LA MAGNETIZACIÓN Prof. Omar Contreras MAGNETISMO EN LA MATERIA. El Momento Dipolar Magnético m producido por una pequeña espira de corriente I se define como la corriente por el vector Área de la espira: m = I A, donde la dirección del vector Área y la dirección de la corriente están relacionadas por la regla de la mano derecha, como se observa en la Figura 1: m I Figura 1. La dirección del Momento Dipolar Magnético es la misma del vector Área. Dentro de los átomos de un material magnético se producen Momentos Dipolares Magnéticos al girar los electrones en sus órbitas. Adicionalmente los electrones, aún cuando no estén orbitando, tienen un Momento Dipolar Intrínseco llamado spin. El spin es un efecto cuántico-relativista que no tiene análogo en la Física clásica; inicialmente se pensó que el electrón era una esfera cargada que estaba siempre girando y por eso se le llamó spin que en inglés significa giro; pero este modelo clásico no se adapta a los hechos experimentales, ya que actualmente se reconoce al electrón como una de las partículas elementales del universo y no hay evidencias de que los electrones tengan alguna estructura interna ni tamaño. Además no explica los valores discretos ( cuánticos ) de su Momento Magnético. El número que identifica el estado de spin del electrón solo puede tener dos valores: +½ ó -½. Clásicamente podemos modelar todos los Momentos Dipolares Magnéticos, orbitales y/o de spin, como si fueran producidos siempre por corrientes, es decir, podemos simular el efecto magnético de cada átomo como un pequeño Momento Dipolar Magnético m. Llamaremos al vector Magnetización M de un material como el Momento Dipolar Magnético por unidad de volumen. Si n es el número de átomos por unidad de volumen y cada átomo tiene un Momento Dipolar Magnético m, tenemos: M = n m. Debido a la composición química y a la agitación térmica, cada átomo tiene diferente momento magnético y en direcciones aleatorias, en ese caso m representa el promedio macroscópico de todos los átomos. 1 DENSIDAD DE CORRIENTE SUPERFICIAL ACOTADA. Para estudiar un material magnetizado consideraremos separadamente las componentes de su Magnetización a lo largo de los tres ejes. Para su componente Z imaginemos una rebanada delgada del material en el plano X Y, como se indica en la Figura 2: Z Y Mz z X z IS Figura 2. Rebanada de material magnético, de espesor monoatómico z, paralela al plano X Y, de área A y que tiene una componente Z de magnetización Mz. La magnetización Mz es simulada por una corriente superficial IS, o equivalentemente por una densidad de corriente superficial JS determinada por: I JS S . z Para encontrar la relación entre la magnetización y dicha densidad de corriente imaginemos que la rebanada consta de N lazos elementales de corriente (átomos), de área Ai y momento dipolar promedio mz, cada uno de ellos llevando una corriente I, siendo el área total A = N Ai, como se representa en una vista de planta en la figura 3: 2 Y n̂ X n̂ I n̂ n̂ Figura 3. Proyección X Y de la rebanada de material magnético. Los vectores unitarios n̂ son perpendiculares a la superficie Dentro del material las corrientes se cancelan unas con sus vecinas, pero en la periferia no. De esta manera se forma la corriente superficial IS, y es igual a la contribución de la corriente I del correspondiente lazo que toca la superficie. Como el volumen de la rebanada es V = A z, podemos escribir: I S I mz M V Mz V Mz z Mz z , Ai n Ai N Ai A es decir: I S Mz . z Aplicando estos mismos conceptos a rebanadas a lo largo de los ejes X y Y, obtenemos una ecuación similar para cada caso, mutatis mutandis (*). Vectorialmente podemos definir la densidad de corriente en cada punto de la superficie del material magnetizado, utilizando el vector unitario normal: JS = M x n̂ . JS DENSIDAD DE CORRIENTE VOLUMÉTRICA ACOTADA. Adicionalmente a la densidad superficial de corriente, cuando la magnetización no es uniforme, aparecerá en general una densidad de corriente volumétrica. Para cuantificarla supongamos que el material magnetizado está dividido en pequeños cubos de aristas x, y y z. Nuevamente trabajaremos a lo largo de un solo eje, en este caso el eje X, y extenderemos el resultado a los otros dos. De la siguiente figura 4 deducimos que solo las componentes Y y Z de la magnetización incluyen corrientes a lo largo del eje X: 3 Mz Mx La Magnetización a lo largo del eje X involucra corrientes en los ejes Y y Z. La Magnetización a lo largo del eje Z involucra corrientes en los ejes X y Y. My Figura 4 La Magnetización a lo largo del eje Y involucra corrientes en los ejes X y Z. Consideremos primero el efecto de Mz sobre la corriente en el eje X. Para ello notemos a partir de la siguiente Figura 5, que por cada área de tamaño y z pasan dos corrientes de cubos adyacentes: 4 Mz Mz y Mz y I1 y z I2 I1 I2 Figura 5 En la interfase entre dos cubos adyacentes pasa, a lo largo de la dirección X, una corriente neta igual a I2 – I1. Es decir, que la densidad de corriente será: Mz Mz y z Mz z y I I1 Mz Jx 2 y z y z y Para la contribución a la densidad de corriente Jx debida a la magnetización My, que varía cuando nos movemos a lo largo del eje Z, haremos referencia a la siguiente Figura 6: 5 I2 My M y z y z z I2 I1I1 I1 Figura 6 My En la interfase entre dos cubos adyacentes pasa, a lo largo de la dirección X, una corriente neta igual a I1 – I2. My My y My z y z My I I2 Jx 1 y z y z z Con lo cual la densidad volumétrica de corriente en el eje X será: Mz My y z Finalmente, trabajando con los tres ejes, obtenemos la ecuación para la densidad volumétrica de corriente acotada, para un material magnetizado: Jx JV = x M. (*) Ceteris paribus. 6