CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS EN LA MATERIA Prof. O. Contreras Al considerar campos dentro de materiales, el campo Eléctrico induce a nivel atómico, Dipolos de Momento Dipolar Eléctrico p ⃗ = q ⃗⃗⃗ ∆l. Si el número de átomos polarizados por unidad de ⃗ como el volumen es n ( concentración ), se define a nivel macroscópico, la Polarización P ⃗ = n⃗⃗⃗p. Dentro del material la densidad de Momento Dipolar Eléctrico por unidad de Volumen P carga constará de dos términos: La densidad de carga inducida por la Polarización ( POL ) y la densidad de carga “normal” o carga libre ( L ), es decir: = L + POL. Se puede demostrar 1 que ρPOL = - ⃗∇ °⃗⃗⃗P. Similarmente los efectos magnéticos inducen, a nivel atómico, Dipolos de Momento Dipolar ⃗⃗ definida como Magnético m ⃗⃗⃗ = I ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆A , que macroscópicamente producen una Magnetización ⃗M ⃗⃗ = n⃗⃗⃗⃗ el Momento Dipolar Magnético por unidad de volumen ⃗M m. Adicional a las corrientes “normales”, llamadas corrientes de conducción o corrientes libres ( JL ), se pueden asociar los efectos de la Magnetización a una Densidad de Corriente de Magnetización ( JMAG ), que se calcula 2 según la ecuación: ⃗ ×M ⃗⃗⃗ . JMAG = ∇ Si la Polarización eléctrica varía con el tiempo se inducen efectos magnéticos asociados a una Densidad de Corriente de Polarización, cuya expresión2 es: JPOL = ⃗ ∂P ∂t Es decir, J = JL + JMAG + JPOL . Los efectos de Polarización y Magnetización debemos considerarlos, a partir de las ecuaciones de Maxwell: ρ ϵ0 ⃗ °⃗⃗⃗B = 0 ∇ ⃗ ∂B ⃗ ×E ⃗ =∇ ∂t ⃗ °E ⃗ = ∇ ⃗∇ ×B ⃗ = μ0 J+ μ0 ϵ0 1 2 ⃗ ∂E ∂t Ver Guía de Polarización (en proceso). Ver Guía de Magnetización. 1 Dentro de la materia, dos de ellas se convierten en: ⃗∇ ° (E ⃗+ ⃗P ρL )= ϵ0 ϵ0 ⃗∇ ×(B ⃗ − μ0 ⃗M ⃗⃗ ) = μ0 JL + μ0 ϵ0 ⃗P ∂ ⃗+ ) (E ∂t ϵ0 ⃗ = ϵ0 E ⃗ +P ⃗ , tradicionalmente llamado Desplazamiento (?) Eléctrico, y el Definiendo el vector D ⃗ = ⃗B − μ0 ⃗M ⃗⃗ , que para distinguirlo del Campo magnético ⃗B, llamaremos Campo vector ⃗H ⃗⃗ , obtenemos: magnético H ⃗∇ ° ⃗D = ρL ⃗∇ ×H ⃗⃗ =JL + ⃗ ∂D ∂t Esta última ecuación indica que para campos estáticos o que varían lentamente con el tiempo ⃗⃗ está relacionado directamente con las corrientes de conducción, que el Campo magnético H ⃗ se usa mucho más que el son muy fáciles de medir con un amperímetro y por lo tanto ⃗H ⃗ . Sin embargo, se considera a B ⃗ un campo magnético fundamental y no a Campo magnético B ⃗⃗ por que la no existencia de monopolos magnéticos, lo cual es una ley fundamental en la H Física, hace que la divergencia de ⃗B sea siempre cero, aún dentro de la materia. Por otra parte ⃗⃗ puede ser diferente de cero. la divergencia de H No sucede lo mismo con ⃗D ya que medir densidades de carga es mucho más difícil y el campo ⃗ se puede relacionar con el voltaje que es más fácil de medir con un voltímetro,3 por eso se E usa mas el Campo eléctrico ⃗E que el ⃗D. Por comparación entre los dos últimos términos de la anterior ecuación se define la corriente de desplazamiento JD = ⃗⃗ ∂D . ∂t Es solo una definición y no corresponde físicamente con ningún movimiento de cargas. Solo estudiaremos materiales simples, es decir materiales homogéneos (su respuesta a los campos dentro del material no depende de la posición), isotrópicos (su respuesta a los campos dentro del material no depende de la dirección) y lineales (su respuesta es proporcional a la magnitud de los campos). En dichos materiales la Polarización es proporcional al campo Eléctrico y la Magnetización al Campo Magnético: ⃗ = ϵ0 χe E ⃗ P ⃗⃗⃗ = χm H ⃗⃗ M 3 Aunque es costumbre llamar al Voltaje la Tensión, el voltímetro y el tensiómetro miden magnitudes diferentes. 