PROBLEMAS DE ÁLGEBRA – NIVEL INTERMEDIO Problema 6, fase local 1999 Se sabe que el polinomio p(x)=x3−x+k tiene tres raíces que son números enteros. Determínese el número k. Problema 1, fase nacional 2000 Sean los polinomios P(x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 1; Q( x ) = x 4 + cx 3 + bx 2 + ax + 1. Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a distinto de c) para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes, y resuelve en ese caso las ecuaciones P(x)=0 y Q(x)=0. Problema 1, fase nacional 2001 Probar que la gráfica del polinomio P(x) es simétrica respecto del punto A de coordenadas (a,b) si y sólo si existe un polinomio Q(x) tal que ( ) P(x ) = b + (x − a )Q ( x − a ) . 2 Problema 1, fase local 2002 Si p es un número real y las raíces de x3+2px2−px+10=0 están en progresión aritmética, halla dichas raíces. Problema 1, fase nacional 2002 Hallar todos los polinomios P(t) de una variable, que cumplen ( ) P x 2 − y 2 = P( x + y )P( x − y ) para todos los números reales x e y. Problemas de Álgebra – nivel intermedio 1/2 Problema 3, fase local 2005 (viernes) Sean x, y, z números reales positivos. 1) Si x + y + z ≥ 3 , ¿se verifica necesariamente que 1 1 1 + + ≤ 3? x y z 2) Si x + y + z ≤ 3 , ¿se verifica necesariamente que 1 1 1 + + ≥ 3? x y z Problema 6, fase local 2007 (viernes) Hallar todas las soluciones reales de la ecuación 3x 2 − x− y + 3y 2 − y− z + 3z 2 −z−x = 1. Problema 5, fase nacional 2007 Sea a≠1 un número real positivo y n un entero mayor que 1. Demostrar que a n + a −n − 2 n < . a + a −1 − 2 2 Problema 4, fase local 2008 (grupo 2º) ¿Qué número es mayor: 999! o 500999? Justifica tu respuesta. Problema 6, fase local 2008 (grupo 3º) Halla todas las ternas (x,y,z) de números reales que son solución de la ecuación ( ) ( ) ( ) ( ) 3x 5 y + 7 z + 5 y 7 z + 3x + 7 z 3x + 5 y = 2 3x + 5 y + 7 z . Problemas de Álgebra – nivel intermedio 2/2