Curso 08/09 (Convocatoria Junio)

Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Junio- 1er Parcial)
1.
Se tiene que diseñar un eje de acero de 4 m de longitud con un material de módulo de Young
E=210 GPa y diámetro D, con ambos extremos está
apoyado con un rodamiento de bolas. Tiene acoplado
un rotor de masa m igual a 100 kg en la mitad del
eje. La máquina funciona en el rango de 0 a 3000
rpm. Determinar el diámetro D del eje para que
trabaje sin problemas de resonancia (4 ptos).
Ecuación de la elástica: y ( x ) =
Momento de inercia: I =
F
6 EI
3⎤
⎡ xb 2
2
2
⎢⎣ l ( l − x − b ) + x − a ⎥⎦ (Nota: término x − a para x≥a)
πd4
64
2.
Se tiene un sistema mecánico equivalente de masa m=10 kg, rigidez k=1000N/m y
amortiguación c=10 Ns/m. Al sistema se le somete a excitaciones por movimiento de la
base y(t)=Y0senωt con Y=10 mm (figura a) y fuerzas de excitación periódicas F(t)=F0senωt
con F0=10 N (figura b), en ambos casos con una frecuencia de excitación ω=10 rad/s.
Determínese en cuál de los casos la fuerza trasmitida al suelo en régimen permanente es
mayor. (4 ptos)
(a)
(b)
3.
Se tiene un vehículo de masa M=100 kg que se desplaza en un plano horizontal
con la ecuación y(t) que se muestra en la figura. Sobre el carro está montada un sistema
mecánico compuesto por una masa m=10 kg acoplada al vehículo con dos resortes de
rigidez k=1000 N /m y amortiguadores viscosos de coeficiente de amortiguamiento c=10
Ns/m desplazándose en un plano paralelo al suelo del vehículo. Determínese el
desplazamiento x(t) de la masa m.
Datos: El desarrollo en serie de Fourier de la entrada con ω la frecuencia fundamental es
la siguiente:
Y
2Y0
cos nωt
y (t ) = 0 + ∑
2 n =1,3,5,7,... nπ
4.
Se tiene una varilla rígida esbelta de longitud L=1 m y masa M=10 kg, articulada en
el extremo inferior. En el extremo superior está acoplado al pared con un resorte de
rigidez k y un amortiguador viscoso de coeficiente de
amortiguamiento c. En el lado izquierdo tiene un resorte
de rigidez k acoplado en el centro de masas. Determinar
(8 ptos):
(a) Determinar los parámetros del sistema equivalente
del sistema para el estudio de las vibraciones de giro de
la varilla (Ie, Ke, y Ce).
(b) Ecuación diferencial del sistema mecánico.
(c) En el instante inicial con la varilla en resposo se
aplica la fuerza F(t)=F0senωt con F0=2000 N, obténgase
la respuesta (permanente y transitoria).
(d) Frecuencia de excitación donde el desplazamiento
angular es máximo y distancia D que debe existir entre
la varilla en posición vertical y la pared de la izquierda
para que la varilla no impacte con ella.
Datos: k=100 N/mm, c=100 Ns/m
Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Junio- 2o Parcial)
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 1 (3 puntos)
Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los
extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y
2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador
viscoso de constante de amortiguamiento c. En el extremo izquierdo se aplica una fuerza
F(t) vertical. Determínese el sistema equivalente para el estudio de las vibraciones de la
varilla (giro y desplazamiento) por el método de Lagrange si está en una posición de
equilibro estático.
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 2 (2 puntos)
Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los
extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y
2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador
viscoso de constante de amortiguamiento c. En el extremo izquierdo se aplica una fuerza
F(t)=F0e-t vertical. Descríbase todos los pasos enunciando las ecuaciones para obtener la
respuesta del sistema si inicialmente está en reposo en posición horizontal y el centro de
masas desplazado un distancia x0.
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 3 (3 puntos)
Se quiere registrar una señal con un fenómeno de batimiento o pulsación con contenidos
frecuenciales entre 10000 Hz y 15000 Hz. Razonar la frecuencia de muestreo y número
de líneas que se deben escoger en el analizador para poder estudiar con una resolución
en frecuencias suficiente para estudiar este fenómeno.
Posibles
frecuencias
muestreo
(Hz)
Numero
de
líneas
16
1
2.5
5
10
25
50
100
250
500
1000
2500
5000
10000
25000
50000
100000
250000
500000
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
PROBLEMA nº1 (8 Puntos)
Se tiene un sistema mecánico compuesto dos varillas de longitud L, la de la izquierda
tiene una masa m y la de la derecha una masa 2m. Están acoplados con resortes de
rigidez k según se muestra en la figura. La varilla de la derecha está acoplado por medio
de un resorte de rigidez k con un actuador
que puede se desplaza de una forma
conocida en función del tiempo y(t).
Determínese:
(a) Ecuaciones dinámicas del sistema para el
estudio de las vibraciones libres.
(b) Frecuencias naturales del sistema.
(c) Modos de vibración del sistema.
(d) Si el sistema está en reposo y el actuador
aplica un desplazamiento y(t)=0.15sen(10t)
(m), obtener empliando el método de Cramer
respuesta del sistema.
Datos: m=100 kg, L=10 m y k=10000N/m.
PROBLEMA 2 (4 Puntos)
En un barco se observa un nivel alto de vibraciones con una pérdida de rendimiento. La
máquina está compuesta por un volante de inercia, un motor, una caja de engranajes, un
eje y por último la hélice de propulsión del barco. Para detectar la causa del problema se
efectúa un análisis en frecuencia midiendo la vibración sobre el reductor en dirección
vertical. En función de los datos constructivos, razonar justificadamente cuáles son los
defectos que sufre la máquina.
Características técnicas
Datos del reductor:
Datos del motor:
Velocidad de giro del motor: entre 400 y 900 rpm
Velocidad del motor durante la medida=900 rpm
Número de palas de la hélice=3
Diámetro de los ejes=70 mm
Volante de
Inercia
Engranajes
Eje 1
Medida
Helice
Motor
Eje 2
Eje de entrada (motor) con rueda 26 dientes
Eje de salida (hélice) con rueda 15 dientes
Rodamientos de la máquina (Tipo 1):
Diámetro de bolas: 22.5 mm
Número de bolas: 13
Diámetro pista interior: 80 mm
Diámetro pista exterior: 110 mm
Angulo de contacto: 0º
1.2
Amplitud (mm/s)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Frecuencia (Hz)
Formulas de frecuencias de fallo de rodamientos:
D
Do
Di
f bola = i
ω
f bext =
N bω
Db Do + Di
Do + Di
f bint =
Do
N bω
Do + Di
f jaula =
Di
ω
Do + Di