PRIMERA SESION DE APRENDIZAJE

Universidad Los Ángeles de Chimbote
CURSO BIOESTADÍSTICA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
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LECTURA 01: LA DISTRIBUCIÓN NORMAL GENERAL. LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTÁNDAR (PARTE I).
TEMA 1: LA DISTRIBUCION NORMAL GENERAL. PROPIEDADES
1.
INTRODUCCION
La distribución de probabilidad continua más importante en todo el campo de la
estadística, es con toda seguridad la distribución normal, debido a que en la práctica
muchos fenómenos, industriales, científicos, o de la vida diaria pueden describirse
por esta distribución. A la distribución normal frecuentemente se le llama distribución
gaussiana. La curva normal puede considerarse como modelo teórico para analizar
situaciones reales.
2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Una variable aleatoria continúa X, se dice que está distribución normalmente, con
media u (− ∞ < µ < ∞ ) y varianza σ 2 > 0 , si su función de densidad de probabilidad
está dado por:
f (x) =
1
e
σ 2π
−
1  x− µ 


2 σ 
2
; − ∞ < x< ∞
Donde:
π = 3.1415..... y
e = 2.7182...
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Elaborado por
: Mg. Carmen Barreto R.
Fecha
: Marzo 2011
Versión
:2
1
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3.
GRÁFICO
µ
-∞
∞
fig. 1: La Distribución Normal
La distribución normal se emplea tanto que ha menudo se emplea la siguiente notación
abreviada: X  n( µ ,σ 2 ), para indicar que la variable aleatoria X se distribuye normalmente
con media µ y
varianza σ2.
4.
a)
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCION NORMAL
La distribución normal es simétrica y tiene forma de campana, se extiende de
a ∞
.
−∞
b) En la distribución normal la media está en la mitad y divide el área en dos
mitades y la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
c) El área total bajo la curva normal es el 100%.
d)
Existe una distribución normal diferente para cada combinación de media y
desviación estándar.
e)
La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos
es igual al área bajo la curva normal entre los dos puntos, tal como se muestra en la
fig. 2.
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2
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−∞
µ
a
b
∞
P(a ≤ x ≤ b) = Área bajo la curva normal entre a y b.
fig. 2
f)
En la fig. 3 muestra el área bajo la curva normal de 1, 2 y 3 desviaciones
estándar de la media.
µ − 3σ µ − 2σ
µ − 1σ
µ
µ + 1σ µ + 2σ µ + 3σ
68.0%
95.5%
99.7%
fig. 3
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TEMA 2: DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR.
1.
INTRODUCCÓN
Dado que existe una distribución normal diferente para una combinación de media y
desviación estándar, sería inútil intentar elaborar las tablas suficientes para calcular
probabilidades, además de la complejidad de la función de densidad (fórmula),
existe sin embargo, una alternativa sencilla que evita estos problemas. Para ello se
puede convertir esta escala real a una relativa o estandarizada, mediante la variable
normalizada.
En donde:
2. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Una variable aleatoria continúa Z , se dice que está distribución normalmente, con
media µ = 0 y varianza σ 2 = 1 , si su función de densidad de probabilidad está dado
por:
f (z) =
1
− z2
1
e 2
; − ∞ < z< ∞
2π
Donde:
Z =
x− µ
σ
Además:
X :
μ :
Algunos valores de interés
Media
σ :
Desviación estándar
La distribución de una variable normal con media cero y varianza 1, se denota:
Zn(0,1) y se lee: “Distribución Normal con media cero y varianza 1”.
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3.
GRÁFICO:
−∞
∞
0
fig. 4
4.
CALCULO DIRECTO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
MANEJO DE TABLAS ESTADÍSTICAS .
a) Uso de la Tabla I
Z
0
fig. 5: Area bajo la curva normal que se muestra en la Tabla I
Ejemplo 1:
Obtener el área para Z < 1.35
P[ Z < 1.35] = ?
En primer lugar se debe localizar al valor 1.3 en el lado izquierdo de la Tabla I y
luego el 0.05 (5 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se
puede leer en la información de la fila Z = 1.3 y la columna 0.05. El valor es 0.9115.
