Intervalos de confianza

Estadı́stica I
Grado en Matemáticas, UAM, 2014-2015
Intervalos de confianza
Notación para percentiles
A. Percentiles de la normal estándar
Sea Z una variable N (0, 1) (normal estándar).
Para α ∈ (0, 1/2] se denota por zα el valor real tal
que
P(Z > zα ) = α .
Es decir,
Φ(zα ) = 1 − α
y
zα = Φ−1 (1 − α)
Nótese que
P(|Z| < zα/2 ) = 1 − α .
B. Percentiles de la t de Student con n grados de libertad
Sea Z una stu(n) (t de Student con n grados de
libertad, n ≥ 1). Para α ∈ (0, 1/2], denotamos por
t{n ; α} al valor tal que
P(Z > t{n ; α} ) = α .
Nótese además que P(|Z| < t{n ; α/2} ) = 1 − α .
C. Percentiles de la χ2n
Sea Z una χ2n (chi cuadrado con n grados de
libertad). Para α ∈ (0, 1), denotamos χ2{n ; α} al
valor tal que
P(Z > χ2{n ; α} ) = α .
Obsérvese que
P(χ2{n ; 1−α/2} < Z < χ2{n ; α/2} ) = 1 − α .
D. Percentiles de la F de Fisher-Snedecor con n y m grados de libertad
Sea Z una Fn,m (una F con n y m grados
de libertad). Para α ∈ (0, 1), denotamos por
F{n,m;α} al valor tal que
P(Z > F{n,m ; α} ) = α .
Obsérvese que
P(F{n,m ; 1−α/2} < Z < F{n,m ; α/2} ) = 1 − α .
Intervalos I de confianza 1 − α para UNA distribución
Dada una muestra (x1 , . . . , xn ) de tamaño n de la variable X, llamamos x a
la media muestral y s2 a la cuasivarianza muestral.
Los intervalos que siguen son con confianza 1 − α.
Normal N (μ, σ 2)
A.1 Intervalo para la media μ suponiendo σ 2 conocida
Estimador:
X −μ d
σ √ = N (0, 1) −→ Intervalo: I = x ± zα/2 √ .
σ/ n
n
A.2 Intervalo para la media μ si σ 2 desconocida
X −μ d
s √ = tn−1 −→ Intervalo: I = x ± t{n−1 ; α/2} √
Estimador:
S/ n
n
B. Intervalo para la varianza σ 2
Estimador:
(n−1) s2
(n−1) S 2 d 2
=
χ
−→
Intervalo:
I
=
,
n−1
σ2
χ2{n−1; α/2}
(n−1) s2 χ2{n−1; 1−α/2}
Proporción p
Para n grande,
Estimador:
d
X −p
≈ N (0, 1) −→ Intervalo: I = x ± zα/2
p(1−p)/n
x (1−x) n
Poisson (λ)
Para n grande,
X −λ d
Estimador: ≈ N (0, 1) −→ Intervalo: I = x ± zα/2
λ/n
x n
Intervalos I de confianza 1 − α para DOS distribuciones
Dos normales, X1 = N (μ1, σ12), X2 = N (μ2 , σ22)
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 , con media muestral x1 y cuasivarianza muestral s21 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 , con media muestral x2 y cuasivarianza muestral s22 .
Para la diferencia de medias μ1 − μ2 :
• si σ1 , σ2 conocidas:
I=
x1 − x2 ± zα/2
σ12
n1
+
σ22
n2
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 :
I = x1 − x2 ± t{n1 +n2 −2; α/2} · sp n11 +
donde
s2p =
1
n2
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
.
(n1 − 1) + (n2 − 1)
• si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 :
s2
s2
I = x1 − x2 ± t{f ; α/2} n11 + n22
2
2
s1 /n1 + s22 /n2
donde f es el entero más próximo a (s2 /n )2 (s2 /n )2 .
1
1
+ n2 2 −12
n1 −1
Para el cociente de varianzas σ12 /σ22 :
s21 /s22
s21 /s22
,
I=
F{n1 −1 , n2 −1 ; α/2} F{n1 −1 , n2 −1 ; 1−α/2}
Comparación de proporciones p1 , p2
Datos:
• muestra de tamaño n1 de la variable X1 ∼ ber(p1 ), media muestral x1 .
• muestra de tamaño n2 de la variable X2 ∼ ber(p2 ), media muestral x2 .
Para p1 − p2 :
I=
x1 − x2 ± zα/2
x1 (1−x1 )
n1
+
x2 (1−x2 )
n2