022 1. Use el criterio inte

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
CRITERIO DE LA INTEGRAL
MAT - 022
1. Use el criterio integral para determinar si las series convergen o divergen.
a)
∞
P
n=1
1
∞
P
; b)
n1,1
n=2
1
n ln n
; c)
∞
P
n=1
ln n
n
∞
P
; d)
n=1
n
n2 +1
1
Respuestas: Sea f (x) = x1,1 , continua y positiva para x ≥ 1 y decreciente.
¯b
R +∞ 1
−0,1 ¯
Como 1 x1,1
dx = x−0,1 ¯ ; b → +∞. → 0
1
∞
P
1
Por lo tanto,
converge
n1,1
n=1
b)
∞
P
n=2
1
n ln n
; sea f (x) =
1
.
x ln x
Es una función continua positiva y decreciente para x ≥ 2.
R +∞
Como
c)
∞
P
2
1
dx
x ln x
∞
P
n=2
1
n ln n
diverge.
ln n
n
; sea f (x) = lnxx función continua, positiva y decreciente para
¯b
¯b
R +∞
x ≥ e; como 3 lnxx dx = 12 ln x¯3 , b → ∞ y 21 ln x¯3 → diverge, en∞
P
ln n
diverge.
tonces
n
n=1
n=3
∞
P
Por lo tanto,
n=1
d)
→ +∞, la suma
∞
P
n=0
n
;
n2 +1
ln n
,
n
diverge.
sea f (x) x2x+1 , que es una función continua y positiva y decre-
ciente para x ≥ 1.
∞
∞
P
P
n
n
Como
=
, aplicamos el test de la integridad y tenemos
n2 +1
n2 +1
n=0
n=1
R +∞ x
dx diverge
x2 +1
1
∞
P
Por lo tanto,
n=0
2.
n
n2 +1
diverge.
a) Calcule la suma de los primeros cuatro términos de la serie con cuatro
cifras decimales, (b) halle cotas inferiores y superiores del error R4 , (c)
combine (a) y (b) para estimar la suma de la serie.
i)
ii)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
1
n3
1
n2 +1
2
Respuestas:
i)
a) S4 = 1 + 18 +
b)
1
50
R∞
=
5
1
27
1
dx
x3
1
64
+
a) S4 =
1
2
+ 15 +
R
b) Como
1
10
1
dx
x2 +1
+
R∞
1
dx
5 x2 +1
π
−1
− tan 4
2
1
50
1
17
1
dx
x3
4
∞
P
<
n=1
1
n3
=
1
32
< 1, 1777 +
1
32
< 1, 2090
≈ 0, 8588
= tan−1 x + C , se tiene que
0, 1973 < 0, 1974 ≈
=
=
R∞
< R4 <
c) 1, 1976 = 1, 1776 +
ii)
≈ 1, 1777
π
2
− tan−1 5
R∞
< R4 < 4
< 0, 2450.
1
x2 +1
dx
c) 1, 0561 = 0, 8588 + 0, 1973
<
∞
P
n=1
1
n2 +1
< 0, 8589 + 0, 2450 = 1, 1039
3.
P∞
1
n=1 n2 ,
a) Si se usara S100 para estimar
del error R100 ?
¿qué podrı́a decir acerca
b) ¿Qué tan grande elegirı́a n para estar seguro que el error Rn es
menor que 0,0001?
Respuestas:
a)
R∞
1
dx
101 x2
< R100 <
R∞
1
dx;
100 x2
b) Si n ≥ 10,000 entonces Rn <
esto es,
R∞
n
1
101
1
dx
x2
≤
< R100 <
R∞
1
.
100
1
dx
10,000 x2
= 0, 0001.
4. ¿Qué dice del criterio de la integral acerca de la serie geométrica
cuando 0 < k < 1?
R∞
1
5.
k x dx =
kx ∞
|
ln k 1
=
−k
,
ln k
ası́
∞
P
P∞
n=1
kn,
k n converge para 0 < k < 1
n=1
a) Mediante la comparación de la suma con integrales, demuestre que
1
1
1
1
< 100
+ 101
+ 102
+ · · · + 200
< ln 200
.
ln 201
100
99
b) Demuestre que lı́mn→x
P2n
l
i=n i
= ln 2.
3
Respuestas:
De la siguiente figura
Z
2n+1
n
1
1
1
1
dx < +
+···+
<
x
n n+1
2n
esto es ln(2n + 1) − ln n <
1
n
+
1
n+1
+···+
Z
2n
n−1
1
2n
1
dx
x
< ln 2n − ln(n − 1).
