Capítulo 16 Electricidad

Capítulo 16
Electricidad
1
Carga eléctrica. Ley de Coulomb
La carga se mide en culombios (C). La del electrón vale e = 1.6021 ·
10−19 C.
La fuerza eléctrica que una partícula con carga Q ejerce sobre otra
con carga Q0 es:
1 QQ0
F =
rb
4π0 r2
r es la distancia entre las cargas y rb el vector unitario que va de la
partícula que ejerce la fuerza a la que la sufre.
1/(4π0 ) es una constante universal igual a 9 · 109 N·m2 /C2 .
Si existen más de dos partículas, la fuerza eléctrica que experimenta una
es la suma (vectorial) de las fuerzas debidas a cada una de las otras.
Campo eléctrico
El campo eléctrico en un punto es la fuerza por unidad de carga que
experimenta una partícula en dicho punto.
E=
F
Q
El campo eléctrico es un vector y se mide en N/C.
El campo eléctrico producido por una partícula, de carga Q0 vale:
E=
1 Q0
rb
4π0 r2
rb es el vector unitario que va desde la carga hasta el punto en donde se
calcula, y r la distancia entre los dos puntos anteriores.
Ley de Gauss. Plano cargado
El flujo del campo eléctrico φE es la integral de superficie
φE =
ZZ
E · dS
La ley de Gauss nos dice que φE a través de una superficie cerrada es:
φE =
Qint
0
en donde Qint es la carga total incluida en el interior.
El campo de un plano con una densidad de carga ρs es
E=
ρs
20
Si ρs es positiva, el campo está dirigido hacia afuera, y viceversa.
Potencial eléctrico. Energía
La diferencia de potencial eléctrico V (r) entre dos puntos, o voltaje, es
igual a la integral de línea del campo eléctrico entre dichos puntos:
Z B
A
E dr = V (r A ) − V (r B )
El potencial eléctrico se mide en voltios, V=J/C.
La energía potencial eléctrica de una carga Q en un punto es el potencial eléctrico en dicho punto por el valor de la carga:
Ep = Q V
Potenciales
El potencial eléctrico producido por una carga Q0 viene dado por:
V (r) =
1 Q0
4π0 r
r es la distancia de la carga que produce el potencial al punto en donde
se mide.
El potencial debido a un plano cargado es:
V (x) = −
ρs
|x|
20
siendo |x| la distancia del punto considerado al plano.
Doble capa eléctrica
El campo en el interior de una doble capa eléctrica es:
Ecentro =
ρs
0
En las dos regiones de los lados el campo eléctrico es nulo.
Suponemos que el plano con carga negativa es el de la izquierda y está
en x = 0. Tomando V = 0 para x < 0. Entre las capas tenemos:
V (x) =
ρs
x
0
y para x > d, V = ρs d/0 .
En un dieléctrico, el campo total E t reduce el que habría sin dieléctrico
E a:
Ea
Et =
κ
κ es la constante dieléctrica, es adimensional y en una membrana vale
aproximadamente 7.
La diferencia de potencial entre las dos capas con un dieléctrico vale:
V+ − V− =
ρs
d
0 κ
La energía necesaria para pasar una carga a través de una doble capa es:
E = Q ∆V =
Qρs d
0 κ
Capacidad
Un condensador es un par de conductores situados uno cerca del otro.
La capacidad se define como la carga acumulada en cada uno de los
conductores dividida por la diferencia de potencial:
C=
Q
∆V
La unidad de capacidad es el faradio, F = C/V.
La capacidad por unidad de área de una doble capa eléctrica es:
ca =
C
0 κ
=
S
d
Corriente eléctrica
La intensidad de corriente a través de una sección se define como la carga
total que la atraviesa por unidad de tiempo:
I=
Q
t
La unidad de intensidad es el amperio, A = C/s.
