DISEÑO DE LAS PALAS

DISEÑO DE LAS PALAS
LARGO Y ALABEO
Dado que la velocidad tangencial de las palas es proporcional al radio, desde el centro en
el cual es cero, hasta el extremo máximo de la pala, de acuerdo a la siguiente formula:
V=  . r = 2  . n/60. r
siendo  la velocidad angular en radianes y n el número de
revoluciones por minuto de la hélice, resulta entonces que
para mantener constante el ángulo de ataque a lo largo de toda
la pala, es necesario dotarla de un alabeo a medida que nos
acercamos desde el extremo al centro de la misma si queremos
optimizar el rendimiento. Dicho alabeo como veremos no es
importante para la primera mitad de la pala pero a medida que
nos acercamos al centro asume una importancia fundamental.
Sin embargo también es cierto, y lo demostraremos
posteriormente, la contribución a la potencia total que tiene la
parte central es despreciable por lo que el razonamiento se
limitará solamente a la mitad o a lo sumo a las tres cuartas
partes de la longitud de la pala.
Tomemos como base la velocidad del viento promedio de la zona
donde se presume vamos a instalar la unidad, por ejemplo 7
metros por segundo y al mismo tiempo una velocidad de régimen
(característica del extremo de la pala, lo cual posteriormente se
analizará para definir sin empirismos, o por lo menos tratar de
reducirlos al mínimo), digamos 50 metros por segundo.
Estos dos datos definen para el extremo de la pala el ángulo de
ataque de acuerdo a lo siguiente:
tg 1 = u/ . Rmax = 7/50= .14
1 = arc.tg .14= 7,96 grados
Ahora bien, si queremos conservar el ángulo de ataque en la mitad del Rmax, deberá
cumplirse que
2 = arc.tg .28= 15.64 grados
y el alabeo deberá ser entonces la diferencia de los ángulos, o sea
 = 15,64 - 7.96 = 7.68 grados
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si bien el gradiente del alabeo es hiperbólico ya que tg  = k/r y esto es la ecuación de
una hipérbola, en la primera parte de la misma es despreciable el error que se comete al
considerarla como una recta. Recién cuando se acerca al centro la variación es
importante pero ya dijimos que demostraríamos que la contribución a la potencia total es
insignificante y por lo tanto despreciaremos no solo el análisis del centro de la hélice sino
también la hélice misma. Como esto ya parece una promesa incumplida, seguidamente
y aunque se pierda un poco el orden, trataremos de demostrar este concepto.
Previamente una pequeña introducción con respecto al análisis diferencial e integral,
extraordinaria herramienta básica de la ingeniería sin la cual el progreso del mundo
hubiese sido imposible, pero que en la actualidad, y con la presencia y los avances
espectaculares de la computación, creo que sería perfectamente factible reemplazarlo.
Pretenden ser estos comentarios una disculpa para aquellos que no tuvieron la suerte de
recibir capacitación sobre está doctrina matemática y de paso, justificación para aquellos
que la tuvieron y no supieron captar la importancia que tiene.
Explicar sin el auxilio del calculo integral los conceptos que
siguen no es fácil como también es imposible en el tiempo que
disponemos, y tampoco es el objetivo de este curso, trasmitir el
conocimiento básico necesario. Sin embargo creo que vale la pena
y aunque sea muy elementalmente tratar de despertar la inquietud
de los lectores a través de un método que puede ser la base del
calculo integral y que, a mi modo de ver, en combinación con la
computadora podría ser una alternativa de reemplazo conceptual.
En efecto, se trata de un sistema conocido como "diferencias
finitas", cuya aplicación surgirá como auxilio en cada caso que
necesitemos.
Tomemos en consideración un trozo de alabe de ancho b (Ver fig.
) y longitud r (diferencial r) lo suficientemente pequeño como para
que, por
ejemplo, no cometamos
errores muy groseros
recordando que cada vez que cambiamos nuestro lugar de
observación, acercándonos o alejándonos del centro de giro, las condiciones cambian.
(Par, empuje, velocidad tangencial, etc.)
Lo único que no cambia sería el número de revoluciones de la pala
el cual es constante para todos los trozos de la misma. En una
palabra el método de análisis sería tal que, por ejemplo a
sabiendas de que no es exacto el cálculo, dividiéramos la pala en,
digamos, 10 partes iguales y a cada trozo lo analizáramos en
forma individual para posteriormente sumar los resultados.
