Cadenas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
Curso: FISICA I CB 302U
20010I
Profesor: Lic. JOAQUIN SALCEDO jsalcedo@uni.edu.pe
Tema: Cadenas
Una cuerda de longitud L y masa M, se desliza sin rozamiento sobre una
mesa. Hallar el desplazamiento en función del tiempo x(t)
t = 0 x = x0 y v = 0
:
Si se ha desplazado x la masa que cuelga
m
(
M
x)
L
Por la IILN
F
Ma
d 2x
M
dt 2
mg
M
xg
L
d 2x
M
dt 2
Simplificando y agrupando
d 2x
dt 2
g
x
L
0
(*)
Aquí tenemos una ED de segundo orden
Sea x
x e pt
x ' pe pt
x '' p 2e p t
Sustituyendo en la ED (*)
g
L
p2
g
L
p
La solución es una CL de las dos soluciones
x
Ae
g
t
L
Be
g
t
L
A y B son constantes que lo podemos hallar con las CI
A
B
x0
2
Con lo cual tienes
Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky , Benson , Ohanian –Markert
http://es.wikipedia.org/
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x
g
t)
L
x0 cosh(
Una cadena uniforme de longitud 2L, inextensible, esta colgado de un
clavo liso. La cuerda se desplaza de su posición de equilibrio.
a) Halla la velocidad de la cuerda
b) Halla la velocidad de la cuerda al abandonar el clavo
Si se desplaza x en un lado en el otro queda 2L-x
IILN
Para el lado que desplazo x
M
xg
2L
M
xa
2L
T
Para el lado opuesto
M
(2 L
2L
T
M
(2 L
2L
x) g
x) a
Suma y obtienes
(x
a
L)
L
g
Aplicamos regla de la cadena
dv
dt
a
dv dx
dx dt
v
dv
dx
(x
L)
L
g
Separando variables y evaluando en las condiciones iniciales
vdv
v
0
vdv
(x
L)
L
g
L
x
L
g dx
(x
L) dx
v2
2
g x2
(
L 2
a) La velocidad de la cuerda en cualquier posición es
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Lx ) Lx
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g 2
(x
L
v
L2 )
2 xL
b) Finalmente si x = 2L
una cadena homogénea de longitud 2L se halla situado en una polea que
se encuentra en la parte superior de dos planos inclinados. Asuma que no
hay rozamiento. Por un extremo se da un pequeño impulso y la cadena se
desplaza hacia la derecha.
a) Cual es su velocidad.
b) Cual es la velocidad cuando abandona la polea
Solución
Aplica la IILN
Para la porción al lado derecho.
M
x sen
2L
g
M
xa
2L
T1
Para la porción al lado derecho
M
(2 L
2L
T2
x) sen
M
(2 L
2L
g
x) a
Como las tensiones son iguales suma y obtienes
a
g
(x
L)
L
sen
Aplica regla de la cadena
dv
dt
a
dv dx
dx dt
v
dv
dx
g
(x
L)
L
sen
Separando variables y evaluando en las condiciones iniciales
vdv
v
0
vdv
g
(x
L)
L
sen
g
sen
L
x
L
(x
dx
L) dx
v2
2
g
x2
sen (
L
2
Lx) Lx
Luego la velocidad de la cuerda en cualquier posición es
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a)
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g
sen ( x 2 2 xL L2 )
L
v
b) Finalmente si x = 2L
v
gL sen
by
En una polea de radio b, se coloca un hilo flexible de longitud L
densidad µ
En sus extremos se colocan don masas m y M. la masa m se encuentra en
la parte mas alta x = 0 y desciende a su posición mas baja (x=L) donde
llega con una velocidad vf
Halla la aceleración despreciando los efectos de la polea
Solución
Por la IILN
En el lado izquierdo
T
mg
(l
x) g
(m
( L x))a
(1)
En el lado derecho
Mg
xg
T
(M
x )a
(2)
Sumando y simplificando
a
g
(M
m
L) 2 x
M m
L
Aplicando regla de la cadena
a
v
vdv
dv
dx
g
(M
m
L) 2 x
M
m
L
dx
Evaluando con las condiciones iniciales
v
0
v2
2
vdv
(M
M
g
m
m
M
L
L
0
(( M
L) L L2 )
m
L
m
v
L)
2
2 x ) dx
2 gL( M
M m
m) a) La
L
velocidad
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2 gL( M
M m
v
m)
L
c) La tensión anulando la aceleración (multiplicando por - (M
ecuación (1) tienes.
(M
x)(T
MT
Mmg
mg
(L
ML
x) g )
M x
(M
xT
( L x)) la ecuación (2) y
(m
xg T ) (m
mMg m xg mT
( L x))( M
2
( L x) Mg
2
xgL
(L
x))a
2
xL
x2
...(3)
x) a
xg ( L x)
mMg m xg mT Mg L Mg x
2
xmg
Multiplicando por (m
( L x))( Mg
x)(m
x) la
( L x)T
2 2
x g
LT T x ...(4)
Sumando las ecuaciones (3) y (4)
MT
mMg
mT
LT
m xg
Mmg
ML M x
2
Mg L Mg x
xmg
2
xL
0
xgL
y factorizando
T
2g
(M
x)(m
M m
(l
L
x))
Una cadena se suelta del reposo en la posición que se muestra. El
coeficiente de rozamiento entre los eslabones y la superficie horizontal es
µ Hallar la velocidad de la cadena cuando el último eslabón abandona el
borde de la mesa.
Solución: la longitud colgada:
Peso que cuelga = fuerza de fricción
M
L
bg
N
( L b) g
b
L
1
Cuando la cadena se desplaza x aplica la IILN
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F Ma
xg
dv
dt
( L x) g M
Lv
dv
dx
Agrupa términos semejantes
(x
L
vdv
g
( L x)) dx
Integramos tomando limites las condiciones iniciales v = 0 cuando x=b
L
b
(x
x2
2
L2
2
(L
x)) dx
( Lx
x2
)
2
2
(L
L
g
L
b
v
0
vdv
L v2
g 2
L2
b2
) (
2
2
b2
)
2
( Lb
L v2
g 2
Sustituyendo el valor de b tienes:
L2
2
2
(L
L2 1 L 2
) ( (
)
2 21
( L(
1
L
1 L 2 L v2
) (
))
21
g 2
Simplifica para tener
v
gL
1
Considerando las poleas ideales (sin masa ni fricción)
Halla la tensión y las aceleraciones
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