El valor instantáneo de la intensiad de corriente viene dado por:
I=
dQ
dt
La densidad de corriente j es la corriente por unidad de área:
j=
Q
I
=
S
St
Ley de Ohm. Resistencia eléctrica
La ley de Ohm nos dice:
V
R
La constante R se denomina resistencia eléctrica, y viene dada por:
I=
R=ρ
l
S
siendo ρ una constante llamada resistividad, característica del material.
La conductividad es la inversa de la resistividad, σ = ρ1 .
La resistencia se mide en ohmios, Ω =V/A, y la resistividad en Ω m.
las resistencias en serie se suman, mientras que en paralelo se suman sus
inversas.
Ley de Joule
Al atravesar una corriente eléctrica un conductor se genera una cierta
cantidad de calor. La potencia disipada viene dada por la ley de Joule:
P =V I
Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos reescribir la de Joule como:
P = R I2 =
V2
R
Problema 16.1
Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctrica entre dos cargas de 0.01 C separadas una distancia de
0.1 m.
Problema 16.2
Tenemos cuatro cargas iguales de 10−4 C colacadas en los
vértices de un cuadrado de lado 1 cm. Calcula:
(a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las
otras tres,
(b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado,
(c) el campo eléctrico en el centro de un lado,
(d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado,
(e) la energía potencial eléctrica de una carga.
Problema 16.3
Una molécula está formada por dos iones con cargas
opuestas de módulo e, separados una distancia de 4 Å.
Determina:
(a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones,
(b) el campo eléctrico en el punto medio,
(c) el potencial eléctrico en el punto medio,
(d) la energía potencial eléctrica de una carga.
Problema 16.4
Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de −3 C
en el punto 3ıb m. ¿En qué puntos del eje X se anula el
potencial? ¿Y el campo eléctrico?
Problema 16.5
Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilos
de 1 m de longitud sujetos de un mismo punto. Ambas
partículas poseen la misma carga y sus hilos forman un
ángulo de 30◦ con la vertical. ¿Qué carga poseen?
Problema 16.6
Una molécula está formada por tres iones. Uno central con
carga −2e situado en el origen, y dos con cargas iguales a
e situados en 4ıb Å y en 4b Å. Determina:
(a) la fuerza que sufre el ion central,
(b) el campo eléctrico en el punto 4ıb + 4b Å,
(c) el potencial eléctrico en el punto anterior,
(d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los iones,
(e) la energía necesaria para llevar una carga de −3e
desde el punto 4ıb + 4b Å hasta el infinito.
Problema 16.7
Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, suponiendo que la masa del núcleo es mucho mayor que la
del electrón, que vale 9.1 · 10−31 kg, y que éste gira alrededor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio.
Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica.
Problema 16.8
Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora cargada es
el mismo que habría si toda la carga estuviera situada en
el centro. Demuestra que en el interior el campo es nulo. Calcula el potencial debido a una esfera conductora
cargada.
Problema 16.9
Un plano está uniformemente cargado con una densidad
superficial de carga de −2·10−6 C/m2 . ¿Cuál es el valor del
campo eléctrico por él producido? Determina la diferencia
de potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2 m
del plano, situados en partes opuestas.
Problema 16.10
El módulo de la densidad de carga superficial de cada uno
de los planos de una doble capa eléctrica es de 4 · 10−5
C/m2 y la separación entre los planos es de 5 cm. Determina:
(a) el campo eléctrico entre los planos,
(b) la diferencia de potencial entre ambos,
(c) la energía que cuesta mover una carga de 10−4 C a
través de la doble capa,
(d) la capacidad por unidad de área.
Problema 16.11
El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctrica es de 800 V/m. La distancia entre las placas es de 0.2
m. Calcula:
(a) la densidad superficial de carga,
(b) la diferencia de potencial entre las planos,
(c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula
de 0.01 kg y 10−4 C situada en su interior,
(d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa
la partícula anterior si inicialmente se encuentra en
reposo a igual distancia de las dos placas,
(e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior.
