Materiales Magnéticos

MAGNETISMO EN MATERIALES
HISTORIA
.
MATERIALES MAGNÉTICOS
Origen de magnetismo: las cargas en movimiento, o
sea las corrientes eléctricas
En la materia, las corrientes eléctricas que existen en
forma permanente son fundamentalmente las que
producen los electrones en su movimiento orbital y de
spin, y las generadas por la rotación de las cargas
nucleares
Cualquiera de ellas puede considerarse como una
espira de corriente, las cuales generan campos magnéticos y reaccionan ante la presencia de esos campos
r q1 q2 (
F∝ 2 r
r
Conceptos y leyes básicas
Cargas en reposo producen
interacciones eléctricas, descriptas por la ley de Coulomb
Observación
experimental
Cargas en movimiento produccen otro tipo de interacción,
conocida como magnética
Fuente de interacciones eléctricas: las cargas eléctricas
Fuente de interacciones magnéticas: las corrientes eléctricas
Experimentalmente:
q
Imán
Idem si en lugar de
un imán tengo un
sistema de corrientes
v
F
F ⊥v
⎧q
F ∝⎨
⎩v
Para q y v dados , Fmax en una
dirección y F=0 en otra dirección
Como expresar matemáticamente lo anterior?
Suponiendo un
intermediario de la
interacción: el Campo
Inducción Magnética B
Definimos
B=
Fmáx
qv
⎡
⎤
⎢ N ⎥ ⎡ N ⎤
[B ] = ⎢ m ⎥ = ⎢ ⎥ = Tesla (T )
A m⎦
⎢c ⎥ ⎣
⎣ s⎦
En cgs la unidad es el Gauss: 1 T= 104 G
r r
F = q v∧B
Cumple con lo observado
r
r r r
r
r r r dl
dF = dq v × B; v = ⇒ F = i l × B
dy
F ∝ q, F ∝ v
F⊥v
F= 0 si v // B
F máx. si v ⊥ B
F siempre ⊥ v, de tipo centrípeta; no realiza trabajo
Leyes del Campo Magnético
Flujo
r r
∫∫ B . dS = 0
i
i
i crea B
Ley de Gauss de B
r
∇.B =0
Líneas de fuerza de B son cerradas; no existen fuentes
ni sumideros (papel que juegan las cargas con E)
Circulación
i
r
B
μ0 i
B=
2π r
r r
∫ B . dl =μ 0 i
Ley no válida si hay
materiales magnéticos
r r
μ0 i
∫ B . dl = ∫ 2 π r r dθ
Ley de Ampere
Esta expresión vale cualquiera
sea la trayectoria de integración
r r
∫ B . dl =0 Si trayectoria no contiene i
Espiras crean B
en centro de una espira de corriente
i
a
ds
μ0 i
B=
cosα
∫
2
2
4 π (a + R )
dB
r
β
r r
r μ0 i dl ∧ r
dB =
4 π r3
R
ds = R dθ
cosα = sen β =
r
2 2π
μ0 i R
dθ
B=
∫
2
2 32
4 π 0 (a + R )
α
R
B=
A distancia muy grande
En el centro de la espira
B=
μ0 i R
B=
2 a3
μ0 i
2R
2
μ0 i R 2
2 (a + R
2
)
2 32
Dipolo magnético (espiras reaccionan ante B)
F
F
B
dS
θ
a
r r
F = il ∧B
B
Vista lateral
dS
θ
b
b senθ
i
F
Fza Magnética sobre b (compensada)
Sobre a
Torque
F
F =ibB
F =ia B
τ = F b sen θ = i a B b sen θ = i S B sen θ
r
r
Momento dipolar magnético m = i S
Idem dipólo eléctrico
d E
p = qd
q
-q
r
r
p=q E
r r Regla
τ = m ∧ B tirabuzón
r
r
r
r
τ = p∧ E
derecha
Espira de corriente = dipólo magnético que se alinea con B
F α
b
dθ
2
r r
ΔEP = ∫ F . dl
dl =
dl
dS
θ
B
b
θ2
b
ΔEPT = 2 ∫ i a B dθ cosα
2
θ1
F
ΔE = ∫τ dθ
cosα = sen θ
P
ΔE = −m B (cosθ − cosθ )
P
2
1
Si EP=0 cuando θ = π / 2
r r
E = −m . B
P
Espira de i crea B y
reacciona frente a B
Idem dipólo eléctrico
r r
EP = − p . E
Electrostática: estructura de cargas mas sencilla es la carga
aislada puntual (monopolo) que crea E y reacciona ante un E
externo
Estructura algo mas compleja: dipolo eléctrico que reaccio-na
ante un E externo orientándose en la dirección de éste.
d
r r r
r
τ = p∧E
p =qd
+q
-q
p
Magnetostática: no existe una estructura de corrientes
equivalente al monopolo eléctrico. No existen los monopolos magnéticos
Estructura mas sencilla: dipolo magnético que reacciona ante
un campo B externo orientándose en dirección a éste
μ
i
r
m =i A
r r
τ =m∧B
r
Materiales magnéticos
3 momentos magnéticos
meL
meL: orbital electrónico
mnS
meS : de spin electrónico
meS
mnS: de spin nuclear
Analizando meL
L=Μvr
mB =
q
e
i= =
T 2π r/v
Momento angular =>
e ⎛ h ⎞ eh
⎜⎜ ⎟⎟ =
2 Μ⎝ 2 π ⎠ 4 π Μ
ev
evr
2
m=
πr =
2π r
2
e
m =
L
2 Μ
h
L=n
h = 6,626 10 −34 J s
2π
Magnetón de Bohr
mB = 9,274 10 − 24 A m − 2 ( J T −1 ) meS≅ 1,001 μB
mnS ≅(1/300) μB
Ideas básicas
• Magnetismo de los materiales originado en momentos magnéticos de spin y orbitales de los e- atómicos
• En niveles completamente ocupados los momentos magnéticos
se compensan y no hay M resultante (Pr. Excl. Pauli)
• En mayoría de átomos con Nro. impar de e-, el no apareado es
el de valencia; al interactuar átomos para formar moléculas o
compuestos los m de estos e- se promedian ⇒ M neto es cero
• Ciertos elementos (metales de transición por ej) tienen niveles
de energía internos no totalmente ocupados (capa 3d, del Sc al
Cu); presentan M (salvo el Cu: e- no apareado es de valencia)
• Respuesta a un Hext depende de forma que dipolos reaccionan.
