Un fotón Ɣ de 5 MeV genera un par de electrón

Un fotón Ɣ de 5 MeV genera un par de electrón-positrón en las proximidades de un
núcleo pesado, inicialmente en reposo. Suponiendo que estas partículas se reparten
por igual el exceso de energía, calcúlese la energía cinética de e, e y su velocidad.
Este ejercicio está basado en la teoría de producción y aniquilación de pares.
Para calcular la energía cinética del electrón y el positrón vamos a tener en cuenta que la
energía del fotón es igual a la suma de las energías del electrón y del positrón:
E = hυ = E− + E+ = (m0 c 2 + k+ ) + (m0 c 2 + k− )
Según el problema las partículas se reparten por igual el exceso de energía, es
decir, que las energías cinéticas de ambas partículas es la misma ( k− = k+ ) Además
sabemos que las masas del electrón y del positrón son iguales por tanto la expresión
anterior nos queda de la siguiente manera:
E = E− + E+ = 2k + 2m0 c 2
De esta expresión deducimos el valor de la energía cinética:
=
k
E − 2m0 c 2 5MeV − 1.022 MeV
=
= 1.99 MeV
2
2
Lo siguiente que se nos pide en el problema es el cálculo de la velocidad. Para ello,
usaremos la física relativista. Lo que haremos es primero calcular la energía total del
electrón, al ser las masas y la energía cinética iguales, da lo mismo coger el electrón o el
positrón. A continuación, calcularemos el momento lineal relativista y por medio de una
expresión relativista que nos relaciona la velocidad, la energía total y el momento lineal
obtendremos el valor de la velocidad del electrón que será la misma para el positrón.
La energía y momento relativista
=
E
p=
p 2c 2 + m2c 4
=
E 2 p 2c 2 + m2c 4
o
mv
2
v
1−  
c
Por tanto sustituyendo p en E :
=
E
2
m2v 2c 2
v
1−  
c
2
+m c

2 4
E2
v2
=
+1
m2 c 4 c 2 − v 2

m2v 2c 4
E
=
+ m2c 4
2
2
c −v
2
 E2
 2 2
v2
 2 4 − 1 ( c − v ) =
m c

E2
E 2v 2
2
− c =2 4
m2c 2
mc

 m2c 4 
=
v 2 c 2 1 − 2 
E 


2 4
 E2
2  m c 
=
v  2 2 − c  2 
m c
 E 
2
=
v
c
E 2 − m2c 4
E
c
=
v
E 2 − m2c 4
E
Sustituimos los valores numéricos:
Sabiendo que :
E
= m0 c 2 + =
k 2.5MeV E
= m0 c 2 + =
k 2.5MeV
v
=
c
2.50 MeV
Daniel Díaz Simón
Borja Valcárcel Gómez
(2.50 MeV ) 2 − (0.511MeV ) 2  0.98c