Problema 16.12
Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una
constante dieléctrica de 7. La densidad superficial acumulada en cada una de las superficies es de 6 · 10−4 C/m2 ,
en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcula:
(a) el campo eléctrico en el interior de la membrana,
(b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior
de la célula,
(c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl− de
la célula,
(d) el potencial, respecto del que existe en el interior de
la célula, de un punto en el interior de la membrana a
2 nm de su superficie interna,
(e) la capacidad por unidad de área de la membrana.
Problema 16.13
Encuentra el campo eléctrico producido por una superficie cilíndrica de longitud infinita y radio R uniformemente
cargada, con una densidad superficial de carga ρs .
Problema 16.14
Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superficies cilíndricas de radios R1 y R2 , que comparten el mismo
eje, y con densidades superficiales de carga ρs 1 y ρs 2 , tales
que el conjunto de las dos superficies es neutro. Obtén la
diferencia de potencial entre las dos superficies.
Problema 16.15
Tenemos una estufa de 1 kW conectada a la red de 220 V,
que supondremos que es de corriente continua. Determina:
(a) la resistencia de la estufa,
(b) la intensidad eléctrica que la recorre,
(c) el campo eléctrico en su interior si el filamento desenrollado mide 2 m.
Problema 16.16
Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm de
longitud está lleno de una disolución biológica con una resistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos una diferencia de
potencial de 10 V entre sus extremos. Calcula:
(a) la resistencia eléctrica del cilindro,
(b) el campo eléctrico en el interior de la disolución,
(c) la conductividad de la disolución,
(d) la corriente que circula,
(e) la potencia calorífica que se disipa.
Problema 16.17
Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas en
paralelo. El conjunto se alimenta con una diferencia de
potencial de 100 V y entonces circula una corriente total
de 10 A. ¿Cuál es el valor de cada una de las resistencias?
¿Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistencias
se conectaran en serie, en vez de en paralelo?
16.1 Determina la fuerza eléctrica y la energía potencial eléctrica entre dos
cargas de 0.01 C separadas una distancia de 0.1 m.
El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada carga es:
F =
2
1 QQ0
9 0.01
=
9
·
10
= 9 · 107 N.
2
2
4π0 r
0.1
La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une las cargas y es repulsiva. La energía potencial eléctrica es:
2
1 QQ0
9 0.01
Ep =
= 9 · 10
= 9 · 106 J.
4π0 r
0.1
16.2 Tenemos cuatro cargas iguales de 10−4 C colacadas en los vértices de un
cuadrado de lado 1 cm. Calcula:
(a) la fuerza que una de ellas experimenta debido a las otras tres,
(b) el campo eléctrico en el centro del cuadrado,
(c) el campo eléctrico en el centro de un lado,
(d) el potencial eléctrico en el centro del cuadrado,
(e) la energía potencial eléctrica de una carga.
(a) La fuerza total que experimenta la carga en el origen es:
F = F1 + F2 + F3
1 Q2
1 Q2
b
= −
ı−
b
4π0 a2
4π0 a2
!
b
1 Q2 ıb
√ +√
−
4π0 2a2
2
2
!
−8
ıb
b
9 10
= −9 · 10
ıb + √ + b + √
10−4
2
2
b N.
= −1.22 · 106 (ıb + )
(b) Por simetría, deducimos que el campo eléctrico en el centro es nulo.
(c) El campo eléctrico en A vale:
E = E 1 + E 2 = −2
1
Q
a
q
b
4π0 a2 + (a2 /4) a2 + (a2 /4)
v
u
u4
10−4
9
t b
= −18 · 10 −4
 = −1.29 · 1010 b N/C.
10 (1 + (1/4)) 5
(d) La energía potencial eléctrica de una carga es:
Ep
1  Q2 Q2
Q2
= E1 + E2 + E3 =
+
+√ 
4π0 a
a
2a


−8
1
9 10
= 9 · 10 −2 2 + √ = 2.44 · 104 J.
10
2
!
16.3 Una molécula está formada por dos iones con cargas opuestas de módulo
e, separados una distancia de 4 Å. Determina:
(a) la fuerza eléctrica que experimentan ambos iones,
(b) el campo eléctrico en el punto medio,
(c) el potencial eléctrico en el punto medio,
(d) la energía potencial eléctrica de una carga.