Mayoría ET los hacen ∋ MT es cero
• Con Fe, Ni, Co, Gd es dsitinto: interacción de canje y MT no nula
El comportamiento magnético de un material se puede estudiar
analizando el de sus momentos magnéticos elementales
Bex
Orientación al azar por
agitación térmica
Alineación parcial en
campo débil
Be
x
Saturación en campo
fuerte
m neto de un material es la resultante de sus m elementales
M neto: definido por dos procesos competitivos: agitación
térmica (T) y tendencia a alineación por Bex y B internos
Im: corriente imaginaria que produce
el mismo B que el
material magnetizado
imán
im
B
A
Im: i de
magnetización
B puede pensarse como producida por im
m r= i A
r
r pT
r m
(análogamente a P = )
Se define
M=
Vol
Vol
Vector magnetización
Si M no es constante
r
r
r
dim
dm = M dV ⇒ m = ∫ M dVol
dθ
dim =
im
dVol = A r dθ
r
2π
r dθ
r r
dim
im
A dim
im = ∫ M . dl
A
=
=
M=
A r dθ r dθ 2 π r
[M]=A/m
T
m
T
T
T
Si material está en toroide de N vueltas, B estará compuesto de
dos componentes: el de las corrientes reales y el de las corrientes
de magnetización
r r
r r
∫ B . dl = μ 0 ( N i + im ) = μ 0 (N i + ∫ M . dl )
r
⎛B r⎞ r
∫ ⎜⎜ μ − M ⎟⎟ . dl = N i
⎠
⎝ 0
r
r
B r
Si
− M = H Vector intensidad de campo magnético
μ0
r
r r
r
r
r
Equivalente a D = ε 0 E + P
B = μ 0 (H + M )
r r
H depende solo
H . dl = N i
∫
de las i reales
r
r
B = μ0 H
En vacío
r
r
r
r
χ: susceptibilidad
M
∝
H
⇒
M
=
χ
H
En material
magnética (adimensional)
r
r
r
B = μ 0 (1 + χ ) H = μ H μ: permeabilidad magnética
μ = μ 0 (1 + χ )
r
r
B=μ H
μ
(1 + χ ) = = μ r
μ0
Permeabilidad relativa
r
r
M =χ H
Muestra toroidal uniformemente magnetizada
M=0
H=0
B=0
M
H
B
M=0
H=0
B=0
En material con χ > 0, B aumenta respecto al valor en vacío
Energía del campo magnético
dφ
di
ε = =L
dt
dt
dU
di
P=
=ε i = Li
dt
dt
En una bobina
Potencia
1 2
U = Li
2
Energía almacenada en los campos magnéticos de
la bobina (cte. o variable según lo sea i)
1 2 1
2
μ
L
i
n
l S B2
0
U
Densidad de energía
=2
=2
u=
2
Vol
AS
lS
μ0 n 2
U = ∫ P dt = ∫ L i di
1 2
u=
B
2μ0
Expresión válida en general
En material magnético
1 2
u=
B
2μ
Resumen de Relaciones Constitutivas
B: inducción magnética
r r
r
∫ B .d l = μ 0 i / ∇ x B = μ 0 j ,
∫
r r
r
B .d S = 0 / ∇ . B = 0
H: intensidad de campo magnético o fuerza desmagnetizante
r r
r
∫ H .dl = i / ∇xH = j
H = Ni / l
en bobinas,
N: No. vueltas, l:long.
M (J): magnetización o polarización (Momento magnético por
unidad de volumen)
v r
r
r
r
∫ M .d l = i m
B = μ0(H + M )
r
r
M = χ H μ = μ0 (1+ χ) B = μ H En material
B
μ i = lim
H →0
H
r
r
B = μ0 H En vacío
Permeabilidad inicial
r
r
r
r
r
r
r
B = μ 0 ( H + M ) = μ 0 ( H + χ H ) = μ 0 (1 + χ ) H = μ H
r
r
r
r
r
v
B = H + 4π M = H + 4π χ H = (1 + 4π χ ) H
μ = μr μ0
μ 0 = 4π 10 − 7 Henry / m
mks
cgs
μr = 1+ χ
μ >> μ0
r
r
Bvacío = μ0 H
Material ferromagnético
r
r
r
v
Bmat = μ 0 ( H + M ) >> Bvacío
Resumen de Unidades
Unidad
B
cgs
gauss (g)
SI
tesla (T) o W/ m2
Conversión
1 T = 104 gauss
H
3Oe
Oersted
A/m
1 A/m = 4π 10-
M
Oersted
A/m
1 Oe =79,6 A/m
μ
gauss/Oe 4π 10-4 weber/A.m (H/ m)
Materiales con distinto comportamiento magnético básico
Paramagnético: χ > 0, χ ∼ 0,00001- 0,003; alineación relativa
de dipolos elementales debido a campo externo limitada por
agitación térmica. Al quitar H la magnetización desaparece.
Efecto presente en todos los materiales.
Diamagnético: χ < 0, χ ∼ -0,00029 - -0,00001; alineación
relativa de dipolos elementales debida a campo externo limitada
por agitación térmica y con resultante opuesta a H. Al quitar H la
magnetización desaparece. Efecto presente en todos los
materiales pero en general “tapado” por paramagnetismo
Ferromagnético: Fe, Co, Ni, Go o aleaciones que los contengan, χ > 5000; alineación de los dipolos elementales con campo
externo y entre si. Al quitar H queda magnetización remanente
(Fe, Co, Ni: (Ar)4s23d6, (Ar)4s23d7,(Ar)4s23d8)
Otras categorías
Antiferromagnético:
χ>>1
En Fe, Co, Ni, Gd. Fuerte acoplamiento de ms por energía
de canje (electrostática) que depende de distancia
interatómica. Si esta es chica la energía es negativa y se
tiene Antiferromagnetismo con magnetización neta cero
Estado natural con spines atómicos
de átomos adyacentes opuestos; Ej
Fluoruro de Mn (MnF) bcc, OMn bcc
A una temperatura
conocida como
Temperatura de
Neel se vuelven
Paramagnéticos
Ferrimagnético: χ>>1
Dos subredes con distinta estructura magnética, con
momentos alineados en cada red pero antiparalelos entre
ellas.
M puede ser muy alto; Ej.
