SESION DE APRENDIZAJE N° 9

Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO ESTADÍSTICA APLICADA
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS
LECTURA 08: PRUEBA DE HIPOTESIS (PARTE II)
TEMA 17: PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION POBLACIONAL
1. INTRODUCCION
Muchas decisiones en el área económico financiero dependen de la proporción o
porcentaje de la población que se ajusta a alguna característica. Por ejemplo un
geente de una empresa puede estar interresado en conocer si el porcentaje de
trabajadores que opinan que el clima laboral es el adecuado, un candidato político
puede estar interesado en conocer si más del 60% de la población votaría por el, los
analistas económicos pueden estar interesados en conocer el porcentaje de
personas desempleadas en el país, etc.Podrían mencionarse muchos ejemplos más
El procedimiento para la prueba de hipótesis para la proporción poblacional es
similar al señalado por la media poblacional.
Se presentan los siguientes casos, en muestras grandes (n ≥ 30).
CASO I:
•
Población infinita, cualquiera que sea el tipo de muestreo.
•
Población finita, si el muestreo es con reemplazamiento.
Pasos de una prueba de Hipótesis para la proporción poblacional:
1.
Formulación de hipótesis estadística:
a) Ho: P ≥ P
H1: P < Po
b) Ho: P ≤ Po
c) Ho: P = Po
H1: P > Po
H1: P ≠ Po
2.
Nivel de significancia: α
3.
Estadística de prueba:
Z=
4.
p − P0
P0 × Q 0
n
→ n (0,1)
Establecimiento de los criterios de decisión:
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Elaborado por
: Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Setiembre 2010
Versión
:2
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•
Prueba de cola izquierda :
1- α
α
0
-Z1- α
R.A.
R.R
R.A.: ZK > - Z1- α , se acepta H O.
R.R.: ZK < - Z1- α , se rechaza H O.
●
Prueba de cola derecha:
1-α
α
0
Z1- α
R.A.
R.R.
R.A.: Zk < Z1 - α , se acepta H O.
R.R.: Zk > Z1 - α , se rechaza H O.
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Elaborado por
: Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Setiembre 2010
Versión
:2
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•
Prueba bilateral :
1-α
.
α/2
α/2
-Z1-
0
α/2
R.R.
Z1-
R.A.
α/2
R.R.
R.A.: -Z1 – α/2 < Zk < Z1 - α/2 ,se acepta H 0.
R.R.: Zk < -Z1 - α/2
5.
Zk > Z1 – α/2 ,se rechaza H 0.
Realización de cálculos:
Zk =
6.
O
p − P0
P0 × Q 0
n
Decisión
Se acepta o se rechaza Ho.
Caso II:
Población finita, cuando el muestreo es sin reemplazamiento.
Se siguen todos los pasos del Caso I, pero se incorpora el factor de corrección para
población finita, entonces la “Estadística de Prueba” será:
p − P0
Z=
→ n (0,1)
P0 × Q 0  N − n 
×

n
 N− 1
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Ejemplo 1:
Usted ha estado trabajando para una empresa de publicidad en Lima durante 5
años. Ahora usted está planeado iniciar su propia compañía, pero teme perder
muchos clientes. Usted decide irse, sólo si por lo menos el 30% de las cuentas que
usted maneja se irán con usted y le seguirán a su nuevo negocio. Como prueba,
usted descubre que 14 de las 54 cuentas que tomó como muestra expresan su
deseo de irse con usted si deja la compañía. A un nivel de significancia del 5%
¿Debería usted comenzar su propia empresa?
Solución:
1. Formulación de hipótesis estadística:
Ho : P ≥ 0.3
H1 : P < 0.3
2. Nivel de significancia: α = 0.01
3. Estadística de prueba:
p − P0
Z=
→ n (0,1)
P0 × Q 0
n
4. Establecimiento de los criterios de decisión:
1- α=0.99
α=0.01
-2.326
R.R
0
R.A.
R.A.: ZK > - 2.326 , se acepta HO.
R.R.: ZK < - 2.326 , se rechaza HO.
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5. Realización de cálculos:
x: Número de cllientes de la muestra que prefieren irse con la otra compañia=14
n: Número de clientes de la muestra que hay en cartera = 54
Donde:
x
n
14
p=
= 0.26
54
p=
Además:
Po = 0.3 ⇒ Q o = 0.3
Zk =
p − P0
0.26 − 0.3
=
= − 0.64
P0 × Q0
0.3 × 0.7
n
54
6. Decisión:
Zk = -0.64 > -2.326; por lo tanto se acepta H o. Si debería comenzar mi propia
compañia.