(a) El módulo de la fuerza eléctrica que experimenta cada ión es:
2
−38
1 QQ0
9 1.6 10
F =
= 9 · 10
= 1.44 · 10−9 N.
2
2
−20
4π0 r
4 10
La fuerza va dirigida a lo largo de la línea que une los iones y es
atractiva.
(b) El módulo del campo eléctrico en el centro vale:
−19
1 Q
9 1.6 10
E=2
= 2 · 9 · 10 2 −20 = 7.2 · 1010 N/C.
2
4π0 r
2 10
(c) El potencial en el punto medio es cero por simetría.
(d) La energía potencial eléctrica de cada uno de los iones es:
2
−38
1 QQ0
9 1.6 10
Ep =
= −9 · 10
= −5.76 · 10−19 J.
−10
4π0 r
4 · 10
16.4 Tenemos una carga de 2 C en el origen y otra de −3 C en el punto 3bı m.
¿En qué puntos del eje X se anula el potencial? ¿Y el campo eléctrico?
El potencial se puede anular en la zona entre las dos cargas y para x
negativos. Entre las dos cargas tenemos:
1 Q
1 Q0
1
2
3
+
=
−
.
V =
4π0 x 4π0 3 − x 4π0 x 3 − x
!
Esta expresión vale cero cuando se verifica:
2(3 − x) − 3x = 0
=⇒
x=
6
= 1.2m.
5
Para x negativos:
1 Q
1
Q0
1 6 + 2|x| − 3|x|
V =
+
=
,
4π0 |x| 4π0 3 + |x| 4π0 |x|(3 + |x|)
y de aquí deducimos:
|x| = 6 m
=⇒
x = −6 m.
El campo sólo se hace cero para valores negativos de x:
1 Q
1
|Q0 |
b +
E=
(−ı)
ıb = 0
4π0 x2
4π0 (3 + |x|)2
lo que implica:
2(3 − x)2 − 3x2 = −x2 − 12x + 18 = 0.
La solución negativa de esta ecuación es:
√
x = −6 − 36 + 18 = −13.3 m.
16.5 Dos partículas de 0.2 kg cada una cuelgan de sendos hilos de 1 m de
longitud sujetos de un mismo punto. Ambas partículas poseen la misma carga
y sus hilos forman un ángulo de 30◦ con la vertical. ¿Qué carga poseen?
La relación entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria que experimenta una
partícula ha de ser:
Fe
1 Q2 1
=
,
tan 30 =
Fg
4π0 r2 mg
◦
en donde la distancia entre partículas viene dada por r = 2l sen 30◦ = l.
De la anterior ecuación despejamos el valor de la carga:
q
Q = tan 30◦ mg 4π0 l2 =
v
u
u 0.2
t√
· 9.8
= 1.12 · 10−5 C.
9
3 9 · 10
16.6 Una molécula está formada por tres iones. Uno central con carga −2e
situado en el origen, y dos con cargas iguales a e situados en 4bı Å y en 4b Å.
Determina:
(a) la fuerza que sufre el ion central,
(b) el campo eléctrico en el punto 4bı + 4b Å,
(c) el potencial eléctrico en el punto anterior,
(d) la energía potencial eléctrica de cada uno de los iones,
(e) la energía necesaria para llevar una carga de −3e desde el punto 4bı + 4b
Å hasta el infinito.
(a) La fuerza sobre el ion central es:
1 |Q||Q0 |
1 |Q||Q0 |
b+
ı
b
4π0 a2
4π0 a2
2
−38
9 2 · 1.6 10
b = 2.88 · 10−9 (ı
b + )
b N.
= 9 · 10
(ıb + )
2
−20
4 10
F =
(b) El campo eléctrico en el punto 4ıb + 4b Å vale:
1 e
1 2e
ıb
b
b + )
b −
√
√
E =
(
ı
+
4π0 a2
4π0 2a2
2
2
!