Magnetita (Fe3O4), Ferrita
Paramagnetismo:
χ>0 y <1,1
(Na, K, Mg, Al)
En elementos con Nro. impar de e-, MT desde grupo Sc hasta
grupo Fe + lantánidos
Poseen ms de e- desapareados superpuesto al orbital (siempre presente)
Interacción entre e- de valencia débil
En ciertos rangos
MαH
Mα1/T
χ disminuye con T por la agitación térmica
H
M∝
T
Ley de Curie
Susceptibilidades a T=20 °C
Material
Uranio
Platino
Aluminio
Sodio
Oxígeno gaseoso
χ 10-5
40
26
2,2
0,72
0,19
Diamagnetismo: χ<0,⏐χ⏐<1,1 (at. Grandes Cs, Cu, Ag, Au)
En elementos con Nro par de e- y capas interiores completas los
ms (spin) cancelados, y solo los momentos magnéticos
orbitales contribuyen a la magnetización del material
Susceptibilidades a T=20 °C
χ ~ independiente de T
Material
χ 10-5
Bismuto
Mercurio
Plata
Plomo
Cobre
-16,6
-2,9
-2,6
-1,8
-1,0
Origen del diamagnétismo Principio de exclusión de Pauli
FM
v
v
FM
FC
2
v
FE
FC = Μ
FE
F
r
C
B
B
m
mT=0
B
m
mT
m
Sin B
m
Con B
Magnetismo débil: para y diamagnetismo
χm ± 10-4 a 10-6; no hay acoplamiento entre momentos atómicos
Como responde el momento paramagnético a un campo B~1T?
r r
U = −m .B ≈ 10 − 23 J = 6 10 −5 eV << que energía térmica
a temperatura ambiente
k BT ≈ 4 10 −21 J = 0,025 eV
Lo que explica por que χm es tan pequeña: el campo tiene solo
un débil efecto lineal en la alineación de los momentos pues la
energía térmica es grande comparada con la energía magnética
Tabla de permeabilidades
Paramagnéticos
Diamagnéticos
10200.00
Neodimio (Nd2O3)
-248.00
Colesterol (C27H46O)
7200.00
Oxido ferroso (FeO)
-122.00
Zirconio (Zr)
4900.00
Oxido de cobalto
(CoO)
-38.20
Carbonato de
calcio(CaCO3)
1860.00
Samario (Sm)
-30.30
Cloruro de sodio (ClNa)
660.00
Oxido de níquel
(NiO)
-24.10
Mercurio (Hg)
529.00
Manganeso (Mn)
-15.50
Azufre (S)
395.00
Uranio (U)
-6.70
Boro (B)
13.00
Magnesio (Mg)
-5.46
Cobre (Cu)
0.00
Lutecio (Lt)
Ferromagnetismo: caracterizado por un orden de largo alcance
de los momentos atómicos, aun en ausencia de campo externo,
que produce magnetización espontánea (o sea M sin Hext) que es
máxima a T= 0K, decrece con T y se anula arriba de una cierta
Tc (Temperatura de Curie) (material=>paramagnético)
Campos grandes (1-2 T) se pueden conseguir con H chicos (~
100 A/m, ~ 10 vueltas/cm con I= 0,1 A!). La magnetización completa, M~106 A/m (SmCo), se consigue con la alineación total de
dipolos
Explicación: (P. Weiss) fuerte campo molecular o campo medio,
que alinea todos los momentos de forma que M≅n.m=MS (no
afectada por agitación térmica). Debajo de la Tc tienen
magnetización espontánea MS(T)
Esto es producto de una compleja interacción cuántica
(interacción de canje de Heisenberg) que minimiza la energía
magnética si los momentos magnéticos iónicos son paralelos y
cooperativamente alineados
Interacción de canje
Heisemberg (1928): Interacción de canje para explicar la intensidad de los campos magnéticos moleculares en los sistemas
ferromagnéticos, 103 veces mayores que el que puede producir
la magnetización del material
Además de las interacciones electrostáticas coulombianas (por
ej. en la fuerza que une el átomo de H2) existe otra fuerza no
clásica que depende de la orientación relativa de los spines de
los e-: la fuerza de canje que es consecuencia del principio de
exclusión de Pauli: la energía electrostática coulombiana se
modifica por la orientación de los spines
Ej.: en H2 si s son antiparalelos, la suma de
todas las fuerzas (e-e, p-p, e-p y de canje)
resulta atractiva y se forma molécula
Dos átomos con momentos angulares de spin Si= h/2 π tienen
una energía de canje
E ex
Si Jex > 0 :
Si Jex < 0 :
r r
= − 2 J ex S i . S j
Jex Integral de canje
Eex es mínima con S //
Eex es mínima con S anti // (moléculas)
Ferromagnetismo: es consecuencia del alineamiento de los
momentos de spin de átomos adyacentes:
condición Jex > o
Fuerzas de canje dependen fundamentalmente de las distancias
atómicas y no de posiciones atómicas: la cristalinidad no es
condición para el ferromagnetismo
Primer amorfo ferromagnético (Co y Au codepositados a 77 °K y
con ferromagnetismo que se mantiene a temp. ambiente) fue
reportado en 1965
Origen de la interacción de canje (o de intercambio)
Organización de la materia: desde punto de vista electrónico por
la configuración de capas, de energía creciente a medida que se
alejan del núcleo
Principio de exclusión de Pauli: no puede haber dos electrones
en estados de movimiento descriptos por los mismos números
cuánticos (nc)
n: nc principal, define la energía de la capa (K:1, L:2, M:3, N:4,
O:5, P:6, Q:7)
l: nc orbital, define la cuantificación del momento angular, s:0,
p:1, d:2,.., n-1, en unidades de h/2π)
ml: nc magnético (define la cuantificación del momento magnético, -l, -l+1,.., 0,.., l-1, l)
ms: nc de spin
Capas se llenan de acuerdo a 2n2, 1ra máximo 2, 2da 8, 3ra 18..
Niveles principales contienen subcapas u orbitales, cuyo número
total es igual a n (0=s, 1=p, 2=d, 3=f)
Representación:
H
O
Al
Fe
1s1
1s2, 2s2, 2p4
1s2, 2s2, 2p6,3s2,3p1
1s2, 2s2, 2p6,3s2,3p6,3d6,4s2
Orbitales se llenan hasta un máximo dependiendo de la capa:
s:2 (He), p:6 (Ne), d:10 (Ar), f:14(Yb)
Metales de transición (Fe, Co, Ni,..)
caracterizados por capa 3d
incompleta
Configuración de electrones
Regla de Hunt: se
requiere + energía
para colocar dos een el mismo orbital
con rotaciones
opuestas que la que
se requiere para
colocarlos en
orbitales ≠ con
rotaciones iguales.
