1 Modelo de Malthus. E: La población de una - Canek

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Modelo de Malthus.
E: La población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a sí misma. Si la
población inicial es de 2 000 y aumenta 10% en 5 años:
a. ¿Cuál será la población en t años?
b. ¿Qué porcentaje habrá aumentado en 10 años?
c. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población sea de 20 000 personas?
D: H Si P .t/ es la población de la comunidad después de t años, entonces P .t/ está dada por la
solución del problema:
P 0 .t/ D kP .t/; con P .0/ D 2 000 y además P .5/ D 2 200:
Resolvemos el problema:
a.
P 0 .t/
P .t/ D kP .t/ )
Dk )
P .t/
) P .t/ D C e kt :
0
Z
P 0 .t/
dt D k
P .t/
Z
dt ) ln P .t/ D k t C C )
Usando lo anterior se tiene:
P .0/ D 2 000 ) C e 0 D 2 000 ) C D 2 000 ) P .t/ D 2 000e kt :
Por lo cual
P .5/ D 2 200 ) 2 000e 5k D 2 200 ) e 5k D
)k D
2 200
D 1:1 ) 5k D ln.1:1/ )
2 000
ln 1:1
D 0:01906 ) P .t/ D 2 000e .0:01906/t ;
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que es la población después de t años.
b. La población al cabo de 10 años será
P .10/ D 2 000e .0:01906/.10/ D 2 000e 0:1906 D 2419:95 ) P .10/ D 2 420:
El aumento en 10 años será de 420. El porcentaje que habrá aumentado es
420
42 000
.100/% D
% D 21%:
P0
2 000
c.
P .t/ D 20 000 ) 2 000e .0:019062/t D 20 000 ) e .0:019062/t D 10 ) .0:019062/t D ln 10 )
ln 10
) tD
D 120:7945 ) t D 120 años, 290 días.
0:019062
1. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010