−19
1.6 · 10
1
b
= 9 · 109 2 −20 1 − √ (ıb + )
4 10
2
b N/C.
= 2.64 · 109 (ıb + )
!
(c) El potencial en dicho punto vale:
1 2e
1 2e
√
−
4π0 a
4π0 2a
!
−19
1
9 2 · 1.6 · 10
= 9 · 10
1 − √ = 2.1 V.
4 · 10−10
2
V =
(d) La energía potencial eléctrica del ion central es:
2
−38
1 −4e2
9 4 · 1.6 10
= −9 · 10
= −2.3 · 10−18 J.
Ep =
4π0 a
4 · 10−10
La de cada uno de los otros iones vale:
1 e2
1 −2e2
√
+
4π0 a
4π0 2a
!
2
−38
1
9 1.6 10
1 − √ = −7.45 · 10−19 J.
= −9 · 10
−10
4 · 10
2
Ep =
(e) La energía para llevar una carga de −3e desde el punto mencionado
hasta el infinito es igual a:
Ep = Q(V∞ − V ) = −3e(0 − 2.1)
= 6.3 · 1.6 · 10−19 = 1.01 · 10−18 J.
16.7 Calcula la energía de un átomo clásico de hidrógeno, suponiendo que la
masa del núcleo es mucho mayor que la del electrón, que vale 9.1 · 10−31 kg,
y que éste gira alrededor de aquél en una órbita circular de 0.53 Å de radio.
Desprecia la fuerza gravitatoria frente a la eléctrica.
La energía eléctrica de un átomo es:
2
−38
1 −e2
9 1.6 10
Ep =
= −9 · 10
= −4.35 · 10−18 J.
−10
4π0 r
0.53 · 10
Para obtener la energía cinética imponemos que la fuerza sea igual a la
masa por la aceleración (centrípeta):
1 e2
v2
|F | =
=m
4π0 r2
r
=⇒
Ec = 12 mv 2 = 12 |Ep |.
La energía total es por tanto:
Et = Ec + Ep = 21 Ep = −2.17 · 10−18 J.
16.8 Demuestra mediante la ley de Gauss que el campo eléctrico en el exterior
de una esfera conductora cargada es el mismo que habría si toda la carga
estuviera situada en el centro. Demuestra que en el interior el campo es nulo.
Calcula el potencial debido a una esfera conductora cargada.
Por simetría, el campo será radial (respecto del centro de la esfera) y su
módulo sólo dependerá de la distancia al centro. Apliquemos la ley de
Gauss a una superficie esférica concéntrica con la esfera y de mayor radio
que ésta:
φE =
Z
E · dS = 4πr2 E =
QT
0
=⇒
E=
1 QT
.
4π0 r2
Como se ve, el campo es el mismo que produciría toda la carga si estuviera concentrada en el centro.
El campo ha de ser nulo en el interior, pues de lo contrario la carga no
estaría en equilibrio ya que se trata de un conductor. Toda la carga se
reparte por la superficie.
El potencial en el exterior es el mismo que el de una carga:
Vext =
1 QT
.
4π0 r
En el interior el potencial es constante, ya que el campo es nulo, y su
valor es igual al de la superficie:
Vint =
en donde R es el radio de la esfera.
1 QT
,
4π0 R
16.9 Un plano está uniformemente cargado con una densidad superficial de
carga de −2·10−6 C/m2 . ¿Cuál es el valor del campo eléctrico por él producido?
Determina la diferencia de potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2
m del plano, situados en partes opuestas.
El módulo del campo eléctrico vale:
E=
|ρs |
= 2π 9 · 109 2 · 10−6 = 1.13 · 105 N/C.
20
El campo señala hacia el plano. La diferencia de potencial que nos piden
es:
ρs
∆V = V2 − V1 = − (|x2 | − |x1 |)
20
5
= 1.13 · 10 (2 − 1) = 1.13 · 105 V.
