Solución taller 1 - Universidad Icesi

Universidad Icesi
Departamento de Matemáticas y Estadı́stica
Solución del primer examen parcial del curso Algebra y funciones
Grupo: Diecisiete
Perı́odo: Final del año 2004
Prof: Rubén D. Nieto C.
PUNTO 1. Simplifique la expresión y elimine cualquier exponente negativo. Suponga que todas las letras indican números
positivos.
3/2
2 −3 3 −2 −1 9s t
a b
x b
b)
a)
2/3
−1
2
x
y
a3/2 y 1/3
27 s3 t−4
SOLUCION:
a) Aplicando propiedades de los exponentes, se obtiene:
3/2
9s t
93/2 s3/2 t3/2
27 s3/2 t3/2
3 t 3/2+8/3
3 t 25/6
2/3 =
2/3
2/3 = 9 s2 t−8/3 = s4/2−3/2 = s1/2
272/3 s3
27 s3 t−4
t−4
∴
3/2
9s t
3 t 25/6
2/3 = s1/2
27 s3 t−4
a) Aplicando propiedades de los exponentes, resulta:
2 −3 3 −2 −1 x b
a6 b−9 x−2 b−1
a6−3/2 b−9−1 x3−2
a9/2 x
a b
=
=
=
x−1 y 2
a3/2 y 1/3
x−3 y 6 a3/2 y 1/3
y 6+1/3
b10 y 19/3
a2 b−3
x−1 y 2
3
=
∴
a9/2 x
y 19/3
b10
PUNTO 2.
a) Simplifique las expresiones.
I
1 − (x + h) 1 − x
−
2 + (x + h) 2 + x
h
s
I
1+
√
x
1 − x2
b) Racionalice el numerador.
p
x2 + 1 − x
SOLUCION:
a)
I Aplicando propiedades algebraicas, se sigue:
1 − (x + h) 1 − x
−
(2 + x)(1 − x − h) + (x − 1)(2 + x + h)
2 + (x + h) 2 + x
=
h
h (2 + x) (2 + x + h)
1
∴
2
1 − (x + h) 1 − x
−
2 − 2 x − 2 h + x − x2 − x h + 2 x + x2 + x h − 2 − x − h
−3 h
2 + (x + h) 2 + x
=
=
h
h (2 + x) (2 + x + h)
h (2 + x) (2 + x + h)
1 − (x + h) 1 − x
−
−3
2 + (x + h) 2 + x
=
h
(2 + x) (2 + x + h)
I Aplicando propiedades algebraicas, se obtiene:
s
r
r
√
2 r
1 − x2 + x2
1
1
x
x2
1
√
1+ √
= 1+
=
=
=
=√
1 − x2
1 − x2
1 − x2
1 − x2
1 − x2
1 − x2
s
1+
√
x
1 − x2
2
=√
1
1 − x2
b) Aplicando propiedades de los radicales, resulta:
√
√
√
2+1−x
2+1+x
p
2+1−x
x
x
x2 + 1 − x2
1
x
√
=
x2 + 1 − x =
=√
=√
1
1×
x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
x2 + 1 + x
p
x2 + 1 − x = √
x2
∴
∴
1
+1+x
PUNTO 3. Resuelva la ecuación para la variable indicada.
ax + b
= 2;
cx + d
a)
para x
b)
1
1
1
+
= ;
s+a s+b
c
para s
SOLUCION:
a) Para resolver la ecuación dada con respecto a la variable x podemos proceder de la siguiente manera:
ax + b
=2
cx + d
∴
a x + b = 2 (c x + d) = 2 c x + 2 d
x=
∴
ax − 2cx = 2d − b
∴
x (a − 2 c) = 2 d − b
2d − b
a − 2c
b) Empleando la fórmula para la solución de la ecuación de segundo grado, podemos proceder ası́:
1
1
1
+
=
s+a s+b
c
∴
1
s+b+s+a
2s + a + b
=
= 2
c
(s + a) (s + b)
s + bs + as + ab
s2 + a s + b s + a b = 2 c s + a c + b c
s =
=
−(a + b − 2 c) ±
p
p
∴
s2 + s (a + b − 2 c) + ab − a c − b c = 0
(a + b − 2 c)2 − 4 (a b − a c − b c)
2
(a + b)2 − 4 (a + b) c + 4 c2 − 4 a b + 4 a c + 4 b c
2
p
(a + b)2 + 4 (c2 − a b)
a b
s=c− − ±
2 2
2
2c − a − b ±
∴
2
∴
∴
∴
∴
PUNTO 4. Resuelva la desigualdad. Exprese la solución en forma de intervalo e ilustre el conjunto solución en la recta
real.
1
2
1
+
<
x x+1
x+2
SOLUCION: De la desigualdad dada se desprende:
1
2
1
+
−
<0
x x+1 x+2
(x + 1) (x + 2) + x (x + 2) − 2 x (x + 1)
<0
x (x + 1) (x + 2)
∴
x2 + 2 x + x + 2 + x2 + 2 x − 2 x2 − 2 x
<0
x (x + 1) (x + 2)
∴
∴
3x + 2
<0
x (x + 1) (x + 2)
De esta última desigualdad, que es equivalente a la dada, podemos construir el siguiente análisis de signos:
Intervalo
(−∞, −2)
(−2, −1)
2
−1, −
3
2
− ,0
3
(0, +∞)
3x + 2
−
−
−
+
+
x
−
−
−
−
+
x+1
−
−
+
+
+
x+2
−
+
+
+
+
3x + 2
x (x + 1) (x + 2)
+
−
+
−
+
Del anterior análisis de signos se concluye que el conjunto solución de dicha desigualdad es:
2
S = −2, −1 ∪ − , 0
3
El cual podemos ilustrar sobre la recta real ası́:
(
-2
)
-1
)
0
(
2
−
3
PUNTO 5. Determine el área de la región externa al cı́rculo x2 + y 2 = 4 y que se encuentra dentro del cı́rculo
x2 + y 2 − 4 y − 12 = 0
SOLUCION: Completando cuadrados en la ecuación del segundo cı́rculo, se obtiene:
x2 + y 2 − 4 y − 12 = 0
∴
x2 + (y − 2)2 − 12 = 4
x2 + y 2 − 4 y + 22 − 12 = 22
∴
x2 + (y − 2)2 = 16
x2 + (y − 2)2 = 42
3
∴
∴
De esta última ecuación para el segundo cı́rculo se desprende que tiene su centro en el punto (0, 2) y un radio de 4 unidades
de longitud. Como el primer cı́rculo tiene su centro en el origen y un radio de 2 unidades de longitud, podemos dibujar
ambos cı́rculos, en efecto:
6
4
2
-4
-2
2
4
-2
Como el área de un cı́rculo de radio r viene dada por:
área = π r2
y se trata de calcular el área de color azul de la figura, que es el área del segundo cı́rculo menos el área del primero, porque
el primer cı́rculo está totalmente incluido en el segundo, se concluye:
área pedida = π 42 − π 22 = 16 π − 4 π = 12 π
área pedida = 12 π ≈ 37.699112
4
∴