Es fácil adivinar que si la división, en lugar de hacerla en 10
tramos la efectuamos en 100, utilizando el mismo principio, la
precisión sería muchísimo mayor y hasta me atrevería a decir que
el cálculo sería tan, pero tan, aceptable que con respecto al
tradicional cálculo integral no habría objeciones de ningún tipo. Es
mas, teniendo en cuenta que un buen programa de cálculo
sistematizado lo podría llegar a hacer sin dificultades, nos estamos
encontrando en el punto al cual quería llegar. Con diferencias
finitas, pero siendo lo suficientemente pequeñas, terminamos
encontrándonos con los resultados del cálculo integral pero sin tener los conocimientos
necesarios como para salir del paso. El cálculo diferencial, es precisamente eso: hacer
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infinitamente pequeños esos valores y determinar el resultado final computando la suma
de
los efectos de cada una de esas infinitamente pequeñas partes del todo.
Después de este paréntesis, tomemos nuevamente el trozo de alabe de longitud
infinitamente pequeña r (o de 1/10 si queremos usar diferencias finitas y dividimos
arbitrariamente por diez) ubicado a una distancia r desde el centro de giro de la pala.
Según conceptos clásicos de Ingeniería Aeronáutica la fuerza de sustentación diferencial,
que usaremos reiteradamente es, para ese segmento diferencial de alabe
F= cs . v2 . b . r. 
2
(Cs coeficiente de sustentación, y  densidad del aire)
y el momento que es capaz de producir,
M= F . r = cs . .v2 . b . r . r
2
pero v es la velocidad relativa compuesta por la velocidad del viento, constante para
todas las partes de la pala, y la velocidad tangencial de la misma, que como hemos visto
es variable desde Vmax = Rmax .  hasta cero en el centro mismo de giro.
Reemplazando queda
M = cs . . 2 . r2 . r . b . r
2
M = cs .  . 2 . b . r3 . r
(1)
2
para una velocidad de giro dada, un ancho b y cs, todos constantes
M = K . r3 . r
donde
k = . cs . b . 2
2
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y de acuerdo con los conocimientos básicos del cálculo integral, para obtener
sumatoria de todos los dM, deberá hacerse la integral de dM
la
M =  M =  K . r3 . r
y aquí llega la necesidad de saber que la integral de r3 es r4/4
M = K . r4/4
entre los limites de integración que nos interesen, lo cual significa que si intento saber,
por ejemplo la contribución que tiene, digamos la mitad exterior de la pala, basta con
reemplazar, los límites Rmax y Rmax/2
M = K/4 [Rmax4 – (0,5 . Rmax)4]
M = K/4 . Rmax4 ( 1 - 0, 0625)= .9375 . Mmax
o sea que despreciando la mitad del centro de la superficie barrida por la hélice solo se
pierde el 6,25% del par y por lo tanto de la
potencia total. Por supuesto que este
enfoque da como para poder continuar con
un análisis mucho mas
profundo y
efectuando, criterio de por medio, todas las
simulaciones posibles. Por ejemplo, que
pasaría si en lugar de mantener el ancho
de la pala constante la "afináramos” hacia
el extremo, como realmente ocurre en casi
todas las palas de los aerogeneradores de
gran potencia modernos (el Grandpa,
1939, tenía una pala doble de ancho
constante)
Veamos una versión en que el ancho
hipotético fuera b en el centro del eje pero que se fuera afinando un determinado
porcentaje a medida que nos acercáramos al extremo; llamemos t entonces a este ancho
variable cuya función sería:
t = b - kb . r
siendo kb por ejemplo un 2 %
t = b - 0,02 . r
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Ejemplo: una pala que tuviese 250 mm. de ancho en la raíz tendría en un largo de 2500
mm. 50mm. menos que en la raíz, o sea terminaría con un ancho de 200 y tendría en la
mitad 225mm.
en ese caso, volviendo a la formula (1)
M = cs . . 2 . r3 . (b- kb . r) . r
2
M = cs .  . 2 [r3 . b – kb . r4] . r
2
entonces
M=  M = cs . . 2 [r3 . b – kb . r4]. r
2
M = cs . . 2 [b . r4/4 – kb . r5/5]
2
entre los limites de integración que nos interese.
Es también necesario agregar, que el alma, eje o
tronco que une la pala a la maza producirá un
rozamiento de frenado lo cual obliga también a pensar
en el mismo de tal forma que, aún a sabiendas que no
contribuye casi en nada a la potencia total, tampoco
despreciarlo de tal forma que por otro lado contrarreste
todos los avances que hemos hecho con estas
consideraciones.
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