2 Las constantes adimensionales e y m se conocen como las susceptibilidades eléctrica y magnética respectivamente y su valor depende del material. Con estas definiciones podemos eliminar la Polarización y la Magnetización de las ecuaciones de Maxwell, ya que: ⃗D = ϵ0 ⃗E + ⃗P = (1 + χe )ϵ0 ⃗E = ϵE ⃗ y ⃗ = μ0 (H ⃗⃗ + M ⃗⃗⃗ ) = (1 + χm )μ0 H ⃗⃗ = μH ⃗⃗ B Los nuevos parámetros ϵ y μ se llaman la permitividad y la permeabilidad del material. En el vacío e y m son cero y por lo tanto ϵ = ϵ0 μ = μ0 . También para materiales lineales la corriente de conducción cumple la ley de Ohm: ⃗ JL = σE Usando estas definiciones, los Campos Eléctrico y Magnético dentro del material simple se obtienen a partir de las siguientes ecuaciones de Maxwell: ρL ϵ ⃗∇ °⃗⃗⃗B = 0 ⃗ ∂B ⃗ ×E ⃗ =∇ ∂t ⃗ °E ⃗ = ∇ ⃗∇ ×B ⃗ = μσE ⃗ +μϵ ⃗ ∂E ∂t Para resolver estas ecuaciones supongamos que los Campos Eléctrico y Magnético corresponden con una onda plana viajando hacia +z: ⃗ = E0 ej(ωt−kz) î = Ex î E ⃗B = B0 ej(ωt−kz) ĵ = By ĵ Así de la tercera ecuación ( ⃗∇ × ⃗E ) obtenemos: k Ex = ω By Y de la cuarta ( ⃗∇ × ⃗B ), usando el anterior resultado, obtenemos la Relación de Dispersión: k 2 = ω2 μ ϵ − j ω μ σ. En general, k = √k 2 , es un número complejo y su parte imaginaria será el coeficiente de amortiguamiento α=-im{k}. Por lo tanto la solución de las ecuaciones de Maxwell en medios materiales corresponde con una onda viajera amortiguada: ⃗ = E0 e−∝z ej(ωt−kr z) î E ⃗B = B0 e−∝z ej(ωt−kr z) ĵ 3 DIELÉCTRICOS. Un material es considerado un Dieléctrico si el término de la corriente de Desplazamiento es mucho mayor que el de conducción: |JD | ≫ |JL | ω2 μ ϵ ≫ ω μ σ En este caso la relación de dispersión queda: k = ω √μ ϵ Y la velocidad de la onda en el dieléctrico: v= ω 1 = k √μ ϵ La impedancia del medio se define como: 𝐙= By By H ϵ = = ω =√ E μ Ex μ By μ k Y la Impedancia del vacío será: ϵ0 𝐙0 = √ = 376,7 Ω μ0 En general para dieléctricos la permeabilidad es prácticamente igual a la del vacío µ0 y de la relación de dispersión para dieléctricos observamos que solo puede haber absorción si la permitividad es compleja: ϵ = ϵ′ − j ϵ′′ Y se llama tangente de pérdidas a la relación: Tg δ = ϵ′′ ϵ′ CONDUCTORES. Para conductores |JD | ≪ |JL | ωμϵ≪ μσ 4 y la relación de dispersión queda4: k 2 = −j ω μ σ Usando que √−j = 1−j , √2 la relación queda: k = (1 − j)√ ωμσ 2 La parte imaginaria de esta ecuación permite definir una distancia característica de penetración de la onda en un conductor, llamada profundidad de penetración o profundidad de piel: δ= 1 2 =√ α ωμσ Nótese que mientras mayor la frecuencia menor es la penetración de la onda (más absorción) y por eso a frecuencias visibles los conductores son opacos, excepto en láminas muy delgadas de espesores comparables con . Note que para frecuencias muy altas ( Como es el caso de rayos ) la inecuación deja de cumplirse y un “conductor a frecuencias normales” se comportará como un dieléctrico a muy alta frecuencia. 4 5