Ej.orbitales 2p del N
En Fe, Ni, Co,… si en la capa 3d de un átomo tienen 2 e- con
sus ml distintos => sus mS pueden ser paralelos (apareados)
Se sabe que la magnetización de un átomo ferromag. se debe
la paralelismo de los momentos magnéticos de spin y no a los
momentos dipolares magnéticos orbitales (g=2; Factor de Lande, que da una relación entre M y L)
O sea 2 e- de capa 3d permanecen en promedio más alejados
si sus mS son paralelos, y de esa manera su repulsión coulombiana es menor
También existe una fuerte interacción de intercambio entre átomos adyacentes de la red que conduce al acoplamiento de spin,
pero es más complicada que la existente dentro del átomo por
razones geométricas, por lo que la energía es menor cuando
los spines de pares de átomos adyacentes son paralelos (ferromagnetismo) o antiparalelos (antiferromagnetismo)
Únicos elementos ferromagnéticos:Fe, Co, Ni, Ga y Dy
En estos elementos, la existencia de spines no compensados
en capas electrónicas incompletas profundas (3d), que no son
afectados cuando los átomos se unen para formar un sólido,
dejan un momento magnético atómico neto, y la interacción de
canje entre esos m atómicos es la causa de ferromagnetismo
Se emplea la permeabilidad relativas μr= μ / μ0=(1+χ) más que
la susceptibilidad para caracterizar las propiedades magnéticas
Por que los materiales ferromagnéticos en ciertas condiciones
no presentan magnetización? => por existencia de dominios
magnéticos (zonas > 0,1 μm donde todos los momentos están
esencialmente alineados, separados entre si por “paredes”
(regiones de 10 a 100 nm), donde la magnetización rota, que se
compensan entre si
Dominios magnéticos
La magnetización dentro de los dominios magnéticos es paralela
a los ejes cristalográficos
La dependencia de M con los ejes cristalográficos se denomina
anisotropía magnetocristalina y se simboliza con K (J/m3)
Tomando un átomo de H con el modelo de Bohr para estimar
valores
m = IA ≈ e(ω / 2π )π r
2
ω = v/r
m = mB = IA ≈ 9,27 10−24Am2
v = (2 E / Μ )
1/ 2
E energía de 1s
M masa
Si en material magnético n≅1029
at/m3, c/u con I circulando
M = n m ≈ 106 A / m ⇒ B = μ0 M ≈ 1T
Por comparación, si todos los momentos están alineados
BS = μ 0 M s ≈ 2,2 ( Fe); 1,7 (Co) y 0,6 ( Ni ) T
Superparamagnetismo:
Comportamiento magnético asociado a tamaño de partículas
ferromagnéticas; Si el volumen es muy pequeño => la energía de
canje puede ser menor que la energía térmica y el dominio puede
estar alternando su magnetización en las direcciones fáciles
incluso sin Hex
Paramagnetismo: cada partícula tiene un m=MSV que tiende a
alinearse con Hex mientras que la energía térmica tiende a
desalinearlo. Momento magnético de átomo o ión es de algunos
mB
Pero una partícula esférica de Fe de 50 A tiene alrededor de
6000 átomos y su M es de unos 12000 mB !!
(superparamagnetismo)
Dominios ferromagnéticos
Fuerte interacciones magnéticas (de canje) entre m atómicos
producen alienaciones totales en regiones llamadas “dominios
magnéticos” (~10-6 m hasta mm) aun sin campo exterior (Los
dominios tienen tamaños entre 10-12 y 10-8 m3 y contienen entre
1021 y 1027 átomos.
Bext=0, dominios orientados al azar
Bext≠ 0, crecen dominios con orientaciones
favorables a expensas de los otros (desplazamiento de paredes de dominios)
Bext lo suficientemente intenso como para
producir alineación total de dominios
Curva de Histéresis
Rotación de
paredes de
dominios
1.13 y 1.14 curvas
Energías involucradas en procesos de alineación
Si M de material magnetizado en toroide colapsa porque se pone
en cc los bornes de la bobina
dφ
dU m + ε i dt = dU m − N i dt = 0
dt
dφ = A dB
Ni Ni
H=
=
2π r
l
dU m = H l A dB = H Vol dB
ΔU m
= ∫ H dB
Vol
Energía disipada en cada ciclo por unidad de volumen es
proporcional al área encerrada por la curva de histéresis
En la siguiente tabla se presentan propiedades de materiales
magnéticos de uso común. Se utilizan unidades no SI para
comparar con las tablas de materiales comerciales modernos
que presentamos más abajo (recordar que 1T = 10-4G y 1A/m =
4πx10-3Oe):
BHmax
Hc
Material
(MG Oe) Br (G) (Oe)
Acero Cromo2
0.20
10000 50.3
Oxido de Hierrocobalto3
0.60
2000
905
Alnico 124
1.51
6000
955
Alnico 25
1.71
7000
563
Alnico 56
4.52
12500
553
Platino-Cobalto
(77%Pt, 23%Co)
6.53
6000
3644
Por que se forman los dominios magnéticos?
Formación espontánea de dominios en materiales ferromagnéticos de manera de reducir la energía asociada con la pérdida
de flujo magnético en el espacio circundante
1
2
uM =
pared
Proceso continua hasta
que la energía necesaria
para formar nuevos dominios (energía de las paredes) es mayor que que la
reducción de energía que
se logra
2
μ0B
En cristales cúbicos el proceso tiende a ser más complicado
pues existen 3/4 ejes fáciles (dependiendo del signo de K1). En
este caso
el flujo puede cerrarse dentro del material
no se forman polos superficiales o interiores por lo que la
energía magnetoelástica es cero
se forman dominios triangulares llamados dominios de clausura
Paredes separan dominios orientados a 180°
δ: ancho de la pared o longitud de canje magnético δ~10-100 nm
Desagregación de un volumen magnético
1 cm3 de material: ~ 1010 cristales
cristal: 106 dominios
dominio: 1015 átomos; > 0,1μm
Existe una temperatura para cada material ferromagnético (TC;
Temperatura de Curie) por encima de la cual se vuelve
paramagnético
Temperatura de Curie
M
Para
Ferr
Fe
770 ºC
Co
1127 ºC
Ni
358 ºC
Ga
T
Di
16 ºC
-168 ºC
Magnetización espontanea en MateriaFerritas
les FM desaparece a la Tc, o sea la aliNiFe2O4 585ºC
neación de m individuales es destruida
CuFe2O4 455ºC
con la energía térmica kTc. Se define un
parámetro de canje magnético A como
NiAlFeO4 198ºC
una medida de la intensidad del acoplamiento magnético entre momentos
k TC En materiales útiles
separados por el espaciamiento a de la A = a A no varía más que
un factor 4
red a Tc
1-10 Am-1 materiales muy blandos
>106 Am-1materiales duros SmCo5
Magnetos blandos: núcleos en campos alternativos
Magnetos duros: imanes permanentes
Memorias magnéticas: histéresis rectangular
Ejes de fácil magnetización
En presencia de H, M depende de la intensidad de H y dirección
cristalográfica en que éste se aplica: dependencia de propiedades
magnéticas de direcciones cristalográficas se conoce como
anisotropía magnetocristalina (K joule/m3)
Con H suficientemente grandes M →Ms, que es igual para todas
las direcciones cristalográficas (m han rotado y son // a H)
Dirección cristalográfica en la cual se alcanza Ms con el menor H
son direcciones de fácil magnetización
Ejes de fácil magnetización son los ejes de magnetización espontánea de dominios en ausencia de H
bcc
[100]
[110]
[111]
fcc
J es B
[0001]
[1010]
Influencia del tamaño de grano
Materiales ferromagnéticos extensos (D → ∞ )
partículas finas con dominios
Disminución
de D
Eje
monodominio
régimen superparamagnético
fácil
Libre rotación de los
dominios por agitación
térmica
Influencia del tamaño de grano
Antigua ley de la metalurgia: si tamaño de grano decrece las
propiedades magnéticas blandas del material se deterioraban.
