Teorema de valor medio para derivadas y Regla de L`Hôpital

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Matemática I. Curso 2011
Práctico 7: Teorema de valor medio para
derivadas y Regla de L’Hôpital
Teorema de valor medio para derivadas
1. Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones:
2
a) x2 − 1
b) xex
d) log(x2 + 1)
e) (x − 1)(x + 1)
g)
x3
−x
x≤1
−x2 + 2x x > 1
c) x2 ex
f) (sen x)2

x ≤ −π
 x+π
sen x x ∈ (−π, π)
h)

x−π
x≥π
2. Sea f una función derivable en R. Si f no es una función inyectiva
demostrar que en algún punto x ∈ R se tiene f 0 (x) = 0.
3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Probar que se cumple f (1) = f (−1) = 0, pero
que f 0 (x) nunca es cero en el intervalo [−1, 1]. Explicar por qué este
resultado contradice aparentemente el teorema de Rolle.
4. ¿Es aplicable el teorema de valor medio a la función f (x) = x3 en
[−1, 2]? En caso afirmativo, determinar los valores medios dados por
el teorema.
3−x2
x≤1
2
.
5. Consideremos la función f dada por f (x) =
1
x>1
x
a) Graficar la función f (x) en el intervalo [0, 2].
b) Probar que f satisface las condiciones del teorema del valor medio
en el intervalo [0, 2] y determinar todos los valores medios dados
por el teorema.
Regla de L’Hôpital
1. Calcular los siguientes lı́mites usando la regla de L’Hôpital:
ex − 1
x→0
x
x→0
1 − cos x
;
lı́m
x→0
x2
x − ln(1 + x)
lı́m
;
x→0
x2
lı́m
lı́m
ln(1 + x)
;
x
lı́m
x→0
sen x
;
x
√
ex − cos(x) + 2 x
lı́m
.
x→0
x
2. Calcular los lı́mites
x2 − 1
x→1 x2 − 3x + 2
lı́m
sen(ax)
x→0 sen(bx)
lı́m
b 6= 0
x3 − a3
x→a x − a
lı́m
1 − cos(x − 1)
.
x→1
(log x)2
lı́m