CRITERIOS BASICOS — SERIES NUMERICAS • Una serie es una

CRITERIOS BASICOS — SERIES NUMERICAS
• Una serie es una suma infinita, o la suma de una sucesión. Se escribe
∞
X
an , donde la sucesión es {an }, y an se llama el término general de la
n=1
sucesión y de la serie. OJO: No se puede confundir la sucesión con la serie
(que es su suma).
• Las series se clasifican, según su carácter, en
– Convergentes. Si la suma converge a un n. real.
– Divergentes. Si la suma converge a +∞ o −∞.
– Oscilantes. En otro caso.
• Una serie de términos todos del mismo signo sólo puede ser convergente o
divergente. Nunca será oscilante.
∞
X
C. Necesario de convergencia:
n=1
an convergente ⇒ lim an = 0.
n→∞
• Nótese que según lo anterior, si lim an 6= 0, entonces la serie
n→∞
es convergente.
∞
X
an NO
n=1
• Este criterio, puede ser lo primero que comprobemos en un problema de
series.
C. de Cauchy o de la raı́z: Sea
∞
X
an un s.t.p. y λ = lim
√
n
an .
n→∞
n=1
•
λ<1⇒
∞
X
an converge.
n=1
λ>1⇒
C. de D’Alember o del cociente: Sea
∞
X
n=1
∞
X
an un s.t.p. y λ = lim
n=1
•
λ<1⇒
∞
X
n=1
an converge.
λ>1⇒
1
an diverge. λ = 1 ⇒ ?.
∞
X
n=1
n→∞
an+1
.
an
an diverge. λ = 1 ⇒ ?.
C. de Raabe: Sea
∞
X
an un s.t.p. y
λ = lim
n→∞
n=1
•
λ>1⇒
∞
X
an converge.
n=1
C. de comparación: Sean
tales que an ≤ bn para todo n
•
∞
X
n=1
λ<1⇒
∞
X
bn converge ⇒
∞
X
an y
n=1
≥ n0 ,
∞
X
n→∞
n=1
1−
an+1
an
n.
an diverge. λ = 1 ⇒ ?.
bn dos series de términos positivos
n=1
entonces:
an converge.
n=1
∞
X
n=1
C. de comparación asintótica: Sean
positivos y sea L = lim
∞
X
∞
X
an diverge ⇒
an y
bn diverge.
n=1
bn dos series de términos
n=1
n=1
an
bn
∞
X
∞
X
• Si L ∈ R y L 6= 0, entonces ambas series tienen igual carácter.
• Si L = 0, entonces
∞
X
n=1
∞
X
bn converge ⇒
an converge.
n=1
∞
X
n=1
an diverge ⇒
∞
X
bn diverge.
∞
X
bn converge.
n=1
• Si L = +∞, entonces
∞
X
n=1
bn diverge ⇒
∞
X
an diverge.
n=1
∞
X
n=1
C. de Pringsheim o del producto: Sea
an converge ⇒
∞
X
n=1
•
n=1
an s.t.p., p ∈ R y
λ = lim an np .
n→∞
Si λ 6= 0 y p > 1 ⇒ la serie converge; si p ≤ 1 ⇒ la serie diverge.
• Si λ = 0 y p > 1
⇒ la serie converge.
• Si λ = +∞ y p 6= 1
⇒ la serie diverge.
Nótese que el criterio de Pingsheim no es más que el criterio de comparación
con la serie armónica generalizada.
2