HC muestra fuerte dependencia con el tamaño de los granos en
los sistemas policristalinos
Técnicas de Observación de Dominios
Técnica Bitter: suspensión coloidal de finas partículas de
magnetita (Fe3O4)
M
dominio
++++
M
pared
M
dominio
Efectos Magneto-ópticos
•Por rotación de la polarización de la luz
•reflejada (efecto Kerr), para superficies
•transmitida (efecto
(películas delgadas)
i
r
Faraday),
r
-ϕ
i
+ϕ
M
M
para
volúmenes
Microscopía electrónica de transmisión (TEM)
(películas delgadas hasta 1000 A)
Energía asociada a la magnetización
La energía libre total (ET) de un material ferromagnético se
compone de varios términos
ET=EK+EM+Eσ+EPD
EK: energía de anisotropía magnetocristalina
EM: energía de anisotropía de forma o energía magnetoestática
Eσ: energía magnetoelástica
EPD: energía de las paredes de los dominios
EK:Energía de anisotropía magnetocrislalina (existente fundamentalmente en materiales cristalinos)
La magnetización en ≠ direcciones cristalográficas tiene asociada ≠ energías (anisotropía magnetocristalina).
magnetocristalina O sea, existe dependencia de la energía interna con la dirección de
magnetización respecto a la dirección de magnetización
espontanea
Anisotropía magnética se debe al acoplamiento spin-órbita.
Basicamente, cuando Hex tiende a rotar los S de e- también
tiende a rotar sus órbitas, y como las órbitas están fuertemente
acopladas a la red cristalina, esto requiere energía
la energía requerida para rotar un sistema
de spines de un dominio fuera de los ejes
fáciles (EK) es la energía necesaria para
superar
la
interacción
spin-órbita.
Acoplamiento spin-órbita es débil pues
Hex de pocos Oe pueden rotar los spines
débil
red
Spin
fuerte
órbita
débil
r r
τ =m∧B
r
En general
r r
E = −m . B
P
r r
ΔEP = ∫τ dθ = ∫ m B senθ dθ = − m.B
r
r r
r r r
r r
r r
B = μ0 H + M ⇒ ΔEP = −μ0 m . H + M = −μ0 m . H − μ0 m .M
(
)
(
S
θ
B
)
La variación de la energía del material tiene una
componente que depende de H (cpos. externos) y
otra que depende de M (magnetización del
material). Ésta última a su vez se puede dividir en 2
r r
2θ
ΔE PMat = − μ 0 m . M = − μ 0 m M cos θ = − μ 0 m M (1 − 2 sen )
2
Una parte de esta variación de energía depende del cambio en
la posición del dipolo, mientras que la otra no (-μ0mM)
Energía de anisotropia magnetocristalina,
θ mínima para situación de equilibrio, lo que
E = 2 μ m M sen
2 define direcciones preferenciales de m en la
red (θ=0). Ek máxima para π (estado inestable)
2
K
0
Estructuras cristalinas reales tienen expresiones de EK más
complicadas. En el caso del Fe (bcc) el análisis es simple
Direcciones preferenciales de magnetización
espontánea (estados estables para un dipolo
dado: EK mínimo) se encuentran cuando m
está alineado con las aristas de un cubo (θ=0
o cada π/2) e inestabilidad ocurren sobre
diagonales (cada π/4) => EK se modifica
1
EK = 2 μ 0 m M sen 2θ = K1sen 2 2θ
4
2
M vs H en
Fe (Diap)54
K1 = 8 μ 0 m M
K1: Constante cristalográfica del material o coeficiente de anisotropía
Para minimizar esta energía todos los dipolos elementales de un
volumen del material deben alinearse en la dirección preferencial.
Cuando esto ocurre (sin tener en cuenta fluctuaciones por
agitación térmica) se tiene un máximo: MS (Magnetización de
saturación)
bcc
[100]
[110]
[111]
fcc
J es B
[0001]
[1010]
La energía total es el trabajo realizado por H para alinear los dipolos (o sea al vector MS) más la que está asociada al material
r r
r r
EP = − μ0 m.H − μ0 m.M
1
E P = − μ 0 M S H cos (θ − θ 0 ) + K 1 sen 2 2θ − μ 0 M S H
θ
4
θ0
H
El último término en general ignorado ya
que interesa ΔE cuando rota Ms
MS
Imán: mat. ferrom. magnetizado en dirección preferencial tal que
su M no se vea afectada por Hext, cuya influencia desmagnetizadora es máxima si aplicado a π respecto a M
d 2 EP
H necesario para que mínimo de energía deje de serlo?
=0
2
dθ
dE P K1
K1
=
2 sen ( 2θ ) cos( 2θ ) 2 + μ 0 M S H sen (θ − θ 0 ) =
sen ( 4θ ) +
dθ
4
2
μ 0 M S H sen (θ − θ 0 )
d 2 EP
= K1 [cos( 2θ ) 2 cos( 2θ ) − sen ( 2θ ) sen ( 2θ ) 2] + μ 0 M S H cos(θ − θ 0 )
2
dθ
= 2 K1 cos( 4θ ) + μ 0 M S H cos(θ − θ 0 )
Para H en contra de MS θ = θ + π
0
dEP
K1
= 0 ⇒ sen(4θ ) − μ0 M S H senπ = 0 ⇒ θ = 0
2
dθ
2 K1
d 2 EP
Hi =
= 0 ⇒ 2 K1 − μ0 M S H = 0
2
μ0 M S
dθ
Coercitividad intrínseca: H necesario para desestabilizar la magnetización del material y cambiarla de sentido. Depende solo de
la anisotropía magnetocristalina y de la magnetización de saturación
M
+MS
-Hi
Hi
H
-MS
−
2 K1
μ0 M S
+
2 K1
μ0 M S
1er cuadrante: curva de
magnetización
2do cuadrante: curva intrínseca
de desmagnetización
Teniendo en cuenta que B=μ0(H+M), se puede graficar
B
-Hi
(BH)max
Remanencia ideal: Br=μ0MS;
en realidad es el valor de B
cuando fmm=0
μ0MS
Hc
-Hc
Hi
-μ0MS
Coercitividad ideal: HC=Ms;
H en realidad es la fmm necesaria para anular el flujo
magnético en el material.