Podemos simplificar
µ
¶
µ
¶
2n + 1
2n
1
1
1
ln
< +
+···+
< ln
n
n n+1
2n
n−1
Luego si n = 100
ln
201
1
1
1
200
<
+
+···+
< ln
100
100 101
200
99
formando el lı́mite n → ∞,
2n
P
1
n→+∞ i=n i
se tiene ln 2 ≤ lı́m
2n
P
1
n→+∞ i=n i
Por lo tanto, lı́m
≤ ln 2
= ln 2
CRITERIO DE COMPARACIÓN
1. Estudie las series
a)
∞
P
n=1
e)
∞
P
n=1
1
;
n2 +3
n2
;
3n
f)
b)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
1
;
nn
sen2 n
;
n2
g)
∞
P
n=1
c)
∞
P
n=1
4n+1
;
(2n+3)n2
5n+1
;
(n+2)n2
h)
∞
P
n=2
d)
∞
P
n=1
1
;
ln n
n+1√
(5n+2) n
i)
∞ ¡
¢
P
n+1 n
n=1
n+3
4
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=1
1
n2 +3
sen2 n
n2
converge pues
5n+1
(n+2)n2
1
n2
≤
sen2 n
n2
n→∞
2,9n
3n
<
1
n2
y
n=1
∞
P
y
converge (p = 2)
1
n2
n=1
=
1
5
2,9n
3n
verge pues serie geométrica con razón < 1.
f)
g)
h)
∞
P
n=1
∞
P
n=1
∞
P
n=2
∞
P
i)
1
nn
4n+1
(2n+3)n2
1
ln n
√1
n
n=2
∞ ¡
P
n=1
converge pues
1
nn
≤
1
n2
n→∞
diverge ⇒
∞
P
n=2
1
ln n
∞
P
n=1
converge pues lı́m
diverge pues ln n <
¢
n+1 n
n+3
y
√
converge (p = 2)
∞
P
=5y
n+1√
(5n+2) n
√1
n
diverge pues lı́m
n2
3n
n=1
∞
P
(n+1)
(n+2)n2
1
n2
n→∞
converge pues
∞
P
y
1
n2
≤
converge pues lı́m
n+1√
(5n+2) n
n2
3n
1
n2 +3
converge pues
1
n2
4n+1
(2n+3)n2
1
n2
1
n2
converge
n=1
∞
P
√1 diverge.
n
n=1
∞ ¡
¢
P
2,9 n
=
con3
n=1
y
converge
=2y
∞
P
n=1
n y entonces
√1
n
1
n2
<
converge.
1
ln n
pero
diverge
diverge pues lı́m
n→∞
¡ n+1 ¢n
n+3
=
1
e2
6= 0
2. Demueste el siguiente resultado, que se usa en la teorı́a estadı́stica
de proceso estocásticos:PSean an y cn dos sucesiones de números
∞
no negativos
P∞ tales2 que n=1 an cn converge y lı́mn→∞ cn = 0. Entonces, n=1 an cn converge.
Como lı́mn→+∞ cn = 0, entonces existe N ∈ Z tal que 0 ≤ cn < 1,
∀n ≥ N .
Entonces an c2n ≤ an cn para n ≥ N .
∞
∞
∞
P
P
P
an c2n y
an c2n también conComo
an cn converge, luego
n=1
n=N
n=N
vergen.
3. Halle el número especı́fico B, expresado como decimal, tal que
∞
X
n+2
n=1
Sea f (x) =
1
< B.
n + 1 n3
·
x+2
(x+1)x3
función continua positiva y decreciente para
5
P
n+2
5
3
7
x > 0, entonces S5 =
· 1 = 32 + 16 + 108
+ 160
+ 750
≈ 1,741
n+1 n3
Luego Rn <
R +∞
n
n=1
x+2
dx
(x+1)x3
=
5
R ∞ £ −1
+
2
x3
[− ln(x + 1) + ln x +
1
x
x+1
n
1
n2
−
1
n
1
x
+
+
−1
x2
¤
dx =
−
1 ∞
]|
x2 n
=
n
− ln n+1
, ası́ R5 < 0, 023.
