Departamento de Matemáticas, UTFSM Apunte para MAT-023 Variación de parámetros Pawel Kröger Suponga que g(t) y r(t) son funciones continuas en un intervalo I. Suponga que el punto inicial t = 0 pertenence a I. (No importa que consideramos solamente el punto inicial 0.) La meta del método de ”variación de parámetros” es resolver la ecuación lineal no homogénea dy = g(t)y(t) + r(t). (1) dt La ecuación lineal homogénea asociada es dy (2) = g(t)y(t). dt El problema de valor inicial para la ecuación lineal homogénea asociada dy = g(t)y(t), y(0) = 1 dt tiene una solución única en el intervalo I. Sea yh (t) esta solución. Por el teorema de unicidad, yh (t) 6= 0 para todo t en el intervaloRI. (Podemos deducir eso también de la fórmula yh (t) = t exp 0 g(s) ds.) El principio de linealidad (Blanchard, p. 221) dice que la solución general de la ecuación lineal homogénea asociada (2) es y(t) = kyh (t) para una constante arbitraria k. El método de ”variación de parámetros” busca una solución particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea (1) en la forma (3) yp (t) = k(t)yh (t). para una función k(t) que vamos a determinar. (Un nombre más preciso para este método serı́a ”método de reemplazo de la constante por una función desconocida”.) Según la regla para la diferenciación del producto, dk dyh dyp = yh (t) + k(t) . dt dt dt Entonces, yp (t) cumple la ecuación diferencial no homogénea (1) si y solamente si dk dyh yh (t) + k(t) = g(t)k(t)yh (t) + r(t). dt dt 1 2 Dado que yh (t) es solución de la ecuación diferencial homogénea asociada (2), tenemos que dyh = g(t)yh (t). dt Queda dk yh (t) = r(t). dt Entonces, dk = r(t)/yh (t) dt (recuérdese que yh (t) 6= 0). Sea k(t) cualquier antiderivada de r(t)/yh (t). La fórmula (3) nos proporciona una solución particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea. No tenemos que preocuparnos de la constante de integración porque el principio de linealidad ampliado dice que la solución general de la ecuación lineal no homogénea (1) es yp (t) + kyh (t) para una constante arbitraria k (compare Blanchard p. 350). Ejemplo: Resolver la ecuación lineal no homogénea dy = −4y − exp(−4t)/t2 . dt Solución: La ecuación lineal homogénea asociada es dy dt = −4y. La solución de la ecuación lineal homogénea asociada con la condición inicial y(0) = 1 es yh (t) = exp(−4t). La solución general de la ecuación lineal homogénea asociada es y(t) = k exp(−4t) para una constante arbitraria k. Buscamos una solución particular yp (t) de la ecuación lineal no homogénea en la forma yp (t) = k(t) exp(−4t) para una función desconocida k(t). Según la regla para la diferenciación del producto, dyp dk = exp(−4t) − 4k(t) exp(−4t). dt dt Entonces, yp (t) = k(t) exp(−4t) cumple la ecuación diferencial no homogénea si y solamente si dk exp(−4t)−4k(t) exp(−4t) = −4k(t) exp(−4t)−exp(−4t)/t2 . dt 3 Queda dk = −1/t2 . dt Por integración, k(t) = 1/t sirve. Una solución particular de la ecuación lineal no homogénea es yp (t) = exp(−4t)/t. La solución general y(t) de la ecuación lineal no homogénea es y(t) = exp(−4t)/t + k exp(−4t) para una constante arbitraria k. El método de variación de parámetros para sistemas de ecuaciones de primer orden Sea A la matriz ac db . Sea R(t) una función vectorial continua con valores en R2 para todo t en el intervalo I. La meta del método de ”variación de parámetros” para sistemas es resolver el sistema lineal no homogéneo dY (4) = AY (t) + R(t). dt Suponga que el sistema lineal homogéneo asociado dY (5) = AY (t) dt (t) (t) tiene las soluciones Y1 (t) = xy11(t) y Y2 (t) = xy22(t) . Suponga que Y1 (0) y Y2 (0) son linealmente independientes. x1 (t) x2 (t) El Wronskiano W (t) = det(Y1 (t), Y2 (t)) (o W (t) = y1 (t) y2 (t) ) satisface la ecuación lineal homogénea dW dt = (a + d)W (t) (véase Blanchard, p.235). Entonces, W (t) 6= 0 para todo t en el intervalo I. El principio de linealidad (Blanchard, p. 221) dice que la solución general del sistema lineal homogéneo asociado (5) es Y (t) = (t) + k1 Y1 (t)+k2 Y2 (t). Podemos escribir k1 Y1 (t)+k2 Y2 (t) = k1 xy11(t) (t) (t) x2 (t) k2 xy22(t) como producto de la matriz xy11(t) por el vecy2 (t) tor kk12 . El método de ”variación de parámetros” busca una solución particular Yp (t) del sistema lineal no homogéneo (4) en la forma (t) x2 (t) k1 (t) (6) Yp (t) = xy11(t) y2 (t) k2 (t) para una función vectorial kk12 (t) (t) que vamos a determinar. Según la regla para la diferenciación del producto, dx1 dx2 dk d x1 (t) x2 (t) k1 (t) k1 (t) x1 (t) x2 (t) dt1 dt dt = + . dy1 dy2 dk2 k2 (t) y1 (t) y2 (t) dt y1 (t) y2 (t) k2 (t) dt dt dt 4 Entonces, Yp (t) cumple el sistema lineal no homogéneo si y solamente si dx1 dx2 dk k1 (t) x1 (t) x2 (t) dt1 x1 (t) x2 (t) k1 (t) dt dt + = A dy1 dy2 dk2 k2 (t) y1 (t) y2 (t) y1 (t) y2 (t) k2 (t) +R(t). dt dt dt x1 (t) x2 (t) Dado que y1 (t) y y2 (t) son soluciones del sistema lineal homogéneo tenemos que dx1 dx2 (t) x2 (t) dt dt = A xy11(t) dy1 dy2 y2 (t) . dt dt Queda x1 (t) x2 (t) y1 (t) y2 (t) dk1 dt dk2 dt = R(t). Entonces, dk1 dt dk2 dt = x1 (t) x2 (t) −1 R(t). y1 (t) y2 (t) (Recuérdese que el Wronskiano W (t) es distinto de 0 para todo t.) Sea kk12 (t) cualquier antiderivada del lado derercho de la (t) última ecuación. La fórmula (6) nos proporciona una solución particular Yp (t) de la ecuación lineal no homogénea. No tenemos que preocuparnos de las constantes de integración porque el principio de linealidad ampliado dice que la solución general del sistema lineal no homogéneo (4) es Yp (t) + k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t) para constantes arbitrarias k1 y k2 (compare Blanchard p. 350). Ejemplo: Resolver el sistema lineal no homogéneo dY e−4t /t2 3 Y (t) + = 20 −4 . −2e−4t /t2 dt Solución: El sistema lineal homogéneo asociado es dY 3 Y (t). = 20 −4 dt Este ejemplo está resuelto en Blanchard, secciones 2.3 y 3.1. −4t 2t Soluciones de este sistema son Y1 (t) = e0 y Y2 (t) = −e . 2e−4t Estas soluciones son linealmente independientes. La solución general es 2t −4t 2e Y (t) = k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t) = k1 e2k−k . −4t 2e 5 Podemos escribir la solucióngeneral k1 Y1 (t)+k2Y2 (t) como pro2t −4t ducto de la matriz e0 −e por el vector kk12 . El método de −4t 2e ”variación de parámetros” busca una solución particular Yp (t) del sistema lineal no homogéneo en la forma 2t −4t k1 (t) Yp (t) = e0 −e k2 (t) 2e−4t para una función vectorial kk12 (t) (t) que vamos a determinar. Según la regla para la diferenciación del producto, k1 (t) dkdt1 d e2t −e−4t k1 (t) 2e2t 4e−4t e2t −e−4t = + . dk2 k2 (t) k2 (t) 0 −8e−4t 0 2e−4t 0 2e−4t dt dt Entonces, Yp (t) cumple el sistema lineal no homogéneo si y solamente si k1 (t) dkdt1 2e2t 4e−4t e2t −e−4t + −4t dk2 k2 (t) 0 −8e 0 2e−4t dt −4t 2 2t −4t k1 (t) e /t 3 e −e = 20 −4 k2 (t) + −2e−4t /t2 . 0 2e−4t Tenemos que 2e2t 4e−4t 0 −8e−4t = 2 3 0 −4 e2t −e−4t 0 2e−4t . −e−4t 2t (Razón: Y1 (t) = e0 y Y2 (t) = 2e−4t son soluciones del sistema lineal homogéneo asociado.) Queda dkdt1 e−4t /t2 e2t −e−4t = . dk2 −4t −2e−4t /t2 0 2e dt Al resolver este sistema lineal obtenemos dk1 dk2 =0 y = −1/t2 . dt dt Entonces, k1 (t) = 0 y k2 (t) = 1/t sirven. Una solución particular Yp (t) del sistema lineal no homogéneo es −4t /t Yp (t) = k1 (t)Y1 (t) + k2 (t)Y2 (t) = −e . −4t 2e /t La solución general Y (t) del sistema lineal no homogéneo es −4t /t+k1 e2t −k2 e−4t Y (t) = Yp (t) + k1 Y1 (t) + k2 Y2 (t) = −e 2e−4t . /t+2k2 e−4t