Ojo: HC<Hi en general
Máximo producto de energía: (BH)max: punto del 2do cuadrante
donde BH máximo, y que indica la mayor densidad de energía
almacenada en el material . En curva ideal a mitad de camino con
1
( BH ) max = μ0 ( M S ) 2
2
Comportamiento de imanes reales; 2do cuadrante: curva de desmagnetización
La anisotropía magnetocristalina K se define por medio de coeficientes K0, K1 y K2; Ki (J/m3) ctes. de c/material; K2 a veces <<1.
Para cristales cúbicos (Fe, NiFe, FeCo, SiFe) la energía de magnetización o magnetocristalina por unidad de volumen para una
dirección dada (αi: cos directores de magnetización respecto a
ejes cristalinos) se define como
E K = K 0 + K 1[(α 1α 2 ) 2 + (α 1α 3 ) 2 + (α 2α 3 ) 2 ] + K 2 (α 1α 2α 3 ) 2 + ...
donde los Ki son constantes empíricas que dependen del material
y la temperatura
Para cristales uniaxiales (exagonales: Co y SmCo5, tetragonales:
NdFeBe) la energía de magnetización en dirección θ respecto
eje fácil es
E K = K 0 + ∑ K i sen 2 iθ = K 0 + K1sen 2θ + ...
En todos los casos las series son cortas ya que Ki decrece rápidamente con i.
El orden de magnitud de las energías magnetocristalinas (de los cambios) está
dado por K1 (ref: Akulov 1929, Introduction to Magnetic Materials B. D. Cullity)
Valores característicos de la primera constante de anisotropía K1
Material
K1 (j m-3)
Fe
4,7x104
Co
4,1x105
Ni
5,1x103
SmCo5
1,1x107
K0 es independiente del
ángulo: en general
ignorado ya que interesa
ΔE cuando rota Ms
EK = K 0 + K1sen 2θ + ...
En cristal cúbico
a
b
c
α1
α2
α3
E
[100]
0
π/2
π/2
1
0
0
K0
[110]
π/4
π/4
π/2
1/21/2
1/21/2
0
K0+K1/4
[111]
54,7°
54,7°
54,7°
1/31/2
1/31/2
1/31/2
K0+K1/3+K2/27
Si K2=0, dirección de fácil imanación determinada por signo de
K1, (coeficiente de anisotropía)
K1>0, E100<E110<E111, <100>: ejes fáciles
K1<0, E111<E110<E100, <111>: ejes fáciles
En general K1>>K2
Fe y ferritas cúbicas con Co tienen K1>0
Ni y ferritas cúbicas sin Co tienen K1<0
Si K2≠ 0, ejes fáciles determinados por K1 y K2 (ref: Cullity).
Caso de cristal exagonal
E//= K0
E⊥= K0 + K1
EK = K 0 + K1sen 2θ + ...
M paralelo a eje fácil (θ= 0°)
M perpendicular a eje fácil (θ= 90°)
=> ΔE= E⊥- E// = K1 (J/m3) es energía por unidad de volumen
necesaria para rotar M 90° desde eje fácil.
El campo externo (HK) necesario sale de
1
K1 = B H K
2
2 K1
HK =
μ0 M S
Una fórmula similar se deriva para cristales cúbicos
K1 y HK (aunque discutidos a partir de cristales simples) son de
gran importancia en propiedades magnéticas de materiales
policristalinos y de grano orientado
Magnetos permanentes:
Se requiere que la energía de anisotropía magnetocristalina (K)
sea uniaxial y lo más grande posible para que exista una fuerte
preferencia de M a lo largo de una dirección (eje fácil). Esta preferencia y otros efectos permiten resistir la desmagnetización
Ej.:BaFe12O19,SrFe12O19,SmCo5,Sm2(Co, Fe, Cu, Zr) y NdFeB
Magnetos blandos: se requiere que la energía de anisotropía
magnetocristalina sea lo menor posible para que cambios de M
ocurran a los menores H posibles y tan rápido como se necesite
(50-60 Hz para núcleos de transformadores)
Ej.:SiFe o aleaciones de NiFe (Mumetals, Radiometals, Permalloys)
No claro como calcular las constantes de anisotropía de primeros principios
Métodos de medición de la anisotropía magnetocristalina
Curvas de torsión
Resonancia magnética
Curvas de magnetización
Cálculo de EK a partir de curvas de magnetización
EK es la energía almacenada en un cristal cuando está magnetizado a saturación en dirección no fácil y es igual al trabajo para
llevar a ese estado
M
M
W=
∫ H .dM
0
H
S
=K u
EM: Energía de Anisotropía de Forma o Energía magnetostática
Medida de la diferencia de energía asociada a la magnetización
en las direcciones mayores y menores del cuerpo
Resultado de la interacción entre la magnetización y el campo
demagnetizante (HD) generados por los polos inducidos por la
magnetización no nula del material
Modelo simple: un cilindro largo tiene mayor EM cuando está
magnetizado en dirección perpendicular al eje del cilindro que
cuando está magnetizado en dirección paralela al mismo;
Razón: en dirección paralela los polos magnéticos están muy
separados y EM es baja => los ejes largos son ejes fáciles para
la anisotropía de forma; Vector magnetización tiene siempre
preferencia por los ejes largos fáciles
Polos separados, baja EM
Polos cerca, alta EM
Hex
-
HD
+ H
D
-
+
En general
Hex
-
M
HD
+
M
a
a
b
HD M+
b
Hex
HD = N M Na <<Nb
HD: campo demagnetizante
Hef = Hex − HD
N: Nro. Polos
Con elipsoide de revolución
0,5
1
EM = μ0 ( DZ − DX )M S 2
2
DZ - DX
DZ
b
a
0
0
Relación dimensional a/b
DX
Di: factores demagnetizantes,
10 dependen de la forma de la
muestra; MS: magnetización
de saturación
Ejemplos
+
+
+
+
E
M
= 0 , 85 M
2
s
d
M
d
+
+
+
+
E
M
= 0 , 53 M
M
= 0 , 37 M
2
d
2
d
s
M
d
+
M
+
+
+
E
d
s
Eσ: Energía Magnetoelástica:
Expresa la interacción entre tensiones internas (σ) y la magnetización del material y está intimamente ligada a una propiedad
magnética intrínseca del material: magnetostricción
Magnetostricción
Cuando el estado de magnetización de un MF se cambia por
aplicación de Hex hay un pequeño cambio en las dimensiones (si
parte/todo el cambio se debe a rotación de M)
Efecto complejo, anisotrópico y dependiente de H
Tipicamente λ = Δl ~10-5; para TbFe2 λ≈200 10-5. λs: saturación
l
Valores de λS >,=,< 0
En cristales λS depende fuertemente de direcciónes en que se
mide Δl y en que se aplica Hex
Δl/2
(a)
(b)
Δl/l
l+Δl
l
H=0
H≠0
λs
Δl/2
λS>0
H
λS: Cte magnetostricción a saturación
λ: Constante lineal de magnetostricción
λ = Δl l
l: longitude de la muestra
Δl: cambio magnetostrictivo
Magnetostricción: relacionada con interacción spin-órbita
(Cullity)
Energía magnetoelástica (Eσ ) expresa la interacción entre
tensiones internas (σ) y magnetostricción del material
En cristal cúbico
3
3
3
2 2
λS = λ100σ ∑ (α i γ i ) − 3λ111σ ∑ (α iα jγ iγ j )
2
1
i ≠ j =1
λS en direc. γ
αi cos directores de Ms
λijk: λS en <ijk>
Con magnetostricción isotrópica
λ 100 = λ 111 = λ S
3
2
E σ = − λ S ∑ σ ii α i
2
i
σii :i-esima componente del tensor
de tensiones diagonalizado; αi:cos
director de MS respecto a la i-esima
coordenada
Si σii es una tensión uniaxial (σ)
3
Eσ = − λS σ cos 2φ, φ (∠ : M S ,σ ),
2
eje fácil
M
λ>0
[J / m ]
3
φ = 0 (λS > 0)
φ =90 (λS < 0)
σ
M
λ<0
σ
Si tensión mecánica en material magnético de λs≠ 0, la
imanación espontánea M tiende a rotar en dirección de la
tensión aplicada si λs > 0, y en dirección contenida en el plano
transversal al determinado por la dirección de la tensión si λs <
0.
