Curso 08/09 (Convocatoria Julio)

Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Julio- 1er Parcial)
1.
Se tiene una viga de sección circular de 10cm y 4 m de longitud con un material de módulo
de Young E=210 GPa y densidad ρ=7800 kg/m3, apoyado en ambos extremos. En el centro se
coloca acopla una masa m igual a 100 kg, y sobre ella se aplica una fuerza armónica de de amplitud
100N y frecuencia entre 0.1 y 1000Hz. La masa equivalente de la viga es 1/3 de la masa total.
Determinar la amplitud máxima de desplazamiento de la masa central en régimen permanente (4
ptos).
Ecuación de la elástica para fuerza F en la mitad de la
xF ⎡ 2
l2 ⎤
2
viga: y ( x ) =
l
x
−
−
⎢
⎥ esta ecuación solo es
12 EI ⎣
4⎦
válida para la primera mitad de la viga
πd4
Momento de inercia: I =
64
2.
Se tiene un sistema mecánico equivalente de masa m=10 kg, rigidez k=1000N/m y
amortiguación c=10 Ns/m. Al sistema se le somete a excitaciones por movimiento de la
base y(t)=Y0senωt con Y=10 mm (figura a) y fuerzas de excitación periódicas F(t)=F0senωt
con F0=10 N (figura b), en ambos casos con una frecuencia de excitación ω=10 rad/s.
Determínese en cuál de los casos la elongación del resorte es mayor permanente. (4
ptos)
(a)
3.
(b)
En un plano inclinado se tiene un disco de masa M, radio R y de momento de
1
inercia I = MR 2 que rueda sin deslizar en el plano
2
inclinado que lo contiene. Se acoplan dos muelles uno
unido a su centro y otro unido en un punto de la periferia
que en la posición de equilibrio estático está ubicado en
la perpendicular al suelo que pasa por el centro del
disco según se muestra en la figura. Determínese por
medio de las ecuaciones de Lagrange la ecuación
dinámica del sistema para el estudio del desplazamiento
x(t) del disco en el plano. (4 ptos)
4.
Se tiene una varilla rígida esbelta de longitud L=1 m y masa M=10 kg, articulada en
el extremo inferior. En el extremo superior está acoplado al pared con un resorte de
rigidez k y un amortiguador viscoso de coeficiente de
amortiguamiento c. En el lado izquierdo tiene un resorte
de rigidez k acoplado en el centro de masas. Determinar
(8 ptos):
(a) Determinar los parámetros del sistema equivalente
del sistema para el estudio de las vibraciones de giro de
la varilla (Ie, Ke, y Ce).
(b) Ecuación diferencial del sistema mecánico.
(c) En el instante inicial con la varilla en resposo se
aplica la fuerza F(t)=F0senωt con F0=2000 N, obténgase
la respuesta (permanente y transitoria).
(d) Frecuencia de excitación donde el desplazamiento
angular es máximo y distancia D que debe existir entre
la varilla en posición vertical y la pared de la izquierda
para que la varilla no impacte con ella.
Datos: k=100 N/m, c=100 Ns/m
Asignatura: Vibraciones Mecánicas. Curso 2008/09 (Final Junio- 2o Parcial)
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 1 (3 puntos)
Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los
extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y
2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador
viscoso de constante de amortiguamiento c. En el extremo izquierdo se aplica una fuerza
F(t) vertical. Determínese el sistema equivalente para el estudio de las vibraciones de la
varilla (giro y desplazamiento) por el método de Lagrange si está en una posición de
equilibro estático.
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 2 (2 puntos)
Se tiene una varilla de longitud L y masa m según se muestra en la figura. En los
extremos de la misma tiene acoplados unos resortes de rigidez 3K el del lado derecho y
2K el del lado izquierdo. A una distancia L/4 del lado derecho se monta un amortiguador
viscoso de constante de amortiguamiento c. El sistema está inicialmente en reposo en
posición horizontal y el centro de masas desplazado un distancia x0. En el extremo
izquierdo se aplica una fuerza F(t)=F0e-t vertical. Descríbase todos los pasos para
obtener la respuesta del sistema. Nota es necesario escribir las ecuaciones pero no
resolverlas.
TEÓRICO-PRÁCTICAS nº 3 (3 puntos)
Se sospecha que en la máquina del problema 2 tiene un problema en los engranajes.
Razonar la frecuencia de muestreo y número de líneas que se deben escoger en el
analizador para poder estudiar con una resolución en frecuencias suficiente para estudiar
este fenómeno.
Posibles
frecuencias
muestreo
(Hz)
Numero
de
líneas
16
1
2.5
5
10
25
50
100
250
500
1000
2500
5000
10000
25000
50000
100000
250000
500000
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
PROBLEMA nº1 (8 Puntos)
Se tiene un sistema mecánico compuesto por un ascensor que se desplaza verticalmente
y una varilla de longitud L, ambos tienen una masa m y
están acoplados con resortes de rigidez k según se
k
muestra en la figura. El suelo del ascensor está acoplado
G
O
por medio de un resorte de rigidez k con un actuador que
k
puede se desplaza de una forma conocida en función del
θ(t)
tiempo y(t). Determínese:
(a) Ecuaciones dinámicas del sistema para el estudio de
las vibraciones libres.
m
x(t) (b) Frecuencias naturales del sistema.
(c) Modos de vibración del sistema.
(d) Si el sistema está en reposo y el actuador aplica un
k
desplazamiento y(t)=0.15sen(10t) (m), obtener empleando
el método de Cramer respuesta del sistema.
y(t)
Datos: m=100 kg, L=10 m y k=100000N/m.
PROBLEMA 2 (4 Puntos)
En un barco se observa un nivel alto de vibraciones con una pérdida de rendimiento. La
máquina está compuesta por un volante de inercia, un motor, una caja de engranajes, un
eje y por último la hélice de propulsión del barco. Para detectar la causa del problema se
efectúa un análisis en frecuencia midiendo la vibración sobre el reductor en dirección
vertical. En función de los datos constructivos, razonar justificadamente cuáles son los
defectos que sufre la máquina.
Características técnicas
Datos del reductor:
Datos del motor:
Velocidad de giro del motor: entre 400 y 900 rpm
Velocidad del motor durante la medida=900 rpm
Número de palas de la hélice=3
Diámetro de los ejes=70 mm
Volante de
Inercia
Engranajes
Eje 1
Medida
Helice
Motor
Eje 2
Eje de entrada (motor) con rueda 26 dientes
Eje de salida (hélice) con rueda 15 dientes
Rodamientos de la máquina (Tipo 1):
Diámetro de bolas: 22.5 mm
Número de bolas: 13
Diámetro pista interior: 80 mm
Diámetro pista exterior: 110 mm
Angulo de contacto: 0º
1.2
Amplitud (mm/s)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Frecuencia (Hz)
Formulas de frecuencias de fallo de rodamientos:
D
Do
Di
f bola = i
ω
f bext =
N bω
Db Do + Di
Do + Di
f bint =
Do
N bω
Do + Di
f jaula =
Di
ω
Do + Di