Dada la función f(x) = 4 – x2 , se pide: (a) Encuentra la primitiva F de

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59.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – julio 2012
Dada la función f(x) = 4 – x2 , se pide:
(a) Encuentra la primitiva F de f verificando que F(3) = 5.
(b) Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva
y el eje X entre x = 1 y x = 3.
RESOLUCIÓN apartado (a)
Dada una función f(x), se denomina función primitiva de ésta a otra función F(x), derivable
en todo el dominio de f(x), tal que F'(x) coincida con el valor de f(x) en dichos puntos.
F(x) = ¿?
F ’(x) = f(x)
f(x) = 4 – x2
Calculemos la primitiva F(x)
∫ (4 – x2 ) dx =
= ∫ 4 dx – ∫ x2 dx
3
= 4x –
x
3
F(x) = 4x –
F(3) = 5
=
→
x3
+k
3
33
+k=5
3
12 – 9 + k = 5
k=5–3
k=2
La primitiva F(x) que verifica las condiciones del enunciado sería:
→
4·3 –
F(x) = 4x –
x3
+2
3
RESOLUCIÓN apartado (b)
Representa gráficamente la función f y calcula el área limitada por la curva y el eje X entre
x = 1 y x = 3.
f(x) = 4 – x2 se trata de una parábola. Obtenemos la tabla de valores y, ayudándonos de las
propiedades obvias del estudio local, representamos la función.
f(x) = 4 – x2
V(–b/2a, y) → V (0, y)
y = 4 – x2
x
y
0
4
–2
0
–1
3
1
3
2
0
Vértice (0, 4)
 Abel Martín
Del aula a la PAU
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Esbozo de la gráfica y visualización de la curva y el eje X entre x = 1 y x = 3
Aunque en la tabla de valores ya vemos los puntos de corte con el eje OX (y = 0), si lo
hacemos algebraicamente, dichos puntos serían para 4 – x2 = 0
– x2 = – 4
x2 = 4
x1 = – 2 ; x2 = 2
Como llevamos manifestando a lo largo del capítulo, en las pruebas PAU de Asturias
utilizaremos el método de lápiz y papel, aunque en el aula podremos auxiliarnos de una
calculadora gráfica que incluso nos permitirá ir comprobando las posibles soluciones obtenidas.
S1 →
2
∫1
(4 – x2 ) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
2
x3
]1=
= [4x –
3
Integrales. Aplicaciones
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13
] – [4·1 –
]=
3
3
= [4·2 –
=8–
3
8
1
–4+
= 5/3 ≅ 1.66667
3
3
S1 = 1.66667 u2
S2 →
3
∫2
(4 – x2 ) dx
Aplicamos la Regla de Barrow
3
x3
= [4x –
] 2=
3
= [4·3 –
33
23
] – [4·2 –
]=
3
3
= 12 – 9 – 8 +
8
= – 7/3 ≅ – 2.3333
3
S2 = 2.33333 u2
ST = S1 + S2
ST = 1.66667 u2 + 2.33333 u2 = 4 u2
VISUALIZACIÓN Y CÁLCULO DIRECTO CON CALCULADORA GRÁFICA
Simplemente bastará con representar directamente el valor absoluto de la función:
Una vez que conocemos la gráfica de la función, es sencillo comprobar los resultados
obtenidos si tenemos unos mínimos conocimientos teóricos matemáticos....
Comprobación directa con la
calculadora científica:
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Calcular la primitiva: 0.75 puntos (b) Representar la función: 1. Calcular el área: 0.75 puntos.
 Abel Martín