16.10 El módulo de la densidad de carga superficial de cada uno de los planos
de una doble capa eléctrica es de 4 · 10−5 C/m2 y la separación entre los planos
es de 5 cm. Determina:
(a) el campo eléctrico entre los planos,
(b) la diferencia de potencial entre ambos,
(c) la energía que cuesta mover una carga de 10−4 C a través de la doble
capa,
(d) la capacidad por unidad de área.
(a) El campo eléctrico entre los planos va del positivo al negativo y su
módulo vale:
E=
|ρs |
= 4π 9 · 109 4 · 10−5 = 4.52 · 106 N/C.
0
(b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campo
por la separación entre ellos:
∆V = E ∆L = 4.52 · 106 0.05 = 2.26 · 105 V.
(c) La energía que cuesta mover la carga mencionada es igual a:
∆E = Q ∆V = 10−4 2.26 · 105 = 22.6 J.
(d) La capacidad de la doble capa es:
C=
Q
ρs S
=
.
V
(ρs /0 )∆L
Entonces la capacidad por unidad de área de la doble capa es igual
a:
C
0
1
=
=
= 1.77 · 10−10 F/m2 .
9
S
∆L 4π 9 · 10 0.05
16.11 El campo eléctrico en el interior de una doble capa eléctrica es de 800
V/m. La distancia entre las placas es de 0.2 m. Calcula:
(a) la densidad superficial de carga,
(b) la diferencia de potencial entre las planos,
(c) la fuerza y la aceleración que sufriría una partícula de 0.01 kg y 10−4 C
situada en su interior,
(d) la velocidad con la que llegaría a la placa negativa la partícula anterior si
inicialmente se encuentra en reposo a igual distancia de las dos placas,
(e) la energía con la que llegaría, en el caso anterior.
(a) La densidad superficial de carga es igual a:
ρs = E0 = 800
1
= 7.07 · 10−9 C/m2 .
9
4π 9 · 10
(b) La diferencia de potencial entre los planos es el producto del campo
por la separación entre ellos:
∆V = E ∆L = 800 · 0.2 = 160 V.
(c) La partícula sufriría una fuerza dada por:
F = QE = 10−4 800 = 0.08 N,
y experimentaría una aceleración igual a:
a=
F
0.08
=
= 8 m/s2 .
m 0.01
(d) y (e) Es más fácil calcular primero el último apartado. La energía
que gana la partícula es igual a:
∆E = Q ∆V = 10−4 800 · 0.1 = 0.008 J.
Esta energía se invierte en cinética, por lo que la velocidad con la
que la partícula llega a la placa es:
v=
v
u
u 2∆E
t
m
=
v
u
u2
t
· 0.008
= 1.26 m/s.
0.01
16.12 Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una constante dieléctrica de 7. La densidad superficial acumulada en cada una de las superficies es
de 6·10−4 C/m2 , en valor absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcula:
(a) el campo eléctrico en el interior de la membrana,
(b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la célula,
(c) la energía que se necesita para sacar un ion Cl− de la célula,
(d) el potencial, respecto del que existe en el interior de la célula, de un punto
en el interior de la membrana a 2 nm de su superficie interna,
(e) la capacidad por unidad de área de la membrana.
(a) El campo eléctrico en el interior de la membrana vale:
ρs
6 · 10−4
E=
=
4π 9 · 109 = 9.69 · 106 N/C.
κ0
7
(b) La diferencia de potencial es, en este caso, el campo por la anchura
de la membrana:
∆V = E ∆L = 9.69 · 106 8 · 10−9 = 7.75 · 10−2 V.
El potencial es menor en el interior que en el exterior.
(c) La energía necesaria para sacar un ion cloro es:
∆E = Q ∆V = −1.6 · 10−19 7.75 · 10−2 = −1.24 · 10−20 J.
(d) El potencial del punto mencionado será:
V = Ex = 9.69 · 106 2 · 10−9 = 1.94 · 10−2 V.
(e) La capacidad de la membrana vale:
C=
Q
ρs S
=
.
V
(ρs /κ0 )∆L
Entonces la capacidad por unidad de área de la membrana es igual
a:
C
κ0
7
=
=
= 7.74 · 10−3 F/m2 .
