Probabilidad y Estadı́stica Grado en Ingenierı́a Informática, UAM, 2015-2016 Intervalos de confianza Estadı́sticos básicos para una muestra x1 , x2 , . . . , xn : Media muestral n 1∑ xj x= n j=1 Cuasivarianza muestral n 1 ∑ 2 (xj − x)2 s = n − 1 j=1 Notación para percentiles 1. Normal estándar En Excel: zα = distr.norm.estand.inv(1 − α) = inv.norm(1 − α) Algunos valores: z5% = 1.645, z2.5% = 1.960, z0.5% = 2.576. 2. t-Student, n grados de libertad En Excel: t{n;α} = distr.t.inv(2α;n) = inv.t(1-α;n) Algunos valores: t{3; 5%} = 2.353, t{3; 2.5%} = 3.182, t{3; 0.5%} = 5.841. t{4; 5%} = 2.132, t{4; 2.5%} = 2.776, t{4; 0.5%} = 4.604. t{5; 5%} = 2.015, t{5; 2.5%} = 2.571, t{5; 0.5%} = 4.032. 3. χ2 con n grados de libertad En Excel: χ2{n;a} = prueba.chi.inv(α;n) = inv.chicuad(1 − α;n) 4. F de Fisher En Excel: F{n1 ,n2 ;α} = distr.f.inv(α;n1 ;n2 ) = inv.f(1 − α;n1 ;n2 ) Intervalos I de confianza 1 − α para UNA distribución Normal N (µ, σ) Para la media µ: ( σ ) I = x ± zα/2 √ . n ( s ) I = x ± t{n−1; α/2} √ n • si σ conocida: • si σ desconocida: Para la varianza σ 2 : ( I= (n − 1) s2 , χ2{n−1; α/2} (n − 1) s2 χ2{n−1; 1−α/2} Proporción p: Para n grande: √ ( ) x (1 − x) I = x ± zα/2 n Poisson (λ) Para la media λ (y con n grande): √ ) ( x I = x ± zα/2 √ n ) Intervalos I de confianza 1 − α para DOS distribuciones Dos normales, X1 = N (µ1 , σ12 ), X2 = N (µ2 , σ22 ) Datos: • muestra de tamaño n1 de la variable X1 , con media muestral x1 y cuasivarianza muestral s21 . • muestra de tamaño n2 de la variable X2 , con media muestral x2 y cuasivarianza muestral s22 . Para la diferencia de medias µ1 − µ2 : • si σ1 , σ2 conocidas: I= (( ) x1 − x2 ± zα/2 √ σ12 n1 + σ22 n2 ) • si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 = σ2 : √ (( ) I = x1 − x2 ± t{n1 +n2 −2; α/2} · sp n11 + donde s2p = 1 n2 ) (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 . (n1 − 1) + (n2 − 1) • si σ1 , σ2 desconocidas, pero σ1 ̸= σ2 : √ (( ) s2 I = x1 − x2 ± t{f ; α/2} n11 + ( donde f es el entero más próximo a s22 n2 ) s21 /n1 + s22 /n2 (s21 /n1 )2 n1 −1 + )2 (s22 /n2 )2 n2 −1 . Para el cociente de varianzas σ12 /σ22 : ( ) s21 /s22 s21 /s22 I= , F{n1 −1 , n2 −1 ; α/2} F{n1 −1 , n2 −1 ; 1−α/2} Comparación de proporciones p1 y p2 Datos: • muestra de tamaño n1 de la variable X1 ∼ ber(p1 ), media muestral x1 . • muestra de tamaño n2 de la variable X2 ∼ ber(p2 ), media muestral x2 . Para la diferencia p1 − p2 (y con n grande): √ (( ) 1) I = x1 − x2 ± zα/2 x1 (1−x + n1 x2 (1−x2 ) n2 )