z =0 a ∫ a 0 µ 8π EyM 5d-20 ρ3dρ = 10 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Línea Bifilar. I • Una línea bifilar está formada por dos conductores cilíndricos paralelos por los que circula la misma corriente en sentidos contrarios. a d a I 2 1 0 1 2 4 2 0 2 4 EyM 5d-21 B J.L. Fernández Jambrina Línea bifilar. (2) • Aproximaciones para d>>a: – Dentro de cada conductor el campo es el propio. – En la superficie de los conductores el campo es tangencial 2 1 0 1 2 4 2 0 2 4 B J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-22 11 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Línea Bifilar (3) • Aproximación 1: – Dentro de cada conductor el campo es el debido a su propia corriente: » La energía dentro de cada conductor será la misma que para un conductor sólo. » El coeficiente de autoinducción interno será el doble del de un conductor cilíndrico indefinido: Li = 2 µ µ = = 100nH/m 8π 4π EyM 5d-23 J.L. Fernández Jambrina Línea Bifilar. (4) Yb • Aproximación 2: – El campo es tangencial a las superficies. » Esto permite aplicar la fórmula del flujo del campo magnético utilizando cualquier superficie limitada por los conductores. Zb r r r » Como: B = Ba + Bb y utilizando la simetría. r r r r r r r r B ⋅ dS ∫∫ Ba ⋅ dS ∫∫ Bb ⋅ dS Bb ⋅ dS ∫∫ ∫∫ Se Se Se Se Le = = + =2 I I I I » Utilizando la superficie y=0. r rb r ra ϕb d x$b Xb Le 1 1 d − a µI µ d −a = 2 ∫ ∫ ϕˆ ⋅ ϕˆ dρdz = ln 0 z = ρ = a l I π a 2πρ • Resultado: J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción L µ µ d −a = + ln l 4π π a EyM 5d-24 12 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Línea Bifilar. (5) • La figura compara los valores autoinducción externa en función de la relación d/a para las expresiones exacta Le y aproximada La por unidad de longitud. 1 10 6 Le ,aprox 5 10 l 7 = µ d −a ln a π Le ,exacto l 0 2 4 6 • El error relativo cometido al usar la expresión aproximada es menor del 5% para d/a > 10. 8 10 12 = µ d ln π a 14 16 18 20 d/a 30 25 20 Error 15 10 5 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 d/a EyM 5d-25 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción de una línea biplaca. • Aproximación para el cálculo de la inductancia: – Si w>>d, se puede suponer que las líneas de campo tienen el aspecto de la figura: » No cortan a los conductores. » Así se puede aplicar fácilmente el método de los anillos de flujo, lo que equivale a calcular el flujo entre dos puntos cualquiera de los conductores: r Wm 1 1 I r µI 2 d = ∫∫ I (CH )dΦ B = ∫ I (CH )B ⋅ nˆdl = ∫ B ⋅ nˆdl = L L l 2l S 2 B 2 B 2w B » Y la inductancia: • Cálculo exacto: L 2Wm d = 2 =µ l I w – El cálculo exacto conviene hacerlo a través de: » Es engorroso. J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción r r Wm 1 = ∫ J S ⋅ Adl l 2 JS EyM 5d-26 13 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Autoinducción de una línea biplaca. (2) • Comparación entre el valor aproximado de la inductancia y el exacto: 10µH/m Exacta Aproximada 1µH/m L/l 0.1µH/m 0.01µH/m 1 – Las escalas son logarítmicas. 10 w/d 100 EyM 5d-27 J.L. Fernández Jambrina Autoinducción de un Solenoide Toroidal • Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. • El arrollamiento tiene N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios. – El campo en su exterior es nulo. r NI ϕˆ – El campo en su interior es: H = 2πρ » Verifica la ley de Ampère y las condiciones en el infinito y en la superficie del solenoide. d b NI µNId b ϕˆ ⋅ ϕˆ dρdz = ln 2π a 2πρ • El flujo en una espira: Φ ex = ∫z = 0 ∫ρ = a µ 2 • El flujo total será N veces el anterior, y L = NΦ ex = µN d ln b I J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción 2π a EyM 5d-28 14 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Inducción mutua entre dos espiras. Z • Sean las dos espiras de la figura: C2 » Filiformes » Contenidas en planos paralelos separados una distancia d. » Coaxiales de radios a y b. – Al ser filiformes se puede aplicar la fórmula de Neumann: r r µ dl1 ⋅ dl2 L12 = r r 4π ∫C1 ∫C 2 r1 − r2 r r r1 − r2 d C1 X r dl 2 b a r dl1 Y » Los diferenciales de longitud son: r dl1 = adϕ1ϕˆ 1 = a(− sen ϕ1 xˆ + cos ϕ1 yˆ ) r dl2 = bdϕ2ϕˆ 2 = b(− sen ϕ2 xˆ + cos ϕ2 yˆ ) r r dl1 ⋅ dl2 = ab(sen ϕ1 sen ϕ2 + cos ϕ1 cos ϕ2 )dϕ1dϕ2 = ab cos(ϕ2 − ϕ1 )dϕ1dϕ2 EyM 5d-29 J.L. Fernández Jambrina Inducción mutua entre dos espiras circulares. » Los vectores de posición y el módulo de su diferencia: r r1 = aρˆ 1 = a (cos ϕ1 xˆ + sen ϕ1 yˆ ) r r2 = bρˆ 2 + dzˆ = b(cos ϕ2 xˆ + sen ϕ2 yˆ ) + dzˆ r r r2 − r1 = (b cos ϕ2 − a cos ϕ1 )xˆ + (b sen ϕ2 − a sen ϕ1 ) yˆ + dzˆ r r r2 − r1 = a 2 + b 2 − 2ab cos(ϕ2 − ϕ1 ) + d 2 » Sustituyendo: µ 2π 2π ab cos(ϕ2 − ϕ1 )dϕ1dϕ2 L12 = 4π ∫ϕ1 = 0 ∫ϕ 2 = 0 a 2 + b 2 − 2ab cos(ϕ2 − ϕ1 ) + d 2 » Realizando el cambio: α = ϕ2 − ϕ1 L12 = µ 2 π 2 π + ϕ1 ab cos αdϕ1dα µ 2π ab cos αdα = 4π ∫ϕ1 = 0 ∫α = ϕ1 a 2 + b 2 − 2ab cos α + d 2 2 ∫α = 0 a 2 + b 2 − 2ab cos α + d 2 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción EyM 5d-30 15 Electricidad y Magnetismo 2010/2011 Inducción mutua entre dos espiras circulares (2) – La primitiva de esta última integral implica funciones elípticas. – La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a). » La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares. » Si las dos espiras son de radios muy parecidos la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares. 6 b/a=1.1 b/a=1.5 b/a=2 4 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 d/a J.L. Fernández Jambrina 3 EyM 5d-31 Fórmulas aproximadas de autoinducción • Autoinducción de un hilo recto corto: µ l 4l L = 0 ln 2π d L = inductancia (H) l = longitud del hilo(cm) d = diametro del hilo (cm) » RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 427 • Autoinducción de un solenoide: 2 L = n2 r 9r + 10l L = inductancia (µH) n = numero de vueltas r = radio del solenoide (in) l = longitud del solemoide (in) » RF Systems, components and Circuits Handbook. Ferril Losse, Artech House. ISBN:0-89006-933-6. pág 428 EyM 5d-32 J.L. Fernández Jambrina Magnetostática d: Energía y coeficientes de inducción 16