0.9115
0
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1.35
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Luego: P(Z < 1.35) = 0.9115
Observe la tabla:
TABLA N° 1
Z
-3.4
-3.3
.
.
.
0.0
.
.
.
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
.
.
.
3.4
0.00
Área bajo una curva normal entre -∞ y Z = 1.35
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
.... 0.09
0.9115
Ejemplo 2:
Obtener el area para Z < -2.58
P[Z < − 2.58] = ?
En primer lugar se debe localizar al valor -2.5 en el lado izquierdo de la Tabla I y
luego el 0.08 (8 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se
puede leer en la información de la fila Z = -2.5 y la columna 0.08. El valor es 0.0049
0.0049
-2.58
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Luego: P(Z <-2.58) = 0.0049
TABLA N° 1
Z
-3.4
-3.3
.
-2.5
.
.
.
0.00
Área bajo una curva normal entre -∞ y Z = -2.58
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 .... 0.08
0.0049
0.0
.
.
.
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
.
.
.
3.4
b) Uso de la Tabla N° II
-Z
0
Z
fig. 6: Área bajo la curva normal que se muestra en la Tabla II
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0.09
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Ejemplo 3:
Obtener el área para -1.96 ≤ Z ≤ 1.96. Cabe indicar que los puntos son simétricos.
En primer lugar se debe localizar al valor 1.9 en el lado izquierdo de la Tabla II y
luego 0.06 (6 es el último dígito) en su parte superior. El área bajo la curva se puede
leer en la información de la fila Z = 1.9 y la columna 0.06. El valor es 0.95.
0.95
-1.96
0
1.96
Luego:
P[− 1.96 ≤ Z ≤ 1.96] = 0.95
TEMA 3: PROPIEDADES PARA EL CALCULO DE OTRAS AREAS BAJO LA
CURVA NORMAL ESTÁNDAR
En esta sesión daremos propiedades para el cálculo de áreas bajo la curva normal
estándar para utilizarlas posteriormente en aplicaciones pertinentes de dicha
distribución.
a) P [ Z ≥ ZO ] = 1 − P [ Z < ZO ]
P[Z ≥ Z0]
0
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Z0
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Ejemplo 1:
Hallar P[ Z ≥ 2.32]
Solución:
P [ Z ≥ 2.32] = 1 − P [ Z < 2.32] = 1 − 0.9898 = 0.0102
0.0102
0
2.32
b) P [ Z ≤ − Z0 ] = 1 − P [ Z < Z0 ]
P[Z ≤ -Z0]
-Zo
0
NOTA: También se obtiene directamente de la Tabla I
Ejemplo 2:
Hallar P[ Z ≤ − 0.03]
Solución:
P[ Z ≤ − 0.03] = 1 − P[ Z < 0.03] = 1 − 0.5120 = 0.4880
-0.03
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c) P [ Z ≥ − Z0 ] = P [ Z ≤ Z0 ]
=
- Zo
0
Zo
0
Ejemplo 3:
Hallar P[ Z ≥ − 1.30]
Solución:
P[ Z ≥ − 1.30] = P[ Z ≤ 1.30] = 0.9032
0.9032
0.9032
=
-1.30
0
0
1.30
d) P [ Z0 ≤ Z ≤ Z1 ] = P [ Z ≤ Z1 ] − P [ Z < Z 0 ]
- Zo
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0
Zo
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Ejemplo 4:
Hallar P[ − 2.05 < Z < 1.36]
Solución:
P[ − 2.05 ≤ Z ≤ 1.36] = P[ Z ≤ 1.36] − P[ Z < − 2.05]
P[ − 2.05 ≤ Z ≤ 1.36] = 0.9131 − 0.0202
P[ − 2.05 ≤ Z ≤ 1.36] = 0.8929
0.8929
-2.05
0
1.36
Ejemplo 5:
Hallar P[ 2.58 < Z < 3.49]
Solución:
P[ 2.58 < Z < 3.49] = P[ Z < 3.49] − P[ Z ≤ 2.58]
P[ 2.58 < Z < 3.49] = 0.9998 − 0.9951
P[ 2.58 < Z < 3.49] = 0.0047
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