UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA : TEORÍA DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS CURSO PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL PROBLEMAS RESUELTOS DE CAMPO MAGNÉTICO EN LA MATERIA Problema Nº1 Un hilo largo por el que circula una corriente I = 10 A está rodeado por un tubo cilíndrico de radio interior a = 5 cm y radio exterior b = 8 cm. El tubo es concéntrico con el hilo y podemos suponerlo también muy largo. El tubo tiene una permeabilidad magnética 50 . Calcular: a) La intensidad de campo magnético H en todo el espacio b) La densidad de flujo magnético B en todo el espacio. c) La magnetización M en todo el espacio. d) La densidad superficial de corriente de magnetización J SM para a y b . e) La densidad volúmica de corriente de magnetización J M . Resolución De acuerdo con el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra en la figura. Para resolver este problema debemos tener en cuenta que: I - La corriente eléctrica “I” crea a su alrededor un campo magnético. a b 5 0 - El campo magnético creado por la corriente “I” magnetiza al material con el cual está hecho el tubo cilíndrico, originándose en su interior corrientes de magnetización. - Las corrientes de magnetización alteran finalmente el campo magnético inicial, por lo tanto en la región donde se halla el material magnético, el campo magnético B tendrá un valor diferente. a) Cálculo de H en todo el espacio Vista de planta Por ley de Ampere: H d I Libre C I a H (2 ) I b H I 2 5 A m H d Vectorialmente: Curva cerrada “C” H A a m 5 b) Cálculo de B en todo el espacio - Para 0 a y b (En ambos casos el medio es el vacío) En el vacío se cumple: B 0 H Luego: B 5 0 a (T ) - Para a b (en este caso el medio es un material magnético, donde: 5 0 ) En un medio magnético se cumple: B H 0 r H Luego: B 25 0 a (T ) c) Cálculo de M en todo el espacio Se sabe que: M m H ( r 1) H - Para 0 a y - Para a b : b : M 0 (Porque no hay material magnético) 20 A M 4 H a m d) Cálculo de J SM para a y b Sabemos que: J SM M n - Para a 5 cm 0,05 m : n a 20 J SM a ( a ) a J SM (127,3236 a z ) A m - Para b 8 cm 0,08 m : n a J SM 20 a ( a ) b J SM ( 79,577 a z ) A m e) Cálculo de J M (densidad volúmica de corriente de magnetización) Se sabe que: J M M En coordenadas cilíndricas, cuando M sólo tiene componente M , el rotacional de M queda: M 1 ( M ) az Luego: JM M 1 20 az 0 Problema Nº2 La región 0 z 2 m está ocupada por una placa infinita de material permeable ( r 2,5 ). Si B 10 y a x 5 x a y mWb/m2 dentro de la placa, determine: a) La densidad de corriente J b) La magnetización M c) La densidad superficial de corriente de magnetización J SM en z = 0. d) La densidad volúmica de corriente de magnetización J M . Resolución: Según lo descrito en el enunciado, la figura correspondiente es la que se muestra a continuación. Donde B representan al campo magnético dentro de la placa infinita de material permeable que está ubicada en la región 0 z 2 m . z (m) 2 B r 2,5 0 y (m) x (m) a) Cálculo de J (densidad de corriente) La densidad de corriente J se puede determinar a partir de la Ley de Ampere en su forma diferencial. Es decir: J H Donde: H B 0 r . . . (1) ; por condición: B (10 y a x 5 x a y ) mWb / m 2 Reemplazo H en (1): B J 0 r 1 B 0 r El rotacional de B , en coordenadas rectangulares, cuando B tiene componentes B x y B y , se reduce a: B B y Bx a z y x Luego, J viene dado por: J 1 ( 5 x ) ( 10 y ) az y 4 10 7 2,5 x J (4,775 a z ) kA / m 2 b) Cálculo de M (magnetización) Si se conoce H , la magnetización M se calcula con la siguiente ecuación: M m H ( r 1) B 0 r Reemplazando r 2,5 y el vector B (dato del problema), obtengo: M ( 4,775 y a x 2,387 x a y ) kA m c) Cálculo de J SM (densidad superficial de corriente de magnetización) en z 0 Se sabe que: J SM M n Como z 0 en el lado inferior de la placa que ocupa la región 0 z 2 m , entonces: n az Luego: J SM (4,775 y a x 2,387 x a y ) kA ( a z ) m J SM ( 2,387 x a x 4,775 y a y ) kA m d) Cálculo de J M (densidad volúmica de corriente de magnetización) Se sabe que: J M M Calculando el rotacional de M en coordenadas rectangulares se obtiene: J M 7,162 a z kA m2