Descomposición en Fracciones Simples Una función de la forma

Matemática I B.U.C. /Cálculo I
Descomposición en Fracciones Simples
P( x)
(donde P(x) y Q(x) son polinomios tales que gr(P)<gr(Q)Ψ)
Q( x)
puede descomponerse en una suma de fracciones simples, de la siguiente forma:
Una función de la forma f ( x) =
I- Si el polinomio Q(x) tiene una raíz real simple (llamémosla a1) o sea, puede escribirse
Q( x) = ( x − a1 ) S ( x) donde a1 no es raíz de S(x) ( S (a1 ) ≠ 0 ), entonces:
A1
P( x)
R( x)
=
+
, donde A1 es un número real **
Q( x) ( x − a1 ) S ( x)
II- Si el polinomio Q(x) tiene una raíz real múltiple de orden k (llamémosla a2) o sea, puede
escribirse Q( x) = ( x − a 2 ) k S ( x) donde a2 no es raíz de S(x) ( S (a 2 ) ≠ 0 ), entonces:
A2 k
A2 k −1
A21
P ( x)
R( x)
...
=
+
+
+
, donde A2k , A2k-1,,..., A21 son números reales
k
k −1
( x − a 2 ) S ( x)
Q( x) ( x − a 2 )
( x − a2 )
**
III- Si el polinomio Q(x) tiene un par de raíces complejas (llamémoslas z 3 = a3 + ib3 y
2
z 3 = a3 − ib3 ) o sea, puede escribirse Q( x) = (( x − a3 ) 2 + b3 ) S ( x) ♣, entonces:
A3 x + B3
P ( x)
R( x)
=
, donde A3 y B3 son números real **
+
2
2
Q( x) ( x − a1 ) + b3
S ( x)
IV- Si el polinomio Q(x) tiene raíces complejas múltiples (cosa que no le deseamos a nadie...), se
combinan los casos 2 y 3
dx
(casos: k=1 y
CONSEJO: Repase polinomios y el cálculo de las siguientes integrales: ∫
( x − a) k
x
dx
k ≠ 1 ), ∫ 2
dx , ∫ 2
.
x +a
x +a
Ψ
Si el gr(P)>gr(Q), entonces P(x) puede escribirse como P ( x) = C ( x)Q( x) + R ( x) , entonces
R( x)
P( x) C ( x)Q( x) + R( x)
=
.
= C ( x) +
Q( x)
Q( x)
Q( x)
**(la forma de descomponer la segunda parte dependerá de las raíces del polinomio S(x))
♣
Si no recuerda por qué, VUELVA A ESTUDIAR FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS!!!
2x − 1
2x − 1
3
−1
+
=
=
x − 3x + 2 ( x − 1)( x − 2) ( x − 1) ( x − 2)
29
69
3
1
x4 + x − 4
5
32
16
32
16
Ej. caso II:
=
+
+
+
+
2
3
2
2
3
x
x
+
−
(
1
)
(
3)
( x + 1) ( x − 3)
( x + 1)
( x − 3)
( x − 3)
x −1
x −1
− x +1
Ej. caso III: 2
= 2
+ 2
2
( x + 1)( x + 2) ( x + 1) ( x + 2)
Ej. caso I:
Varios:
2
−2
1
2
x2 + 2
−1
3
9
9
=
+
+
+
3
3
2
x +1 x − 2
( x + 1) ( x − 2) ( x + 1)
( x + 1)
1
1
1
x
− 2x+ 2
=
+ 2
2
2
( x + 1)( x − 1)
x +1
x −1