9
−9
S
∆L 4π 9 · 10 8 · 10
16.13 Encuentra el campo eléctrico producido por una superficie cilíndrica de
longitud infinita y radio R uniformemente cargada, con una densidad superficial
de carga ρs .
Por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al eje del cilindro y su
módulo sólo dependerá de la distancia al eje. Aplicamos la ley de Gauss
a la superficie cilíndrica de la figura. Sólo el área lateral contribuye al
flujo de E:
φE = L 2πr E =
qT
L 2πRρS
=
0
0
=⇒
E=
RρS
.
r0
16.14 Extiende el resultado del ejercicio anterior a dos superficies cilíndricas
de radios R1 y R2 , que comparten el mismo eje, y con densidades superficiales
de carga ρs 1 y ρs 2 , tales que el conjunto de las dos superficies es neutro. Obtén
la diferencia de potencial entre las dos superficies.
El campo fuera del cilindro externo y dentro del interno es nulo. Entre
los dos cilindros el campo es igual al producido por el cilindro interno
(ver el problema anterior):
E=
R1 ρS 1
.
r0
La diferencia de potencial entre las dos superficies es la integral del campo:
Z R R ρ
R1 ρS 1 R2
2
1 S1
V1 − V2 =
dr =
ln .
R1
r0
0
R1
16.15 Tenemos una estufa de 1 kW conectada a la red de 220 V, que supondremos que es de corriente continua. Determina:
(a) la resistencia de la estufa,
(b) la intensidad eléctrica que la recorre,
(c) el campo eléctrico en su interior si el filamento desenrollado mide 2 m.
(a) La resistencia de la estufa viene dada por:
V2
P =VI =
R
=⇒
V2
2202
R=
=
= 48.4 Ω.
P
1000
(b) La intensidad eléctrica que atraviesa la resistencia es:
I=
V
220
=
= 4.55 A.
R
48.4
(c) El campo eléctrico será la diferencia de potencial dividida por la
longitud:
V
220
E=
=
= 110 N/C.
l
2
16.16 Un conducto cilíndrico de 0.3 mm de radio y 12 cm de longitud está lleno
de una disolución biológica con una resistividad de 0.18 Ω m. Le aplicamos una
diferencia de potencial de 10 V entre sus extremos. Calcula:
(a) la resistencia eléctrica del cilindro,
(b) el campo eléctrico en el interior de la disolución,
(c) la conductividad de la disolución,
(d) la corriente que circula,
(e) la potencia calorífica que se disipa.
(a) La resistencia eléctrica viene dada por:
R=ρ
l
0.12
= 0.18 2 −8 = 7.64 · 104
S
π 3 10
Ω.
(b) El campo eléctrico aplicado será:
E=
V
10
=
= 83.3 N/C.
l
0.12
(c) La conductividad es la inversa de la resistividad:
σ=
1
1
=
= 5.56
ρ 1.18
1/(Ωm).
(d) La intensidad de la corriente es:
I=
10
V
=
= 1.31 · 10−4 A.
4
R
7.64 · 10
(e) La potencia que se disipa vale:
P = V I = 10 · 1.31 · 10−4 = 1.31 · 10−3 W.
16.17 Dos resistencias eléctricas iguales están conectadas en paralelo. El conjunto se alimenta con una diferencia de potencial de 100 V y entonces circula
una corriente total de 10 A. ¿Cuál es el valor de cada una de las resistencias?
¿Qué intensidad atravesaría el circuito si las resistencias se conectaran en serie, en vez de en paralelo?
Cuando la dos resistencias están en paralelo la resistencia total viene dada
por:
1
1
1
2
R
= + =
=⇒
RT = .
RT
R R R
2
Sabemos que:
RT =
V
100
R
=
= 10 =
I
10
2
=⇒
R = 20
Ω.
Si conectamos las resistencias en serie, entonces tenemos:
RT = R + R = 2R
=⇒
I=
V
100
=
= 2.5 A.
RT
40