La aplicación de esa carga mecánica produce un almacenamiento de dos tipos de energía: una mecánica (elástica) y otra
magnética (magneto-elástica).
De acuerdo con la ley de Hook, la energía elástica viene dada
por la ecuación:
E (=σ/ε) módulo de Young
1 2
Eelast = E ε
2
ε (=Δl/l) deformación específica en
sentido de tensión σ
Y la energía magnética por
3
EM = λS σ sen 2φ
2
Efecto ΔE
ii) σ > 0
i) σ = 0
M
M
l
M
0
0
θ
l+ Δ l
E j e F á c i l d e Im a n a c i ó n
( M u e st r a c o n
a n i s o tr o p í a tr a n s ve r s a l
y λs > 0)
σ > 0
Con tensión aplicada, la energía elástica aportada al material
tendrá una componente mecánica y otra magnética, o sea, dos
contribuciones a la deformación del material: emec y emag
σ = E.ε = E.(ε mec + ε mag )
Si λ s > 0
λs<0
εmag positivo
εmag negativo
ε (=Δl/l) deformación específica en sentido de tensión σ
Ej.: λs > 0: contribución magnética a la deformación del material
emag resulta en una reducción del valor de E.
El comportamiento magnetoelástico de los materiales se ve claramente a través de ensayos de tracción (tensión-deformación;
σ-ε )
M=M s
λs =0
λs >0
Tensión (σ)
Curva con λs >0 posee
pendiente (módulo de
Young) menor. Este efecto
es conocido como efecto
ΔE (diferencia entre el
módulo de Young del
material en el estado
desimanado y un estado
determinado de imanación,
como por ejemplo el
imanado a saturación Es,
es decir Δ E =Es-E0 )
εmec
ε
εmag
Deformación (ε)
El efecto ΔE puede expresarse (Chikazumi,Physics of Magn)
ΔE ES − E0 − 2λS ES
=
=
E
E0
5σ i
ES: Mod. Young de
material imanado a
saturación (M= MS)
E0: idem desimanado
σi: tensiones internas
Tensiones internas del material pueden reducirse mediante
tratamientos térmicos. Se puede medir E en función de la
temperatura de recocido (Trec) para el material desimanado y así
tener E vs. σ
−1
E(Trec ) − Eq 2λS ⎡ 1
1 ⎤⎡ 1
2λS ⎤
=
⎢ −
⎥.⎢ +
Eq
5 ⎣σ q σ (Trec ) ⎦ ⎣ ES σ (Trec ) ⎥⎦
Materiales amorfos y nanocristalinos quedan muy tensionados
por el método de producción por lo que este tipo de tratamientos
se torna crucial
EPD:Energía de las paredes de los dominios
Rotación de m entre dominios a 180° implica una incremento de
energía. Se puede estimar que la energía de las paredes de los
dominios debido a esa rotación por unidad de área es
γ = 4( A K 1 )
1
2
k TC K1 ⎞
⎛
= 4⎜
⎟
⎝ a ⎠
Donde A es el parámetro
de canje magnético
k TC
A≈
a
Importante porque si hay pequeñas variaciones de A o K1 dentro
del material (por bordes de grano, segundas fases, inclusiones o
defectos) => δ dependerá de la posición de la pared
Se puede demostrar que
δ = π ⎛⎜ A K ⎞⎟
⎝
1⎠
1
2
kT
⎞⎟
= π ⎛⎜ C
a K1 ⎠
⎝
1
2
Si K1 aumenta δ dsiminuye por lo que lo magnetos permanentes
tienen dominios con paredces delgadas
Propiedades magnéticas intrínsecas aproximadas de un magneto
duro (SmCo5) y uno blando (Fe)
SmCo5
Fe
Unidad
1
1
T
1,1 107
4,7 104
J m-3
Campo de anisotropía HA
2 107
5 104
A m-1
Parámetro de interacción de canje A
2 10-11
2 10-11
J m-1
Energía de la pared γ
5 10-2
5 10-3
J m-2
Ancho de la pared δ
5 10-9
5 10-8
m
Propiedad
Polarización de saturación (μ0M)
Coeficiente de anisotropía K1
Líneas de B confinadas dentro del material ferromagnético si μ sufic. alto
Circuitos magnéticos
A
Despreciando efectos de borde
Si material compuesto por varias
partes de long lj y permeabilidad μj
r r
L
∫ H . dl = ∑ H j l j = N i
i
N
j
r r
r r
∫∫ B . dA = 0 ⇒ φ = ∫∫ B . dA = B A = μ H A = cte
lj
Hj =
φ
μ j Aj
∑
j
En nuestro caso
B A=
Ni
l
+
L
μ A μ0 A
B=
φ
A
φ
μ j Aj
lj = N i
φ R = f mm
fmm: fuerza magnetomotriz
R: reluctancia
Con geometría de
las piezas polares
se puede contro-lar
intensidad de B