∞
P
Luego,
n+2
(n+1)n3
n=1
< 1, 741 + 0, 023 = 1,764
CRITERIO DEL CUOCIENTE
1. Estudie las series
∞
P
a)
d)
n=0
∞
P
n2
;
3n
n=1
nn
3n2
∞
P
b)
;
e)
n=1
∞
P
n ln n
;
3n
n=1
∞
P
c)
n=1
n2
;
2n
∞
P
f)
(2n+1)(2n +1)
;
3n +1
n3
;
n!
n=1
g)
∞
P
n=2
1
n2 −1
Respuestas:
a)
∞
P
n2
; lı́m an +1
3n n→∞ an
n=0
1
3
b)
c)
e)
¡ n+1 ¢
n
2=
< 1; converge
∞
P
ln(n+1) 3n
n ln n
; lı́m ana+1
= lı́m (n+1)3n+1
· n ln n = 13 < 1; converge
3n
n
n→∞
n→∞
n=1
∞
P
n+1 +1)
(2n+1)(2n +1)
3n +1
; lı́m an+1
= lı́m (2(n+1)+1)(2
· (2n+1)(2
n+1 +1
n +1) =
3n +1
a
3
n
n→∞
n→∞
n=1
2+ 1
1+ 1
lı́m 2n+3
· 1+ 21n · 3+ 31n =
2n+1
n→∞
2n
3n
1·2·
d)
1
n→∞ 3
= lı́m
1
3
=
2
3
(2n+1)(2n +1)
3n +1
n→∞
< 1 lı́m
³
∞
P
converge.
´1
1
n
n
nn
= lı́m 3nn = lı́m 3n 1ln 3 =
; lı́m (a ) n = lı́m 3nn2
3n2 n→∞ n
n→∞
n→∞
n→∞
n=1
∞
P
nn
0 < 1, ası́
converge.
3n2
n=1
∞
∞
∞
∞
P
P
P
P
1,5n
n2
n2
; n2 < 1, 5n para n ≥ 13, ası́
<
=
(0, 75)n
2n
2n
2n
n=13
n=13
n=13
n=1
=
0,7513
1−0,75
< 0, 095
36
169
Por lo tanto S13 = 12 + 44 + 98 + 16
+ 25
+ 64
+· · ·+ 8192
≈ 5, 972,
16
32
ası́
∞
P
n=1
f)
∞
P
n3
;
n!
n=1
83
≈
8!
n2
2n
< 5, 972 + 0, 095 = 6, 067.
nótese que
63
6!
=
0, 0127 < (0, 3)3,
93
9!
6·6·6
6·5·4·3·2
= 0, 3,
73
7!
= 0, 068 < (0, 3)2 ,
≈ 0, 002 < (0, 3)4
6
Entonces,
∞
P
n=6
Luego, S5 =
y
∞
P
n=1
n3
n!
1
1
n3
n!
<
+
8
2!
∞
P
(0, 3)n−1 =
n=6
+
27
3!
+
64
4!
+
0,35
1−0,3
125
5!
< 0, 0035
≈ 13, 2083
< 13, 2083 + 0, 0035 = 13, 2118
g) La función
para x > 1
∞
P
n=2
1
n2 −1
f (x) = x21−1 es continua, positiva y decreciente
i
−1
R∞ 1
R ∞ h 21
2
y Rn < n x2 −1 dx = n x−1 + x+1 dx
¤ ∞
¡ x−1 ¢ b
1
1
=
lı́m
ln(x
−
1)
−
ln(x
+
1)
|
ln
|n = − 12 ln n−1
.
n
2
2
x+1
n+1
b→∞ 2
∞
P 1
1
Si n = 4 entonces, R4 < 0, 255 y
< 13 + 18 + 15
+
n2 −1
=
£1
n=2
0, 255 = 0, 780.
2. Demostración del criterio de la raı́z
√
a) Suponga que lı́mn→∞ n pn = L < 1. Tome cualquier r, L <
√
r < 1, y luego un N tal que n pn < r para n > N .
Demuestre que pn < rn para n > N y compare una cola de
P
∞
n=1 pn con una serie geométrica.
√
b) Suponga que lı́mn→∞ n pn = L > 1. Tome cualquier número
√
r, l < r < L, luego un N al que n pn > r para n > N . Den
muestre
P∞ que pn > r para n > N . A partir de esto concluya
que n=1 pn diverge.
Respuestas:
1
a) Dado que (pn ) n < r para n > N , se tiene pn < rn para
n > N . Entonces pN +1 < rN +1 , pN +2 < rN +2 , pN +3 <
∞
P
pn = pN +1 + pN +2 + pN +3 + · · · <
rN +3 · · · de manera
n=N +1
N +1
rN +1 + rN +2 · · · = r1−r < ∞
∞
P
Por lo tanto
pn converge.
n=1
1
n
> r > 1 para n > N , se tiene pn > 1n = 1,
∞
P
∀n > N , entonces lı́m pn ≥ 1 y
pn diverge.
b) Como (pn )
n→∞
/mev
n=1