Ejemplo 2:
Preocupados por la opinión que los ciudadanos tienen sobre la evolución económica
del país, el gobierno ha realizado una encuesta sobre 1000 de sus ciudadanos,
obteniendo que solo 80 de ellos afirman que la evolución económica es buena. Si el
gobierno afirmara que el 11.5% de la población opina que la situación económica es
buena ¿Es compatible esta afirmación con el resultado muestral obtenido para una
significación del 5%?
Solución:
1. Formulación de hipótesis estadística:
Ho: P = 0.115
H1: P ≠ 0.115
2. Nivel de significación: α = 0.01
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3. Estadística de prueba:
Z=
p − P0
P0 × Q 0
n
→ n (0,1)
4. Establecimiento de los criterios de decisión:
1-α = 0.99
0.05
0.05
α/2
0
R.A.
-2.576
R.R.
α/2
2.576
R.R.
R.A.: -2.576 < Zk < 2.576 ,se acepta H0.
R.R.: Zk < -2.576
O
Zk > 2.576 ,se rechaza H0.
5. Realización de cálculos:
x: Número de personas en la muestra que afirman que la evolución económica
es buena = 80
n: Número de personas de la muestra encuestadas = 1000
Donde:
x
n
80
p=
= 0.08
1000
p=
Además:
Po = 0.115 ⇒ Q o = 0.885
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Zk =
p − P0
=
P0 × Q0
n
0.08 − 0.115
= − 3.5
0.115 × 0.885
1000
6. Decisión:
Zk = -3.5 ∈ RR; por lo tanto se rechaza H o. No es compatible la afirmación con el
resultado de la muestra obtenido. El porcentaje de personas que opinan que la
evolución económica es buena es diferente de 11.5%.
Ejemplo 3:
Su empresa ha determinado en el pasado que exactamente el 53% de las personas
que están en su área de mercado prefieren su producto. Se invierten en varios miles
de dólares en un programa publicitario para incrementar su participación en el
mercado. Luego una muestra de 600 personas revela que 400 prefieren su producto.
A un nivel de significancia del 5%. ¿El dinero fue bien invertido?
1. Formulación de la hipótesis:
H0 : P = 0.53
H1 : P > 0.53
2. Nivel de significancia: α = 0.05
3. Estadística de prueba :
Z=
p − P0
P0 × Q 0
n
→ n (0,1)
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4. Establecimiento de los criterios de decisión :
1 - α =0.95
0.05
0
1.645
R.A.
R.R.
R.A.: ZK < 1.645, se acepta HO.
R.R.: ZK > 1.645, se rechaza HO.
5. Cálculos:
x: Número de personas de la muestra que prefieren el producto = 300
n: Número de personas de la muestra = 600
Donde:
x
n
400
p=
= 0.67
600
p=
Además:
Po = 0.53 ⇒ Qo = 0.47
Zk =
p − P0
0.67 − 0.53
=
= 7
P0 × Q0
0.53 × 0.47
n
600
6. Decisión :
ZK = 7>1.645, entonces rechazamos Ho. El dinerio fué bien invertido.
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Ejemplo 4:
El contador de Tiendas La Positiva afirma que es 5% el porcentaje de clientes
morosos. Para comprobar esta hipótesis el gerente seleccionó una muestra aleatoria
de 40 observaciones y encontró que el porcentaje muestral de clientes morosos es
del 10% . En el nivel de significación de 0.05.
a) Plantee las hipótesis adecuadas.
b) ¿Cuál es su decisión respecto a la afirmación del fabricante?
Solución:
a) Ho : P = 0.05
H1 : P > 0.05
b)
1.
¿Cuál es su decisión respecto a la afirmación del fabricante?
Formulación de hipótesis estadística:
Ho : P = 0.05
H1 : P > 0.05
2.
Nivel de significancia: α = 0.05
3.
Estadística de prueba:
Z=
p − P0
→ n(0,1)
P0 × Q 0
n
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4.
Establecimiento de los criterios de decisión:
1 - α =0.95
0
α=0.05
1.96
R.A.
R.R.
R.A.: Zk < 1.96 , se acepta HO.
R.R.: Zk > 1.96 , se rechaza HO.
5.
Realización de cálculos:
p: proporción de clientes morosos en la muestra = 0.10
n: Número de clientes de la muestra = 40
Además:
Po = 0.05 ⇒ Q o = 0.95
Zk =
p − P0
=
P0 × Q0
n
0.1 − 0.05
= 1.67
0.05 × 0.95
40
6. Decisión:
Zk = 1.67 ∈ RA; por lo tanto se acepta Ho. El contador está diciendo la verdad.
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