φ R = fmm
R=∑
lj
μ jS
Ec. formalmente igual a la de Ohm; R (reluctancia;
∝1/μ) mide la resistencia del material al flujo magnético => lineas de campo se concentran en las
zonas de mayor permeabilidad
lj
N i = φ∑
j μ j Aj
⇒
μ
f mm = φ R
Se puede usar la misma
metodología de cálculo que
se emplea en circuitos
Reluctancias en serie
φ R = f mm
dl
Ni = φ ∫
μS
Reluctancias en serie
lj
⎛ dl
dl ⎞
⇒ f mm = φ R ⇒ Ni = φ ⎜ ∫
+ ∫
+⎟
N i = φ∑
j μj Sj
⎝ C1 μ1S C2 μ 2 S ⎠
Reluctancias en paralelo
Ni = φ1R1 + φ2 R2
Ni = φ1R1 + φ3 R3
φ1 = φ2 + φ3
⇒ φ 2 R 2 = φ 3 R3
φ R = f mm
Ni = φ ∫
dl
μS
R2
R1R3 + R1R2 + R3 R2
Ni = (φ2 + φ3 )R1 + φ2 R2 = (φ2 + φ2 ) R1 + φ2 R2 ⇒ Ni = φ2
R3
R3
R3
R1R3 + R1R2 + R3 R2
Ni = (φ2 + φ3 )R1 + φ3 R3 = (φ3 + φ3 ) R1 + φ3 R3 ⇒ Ni = φ3
R2
R2
Imanes permanentes Al quitar i el material queda magnetizado
M=0
B=0
H=0
M
H=0
B
M=0
H=0
B=0
Con entrehierro, M en material no cambia y en e-h M=0; B producido por im
que se redujo en Δim=(Δθ/2π)im) cambia poco en el material si Δθ es chico
respecto al valor anterior (μ0M) y fuera idem, salvo distorsión
M
a
B
h
B
b
Que pasa con H en el material?
Condiciones de borde
r r
∫∫ B.dS = 0 ⇒
B1
a
Bn1 = Bn 2
B2
r r
∃i ⇒ ∫∫ H .dl = 0 ⇒ a → 0
H1
a
a→0
H2
H n1 = H n 2
M
a
b
B
Como no hay i y material magnetizado
r r
r r
r r
h
Ni = ∫ H .dl = 0 = ∫mat H .dl + ∫e − h H .dl
B
H (2πr − h ) + H 0 h = 0
r = (a + b) / 2
h
H = −H0
(2πr − h )
B = μ 0 H 0 y BnMat = B0
En e-h H0 tiene la misma dirección que B, por lo que en el material tiene sentido contrario
M
B’≅B
H’
M=0
B=μ0H
H
B Imán
S M
H
N
Si material magnetizado hasta Ms y se corta i, =>H=0 y B=Br
Si ahora
entre-hierro
h
h
r r
hH0
π
=
=
−
+
⇒
=
−
.
0
(
2
)
H
d
l
r
h
H
hH
H
∫
0
2π r − h
hH0
B = B0 ⇒ μ0 ( H + M ) = μ0 H 0 ⇒ −
+ M = H0
2π r − h
h
h
M = (1 +
) H 0 ⇒ H 0 = (1 −
)M
2π r − h
2π r
h
hH0
h
h
(1 −
)M ⇒ H = −
H =−
=−
M
2π r − h
2π r − h
2π r
2π r
2π r
2π r
2π r − h
H ⇒ B = μ0 (H + M ) = μ0 (H −
H ) ⇒ B = −μ0
H
M =−
h
h
h
Esta relación se llama “Recta de Carga” o
“de trabajo” y su pendiente es (-) ya que B
y H tienen sentido contrario en el material.
La existencia del e-h hace que B se corra
de Br hasta P. Cuanto menor sea h más
vertical sera esta recta y más cerca estará
P de Br.. En cambio e-h grandes
disminuirán el flujo en el material ya que
existirá mucho flujo disperso en el e-h
B
2π r − h
= tg recta de trabajo = − μ 0
→ ∞ con h → 0
H
h
Fuerza de imanes
dU
rr
= −m.B ⇒U = −∫∫∫M B dVol cos(M , B) = 1
dVol
h
h
2
)M ⇒U = −∫∫∫M μ0 (1−
) dVol
B = μ0 H0 H0 = (1−
2π r
2π r
h
Vol = (2π rm − h) S ⇒ U = − μ0 M 2 (1 −
h
)(2π r − h) S
2π rm
Si material se deforma Δh por fuerza entre polos U, hay un ΔU
U − Δ U = − μ 0 M 2 (1 −
Δh
h − Δh
h
)Vol = − μ 0 M 2 (1 −
)Vol − μ 0 M 2 (
)Vol
2π rm
2π rm
2π rm
ΔU: trabajo de la fuerza entre polos a lo largo de Δh
Δh
ΔU = μo M
Vol = F Δh
2π rm
2
BS
μ0M Vol
2
≈ μ0M S ≈
F=
2π rm
μ0
2
2
F=
B2S
μ0
Expresión aproximada
Ejemplo: i necesaria para levantar u n coche de P= 3 Tn?
A= 0,6 m, l1= 1 m, l2= 0,7 m, h= 0,01 m, N= 2000,
μr1= 3000, μr2= 1000, S= 100 cm2
2
B 2S
μ0
en los 2 e-h de altura h
material paramagnético
=P
fmm = NI = Φ R
B=
R=
l
π a + 2 l1
2h
+ 2 +
μ1S
μ2S μ0S
N I
N I
=
S R π a + 2 l1 + l 2 + 2 h
μ1
μ2
μ0
2
⎞
⎛
2
⎟ S
⎜
⎛NI⎞ S
NI
= 2⎜
=P
2⎜
⎟
⎟
⎝ S R ⎠ μ0
⎜ ⎛⎜ π a + 2 l1 ⎞⎟ + ⎛⎜ l 2 ⎞⎟ + 2 h ⎟ μ 0
μ1 ⎠ ⎝ μ 2 ⎠
μo ⎠
⎝⎝
I=
⎛ π a + 2 l1
⎞
P
l2
+
+
2
h
⎜
⎟ = 11,9 A
2
μ2r
2 μ 0 S N ⎝ μ1r
⎠
Alnico (Aleación de Al, Ni, Co y Fe) Diversas variantes comerciales
Imanes se producen por
fundición y moldeo, o por
conformado a partir de polvos
y sinterizado
(BH)max de 1,5 a 7,5 MGOe
Baja Hc
Alta resistencia térmica; hasta
550 C